请教陆老师一个关于射影几何的问题

天茂

下面引用由luyuanhong在 2012/04/18 02:31pm 发表的内容：
我在网上查了一下，右面的曲面称为“罗马曲面（Roman surface）”，网上说：
“罗马曲面（Roman surface），是从射影平面到三维空间一个更加退化的映射，包含
一个交叉帽（cross-cap）。同样对具有一个交叉套的　...

如果这两个曲面图形要是本质相同的话，那么，是不是说三维单侧封闭曲面只有罗马曲面和克莱因瓶这两种类型？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/18 05:59pm 发表的内容：
如果这两个曲面图形要是本质相同的话，那么，是不是说三维单侧封闭曲面只有罗马曲面和克莱因瓶这两种类型？

将一个莫比乌斯带的边缘封闭起来，得到一个单侧的闭曲面，这个闭曲面
就是拓扑变形的射影平面，它可以看作是戴了一个“交叉帽”的球面。
克莱因瓶是另一种单侧的闭曲面。克莱因瓶可以看作是将两个莫比乌斯带
的边缘相互粘结起来得到的，所以它可以看作是戴了两个“交叉帽”的球面。
进一步，还可以有戴了三个、四个、五个、……“交叉帽”的球面，这些
都是单侧的闭曲面。所以说，单侧闭曲面不止两种，而是可以有无数多种。

ygq的马甲

下面引用由luyuanhong在 2012/04/18 06:50pm 发表的内容：
将一个莫比乌斯带的边缘封闭起来，得到一个单侧的闭曲面，这个闭曲面
就是拓扑变形的射影平面，它可以看作是戴了一个“交叉帽”的球面。
克莱因瓶是另一种单侧的闭曲面。克莱因瓶可以看作是将两个莫比乌斯带
的　...

如果限制在“三维”的话，还真的难说
三个、四个、五个、……“交叉帽”，如果是一个整体的话，可能会需要四维以上的空间
因为三维对应的是克莱因瓶，对应的是二个交叉帽[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8F%E6%A0%BC
维基百科词条《亏格》

天茂

下面引用由luyuanhong在 2012/04/18 06:50pm 发表的内容：
将一个莫比乌斯带的边缘封闭起来，得到一个单侧的闭曲面，这个闭曲面
就是拓扑变形的射影平面，它可以看作是戴了一个“交叉帽”的球面。
克莱因瓶是另一种单侧的闭曲面。克莱因瓶可以看作是将两个莫比乌斯带
的　...

请问陆老师：
由于莫比乌斯带是一条宽带扭转了180°粘合而成，所以将其边缘封闭起来，得到闭曲面就只有一个“交叉帽”；
如果将一条宽带扭转360°粘合而成的莫比乌斯带，将其边缘封闭起来，这样得到的闭曲面是不是就应该有两个“交叉帽”？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/19 09:08pm 第 2 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/04/19 07:59pm 发表的内容：
请问陆老师：
由于莫比乌斯带是一条宽带扭转了180°粘合而成，所以将其边缘封闭起来，得到闭曲面就只有一个“交叉帽”；
如果将一条宽带扭转360°粘合而成的莫比乌斯带，将其边缘封闭起来，这样得到的闭曲面是不是就应该有两个“交叉帽”？

将一条纸带扭转360°后将两端粘合起来，得到的是一个“双侧”“可定向”的曲面，
而不是“单侧”“不可定向”的曲面，所以它已经不是一个莫比乌斯带了。
这样粘合起来的纸带的边缘，是分开的两条闭曲线环，不像莫比乌斯带的边缘，只是
一条闭曲线。如果我们用两个圆面片，分别将这条纸带边缘的两条闭曲线封闭起来，
则可以得到一个“双侧”“可定向”的闭曲面。
这样一个“双侧”“可定向”的闭曲面，当然不可能是有两个“交叉帽”的闭曲面，
因为有两个“交叉帽”的闭曲面，是“单侧”“不可定向”的曲面。

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2012/04/19 07:59pm 发表的内容：
请问陆老师：
由于莫比乌斯带是一条宽带扭转了180°粘合而成，所以将其边缘封闭起来，得到闭曲面就只有一个“交叉帽”；
如果将一条宽带扭转360°粘合而成的莫比乌斯带，将其边缘封闭起来，这样得到的闭曲面是不 ...

需要扭转 180°* 奇数，才能得到牟比乌斯带的

天茂

下面引用由luyuanhong在 2012/04/18 06:50pm 发表的内容：
将一个莫比乌斯带的边缘封闭起来，得到一个单侧的闭曲面，这个闭曲面
就是拓扑变形的射影平面，它可以看作是戴了一个“交叉帽”的球面。
克莱因瓶是另一种单侧的闭曲面。克莱因瓶可以看作是将两个莫比乌斯带
的　...

莫比乌斯带只有一条边，不知道如何才能将其封闭起来，我在3dmax中怎么试验也是不成功。请陆老师指示。

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/20 08:26pm 发表的内容：
莫比乌斯带只有一条边，不知道如何才能将其封闭起来，我在3dmax中怎么试验也是不成功。请陆老师指示。

在第18楼中我发过一个帖子，现在重新贴在下面：

天茂

看来，第一步必须得先把莫比乌斯带沿着GHAEF这条线裁开，才有可能变成变成射影平面。
请问陆老师：是这样吗？后面的那一步沿着ABCD裁开是不是也是必须的？
有没有不用裁开的办法？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/21 07:30pm 发表的内容：
看来，第一步必须得先把莫比乌斯带沿着GHAEF这条线裁开，才有可能变成变成射影平面。
请问陆老师：是这样吗？后面的那一步沿着ABCD裁开是不是也是必须的？
有没有不用裁开的办法？

其实，不裁开也是可以的，你可以想像它们在空间中总是连在一起的。
但是，在这情况下，再作进一步的拓扑变形，就非常复杂，曲面在空间中必须扭曲得非常厉害，
有时曲面还必须与自身交叉。图像显示也变得非常困难，就是画出来，也搅成一团，看不清楚。