[原创]k生素数群的数量公式

白新岭

今天想到素数式的最多排列形式。比如可以过素数2和3的素数式，只有素数式0,2,6,8,12,.....,一直循环往复下去；同样还有0,4,6,10,12,16,18,....,一直循环往复下去；接下来是过素数5的关卡，对于这两种形式，针对5各自有4种过关方法，在前边的基础上，各个素数式除5不能余1,不能余2,不能余3,不能余4,最多2×4形式，别无其他的形式。

白新岭

对于2,3,5,7,11，最多有480种排列顺序。而最密77生素数一定不会超越它们而独立存在，所以只需要在480种素数式排列中获得。

yangchuanju

不错，77生最密素数一定存在在480个与2310互素的互素数中；
经计算480个互素数式中有432个跨距420的：
互素数个数                86        87        88        89        90
互素数式数                10        44        200        162        16
需删除数                9        10        11        12        13
但须知，若不升级，需从含86-90个互素数的432个互素数式中分别删除9-13个互素数，即
欲求77生最密素数，需从10个86互素数中删除9数，从44个87互素数中删除10数，200-88-11,162-89-12，从16个90互素数中删除13数
从1个含86互素数中删除9数：除去首尾二数，取84和9的组合数C（84,9）=84*83*82*81*80*79*78*77*76/（1*2*3*4*5*6*7*8*9）=3.68*10^11，……
从1个含90互素数中删除13数：除去首尾二数，取88和13的组合数C（88,13）=88*87*86*85*84*83*82*81*80*79*78*77*76/（1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13）=1.20*10^15，
总删除量和检验量是多少？请自算。（5.30*10^16)

yangchuanju

升级至17#后，77生最密素数一定存在在5760个与30030互素的互素数中；
经计算5760个互素数式中有4752个跨距420的：
互素数个数        78        79        80        81        82        83        84        85
互素数式数        6        208        516        1284        1752        806        176        4
需删除数        1        2        3        4        5        6        7        8
升级后，需从含78-85个互素数的4752个互素数式中分别删除1-9个互素数即可。
从1个含78互素数中删除1数：除去首尾二数，取76和1的组合数C（76,1）=76/1=76，……
从1个含85互素数中删除8数：除去首尾二数，取83和8的组合数C（83,8）=83*82*81*80*79*78*77*76/（1*2*3*4*5*6*7*8）=3.94*10^10，
总删除量和检验量虽仍然极大，但比未升级前要小得多。(1.13*10^12)

欲求77生最密素数，宜继续升级至19#和23#级。

yangchuanju

升级至17#=510510后，77生最密素数存在在92160个与510510互素的互素数中；
经计算92160个互素数式中有71280个跨距420的：
互素数个数                72        73        74        75        76       
互素数式数                62        578        2652        8206        15486       
需删除数                                                       

互素数个数                77        78        79        80        81        82
互素数式数                20374        15208        6690        1742        256        26
需删除数                0        1        2        3        4        5
删除含互素数个数不够77的后，还剩44296个含互素数个数等于77-82的互素数式。
从1个含78互素数中删除1数：除去首尾二数，取76和1的组合数C（76,1）=76/1=76，……
从1个含82互素数中删除5数：除去首尾二数，取80和5的组合数C（80,5）=80*79*78*77*76/（1*2*3*4*5）=2.404*10^4，
总删除量和检验量可降低到1.16*10^9。

yangchuanju

若将跨距420含与510510互素数77-82的44292个互素数式升级到19#=9699690级，
不计含互素数不够77的还剩16536个
互素数个数                77        78        79        80
互素数式数                13690        2560        260        26
总需删除量和检验量还剩294 6986个。

若将跨距420含与19#互素数77-80的16536个互素数式升级到23#级，
不计含互素数不够77的还剩2672个
互素数个数                77        78        79
互素数式数                2406        244        22
总需删除量和检验量还剩85322个。

yangchuanju

至此直接计算即可，再向上升级也行。
笔者既是在升至19#级后用删除约300万个互素数式中的0-3个互素数，
升至23#级后删除85322个互素数式中的0-2个互素数，
和升至31#级后直接检验剩余的574个与31#互素的互素数式，
共3套方法求出的40个77生最密素数的，
求出后再对三套数据比对，结果是一致的。

附注：
我在升级过程中（例从17#升至19#级）已去掉首尾项中是下一素数（19）的倍数的各数，
由17#升至19#级时，每个17#级互素数式变成19-2=17个互素数式，
因此我升至19#级后的互素数式总数量比你的要少一些。

白新岭

将至素数19的素数式升级到素数至23的（即素数式范围为223092870，从素数2到素数23的连乘积）
总互素式链条1987
互素数个数                77        78        79      
互素数式数              1764        201       22
这是按照yangchuanju先生给的模式发的帖子。不过我感觉你的方法扔就与我的有差异（而且不用循环链条法，那样肯定与您的不一致）。在数据处理上，我总觉着你的有点复杂，能再简化吗？

白新岭

我的思路与vfp编程同步。

白新岭

k生素数式链条只要通过了k/2内的素数检验就是永恒的。