[求助]请教陆老师和elimqiu老师：这道概率题应该如何来计算呢？

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/06/10 02:20pm 发表的内容：
如果 P(X = Ai) 是无穷小量， Ω是可数集， 那么就有
P(X = Ai)< 1/2^(i+1), 于是 1 = ∑_i P(X = Ai) < ∑_i 1/2^(i+1)=1/2
这是荒谬的。 所以天茂您的无穷小量说十分荒谬。

不等式 P(X = Ai)< 1/2^(i+1) 是错的，应该是 P(X = Ai)> 1/2^(i+1) 才对。

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/06/11 09:06pm 发表的内容：
不等式 P(X = Ai)< 1/2^(i+1) 是错的，应该是 P(X = Ai)> 1/2^(i+1) 才对。

这就是说  P(X = Ai) 不能都是无穷小量。那么为什么 取到 5 的概率是无穷小呢？呵呵

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/06/11 02:12pm 发表的内容：
这就是说  P(X = Ai) 不能都是无穷小量。那么为什么 取到 5 的概率是无穷小呢？呵呵

P(X = Ai)和 1/2^(i+1) 都是无穷小量。

luyuanhong

luyuanhong

    从上面的帖子可以看到：对于“从所有的正整数中，随机地取一个数，取到任何
一个数的概率都相等，求取到数字 5 的概率”这样的问题，是不可能建立标准分析的
概率论公理化结构的，因此，对这样的问题，要建立非标准分析的概率论公理化结构，
同样也是不可能的。
    但是，我们可以建立下列问题的标准分析的概率论公理化结构，不会出现矛盾。
根据非标准分析中的“转换公理”，对这个问题作转换后，可以建立非标准分析的
概率论公理化结构，也不会出现任何矛盾。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/06/12 08:07am 发表的内容：
从上面的帖子可以看到：对于“从所有的正整数中，随机地取一个数，取到任何一个数的概率都相等，求取到数字 5 的概率”这样的问题，是不可能建立标准分析的概率论公理化结构的，因此，对这样的问题，要建立非标准分析的概率论公理化结构，同样也是不可能的。
   但是，我们可以建立下列问题的标准分析的概率论公理化结构，不会出现矛盾。根据非标准分析中的“转换公理”，对这个问题作转换后，可以建立非标准分析的概率论公理化结构，也不会出现任何矛盾。

这就是说，对于“从所有的正整数中，随机地取一个数，取到任何一个数的概率都相等，求取到数字 5 的概率”这种类型的问题，单纯地用标准分析的观念来建立概率论公理化结构和单纯地用要非标准分析的观念来建立概率论公理化结构，都是不可能的。
只有用标准分析和非标准分析两种观念的结合来建立概率论公理化结构，才是可能的。
或者简单来说，对于“从所有的正整数中，随机地取一个数，取到任何一个数的概率都相等，求取到数字 5 的概率”这种类型的问题，在标准分析或非标准分析中都是不可解的。
只有用标准分析和非标准分析两种方法的结合来解这类型的题，才是可行的。
请问陆老师：这样的结论对吗？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2011/06/12 08:29am 发表的内容：
这就是说，对于“从所有的正整数中，随机地取一个数，取到任何一个数的概率都相等，求取到数字 5 的概率”这种类型的问题，单纯地用标准分析的观念来建立概率论公理化结构和单纯地用要非标准分析的观念来建立概率论公理化结构，都是不可能的。
只有用标准分析和非标准分析两种观念的结合来建立概率论公理化结构，才是可能的。
或者简单来说，对于“从所有的正整数中，随机地取一个数，取到任何一个数的概率都相等，求取到数字 5 的概率”这种类型的问题，在标准分析或非标准分析中都是不可解的。
只有用标准分析和非标准分析两种方法的结合来解这类型的题，才是可行的。
请问陆老师：这样的结论对吗？

标准分析与非标准分析是两种不同的数学体系，我们要么接受标准分析的观点，
要么接受非标准分析的观点，好像不可能有什么两者的“结合”。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/06/12 11:26am 发表的内容：
标准分析与非标准分析是两种不同的数学体系，我们要么接受标准分析的观点，
要么接受非标准分析的观点，好像不可能有什么两者的“结合”。

对于我们所讨论的概率问题，您的结论是，用标准分析不行，用非标准分析也不行，但是，通过“转换公理”这件事情就办成了。这不就是两者的“结合”吗？
“转换公理”这个东东，显然就是标准分析和非标准分析的一个“结合点”，或者是标准分析和非标准分析之间的一个“结合通道”。
陆老师以为如何？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2011/06/12 05:05pm 发表的内容：
对于我们所讨论的概率问题，您的结论是，用标准分析不行，用非标准分析也不行，但是，通过“转换公理”这件事情就办成了。这不就是两者的“结合”吗？
“转换公理”这个东东，显然就是标准分析和非标准分析的一　...

把“结合”理解为用“转换公理”把标准分析与非标准分析联系起来，这样理解是可以的。
因为标准分析与非标准分析虽然是两种互相对立的数学体系，但又有许多相似的地方。
用“转换公理”，可以帮助我们更清楚地看出两者之间的相似之处，推出一些有用的结论。
    但是，不能把“结合”理解为把两者混在一起，造出一种非驴非马的新的数学体系。
我指出“从全体正整数中随机取一个数，取到任何数的概率相等”这样的问题，用标准分析
和非标准分析都无法建立公理化结构，说明这个问题本身提得不恰当。在这种情况下，想要
把标准分析和非标准分析混在一起，来解决这个本身提得不恰当的问题，那是不可能的。
    我给出的解决办法，是放弃原来提得不恰当的问题，把问题改为“在 {1,2,…,n} 中随
机取一个数，取到任何数的概率相等”，这样就可以在标准分析中建立概率论的公理化结构。
再用“转换公理”把问题转为“在 {1,2,…,Ω}中随机取一个数，取到任何数的概率相等”，
这样在非标准分析中，也可以建立概率论的公理化结构了。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/06/12 09:40pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2011/06/12 09:27pm 发表的内容：
把“结合”理解为用“转换公理”把标准分析与非标准分析联系起来，这样理解是可以的。
因为标准分析与非标准分析虽然是两种互相对立的数学体系，但又有许多相似的地方。
用“转换公理”，可以帮助我们更清楚地看 ...

是啊！建立联系不就是一种结合吗？并不一定非要出现“非驴非马系统”才算是结合啊！
既然在标准分析和非标准分析中，“从全体正整数中随机取一个数，取到任何数的概率相等”这样的问题，都是不恰当的。
为什么“从[0,1]中随机取一个数，取到任何数的概率相等”这样的问题，就是恰当的呢？
复杂（不可数）问题可以解决，简单（可数）问题反而无法解决，这是什么道理呢？