细说哥猜中的“哈代_李特伍德公式”

白新岭

x(modm)+y(modm))=x+y(modm)意思是说x对模m求余数，y对模m求余数，然后把余数相加，与先把x,y相加后，再对模m求余数，是一样的，结果相同，不过方程左边余数的和大于模m的话，还需要对模m求余数才相等。
是这样的话，模同余方程解的组数与限制条件不定方程解的组数不是一回事。

白新岭

不知问什么，熊先生一直不能进入这道门。
下边是数字例子，
例如1+59=60，11+49=60，......，31+29=60， 41+19=60，51+9=60
    3+57=60，13+47=60，......，.........，43+17=60，53+7=60
    5+55=60，15+45=60，......，.........，........，55+5=60
    7+53=60，17+43=60，......，.........，.........，57+3=60
    9+51=60，19+41=60，......，.........，.........，59+1=60.
这是x+y=60,在x,y不能整除2这个限制条件下所有解的情况。
如果再加一个条件，除了x,y不能整除2外，还必须不能整除3，这时上面的30组解就要去掉一部分了，只要有一个值是3的倍数就要去掉，例如3+57=60，9+51=60，15+45=60，21+39=60，27+33=60，33+27=60，39+21=60，45+15=60，51+9=60，57+3=60.
去掉后，满足条件的x,y之和为60的组数就剩下20组了，再加条件5后会怎么样呢？

熊一兵

下面引用由白新岭在 2009/12/10 04:14pm 发表的内容：
x(modm)+y(modm))=x+y(modm)意思是说x对模m求余数，y对模m求余数，然后把余数相加，与先把x,y相加后，再对模m求余数，是一样的，结果相同，不过方程左边余数的和大于模m的话，还需要对模m求余数才相等。
是这样　...

是这样的话，模同余方程解的组数与限制条件不定方程解的组数不是一回事
这个结论是要证明才能作定论

熊一兵

下面引用由白新岭在 2009/12/10 04:35pm 发表的内容：
不知问什么，熊先生一直不能进入这道门。
下边是数字例子，
例如1+59=60，11+49=60，......，31+29=60， 41+19=60，51+9=60
    3+57=60，13+47=60，......，.........，43+17=60，53+7=60
...

我真的有点笨，我要学懂点东西硬是下了死功夫的

白新岭

这个结论是要证明才能作定论
分析一下即可，在模m的同余方程解中，不限制x,y的取值，只要求它对模m的余数和与n对模m的余数相等即可，在这种情况下对模m求余数与不求余数是一致的，即模同余方程解的组数与不定方程解的组数相同。
而限制条件的不定方程解的组数少于没有限制条件的不定方程解的组数。

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/12/12 04:08pm 第 1 次编辑]

按照熊一兵定义的素余数，它应该是欧拉函数的值，用S(n)表示素余数的数目（个数），欧拉函数是φ（n),则S(n)=φ（n),只不过这里的n有特殊要求，n=P1*P2*....*Pk,即必须是有不同的质数的连乘积组成，只能是出现1次，或不出现，而且在研究素数的合成方法上，n还必须是偶数，即有因子2.因为欧拉函数是积性函数，所以素余函数（把S(n)称为素余函数吧，S取su-素之意）也是积性函数，此函数是对n有特殊要求的欧拉函数。
这样，素余函数的值就可以求出来了S(n)=φ（n)=∏(Pj-1),这里的Pj能整除n.
与我以前给出的公式一样。
下面是一个连接：有关欧拉函数的
<http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0
                                          

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/12/12 04:45pm 第 1 次编辑]

n的欧拉函数 也是循环群 Cn 的生成元的个数（也是n阶分圆多项式的次数）。Cn 中每个元素都能生成 Cn 的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， Cn 的所有子群都具有 Cd 的形式，其中d整除n（记作d | n）。因此只要考察n的所有因数d，将 Cd 的生成元个数相加，就将得到 Cn 的元素总个数：n。也就是说：
  ∑φ(d)=n
d | n

其中的d为n的正约数。
运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于φ(n)的公式：
  φ(n)=∑d*μ(n/d)
      d | n
其中 μ 是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。
后边的反转公式我不能理解，开头涉及的概念我也不理解，只对第一个函数是做一个例子，大家看看是否正确：另n=30吧，它的正约因子为1，2，3，5，6，10，15，30，而φ（1）=1，φ（2）=1，φ（3）=2，φ（5）=4，φ（6）=2，φ（10）=4，φ（15）=φ（3）*φ（5）=8，φ（30）=φ（2）*φ（3）*φ（5）=1*2*4=8，则和为1+1+2+4+2+4+8+8=30.   这是一个例子，如果正确，说明欧拉函数自己已经理解。这个等式表示的意义也理解了，正约因数d的全部欧拉函数值的和与n相同。
至于第二个反转公式还需要进一步的学习。

重生888

很好!与我的新发现有联系!正约因数d，反过来，求哥猜，d的倍数只与有d因子的数组合！2*3*5=30
   0。1。2。3。4。5。6。7。8。9。10。11。12。13。14。15。16。17。18。19。20。21。22。23。24。25。26。27。28。29。30
  30。29。28。27。26。25。24。23。22。21。20。19。18。17。16。15。14。13。12。11。10。9。8。7。6。5。4。3。2。1。0

白新岭

有好多人对拉曼纽扬系数做了推导和分析，下面是我最近研究6n类的数在孪中（孪生素数对中项中）的分拆用到的一个系数，暂且称为“独木星空系数”吧！（好多人把自己的发现都归入自己的名下，我也就照惯例做了）。
独木星空系数1=6∏[1-4/(Pi-2)^2]∏[(Pj-2)/(Pj-4)]∏[(Pk-3)/(Pk-4)],这里的Pi,Pj,Pk都是素数，且≥5，≤√6n,MOD(6n,Pj)=0,MOD(6n,Pk)=2或(Pk-2).
独木星空系数2=6∏[1-4/(Pi-2)^2]∏[(Pj-2)/(Pj-4)]∏[(Pk-3)/(Pk-4)],这里的Pi,Pj,Pk都是素数，且≥5，≤√6n,MOD(6n,Pj)=0,MOD(6n,Pk)=4或(Pk-4).
独木星空系数2用于6n类的数在素数群(Pi,Pi+4)的中项中的分拆。

白新岭

下面是引自四川 大邑 周明祥的一部分原话：
关于梁定祥猜想，在网上可查的资料有两处，一是【数学中国】网〖基础数学〗栏gaocd 网友2009/05/08的专题介绍，题名《中国人自己的猜想——梁定祥猜想》，二是天下文壇 >
學術論衡 >2008-09-14 塌先生訪談記錄有原始完整介绍。兹将后者原文摘录如下：
發現了重大的科學原理也好，解決了舉世知名的科學難題也好，推翻了著名的科學定理也好，撰寫了流傳千古的科學名著也好，都不是不可能的事，但用初等的原始的工具，則可以肯定是做不到的。
那麼民科中有沒有真正有價值的科學發現和科學原理的猜想呢？當然是有的。梁定祥猜想就是一個著名的例子。
大約在1987年夏天，我在中科院數學物理所工作的時候，曾收到過一封奇怪的群眾來信。寄信者是海南的一個叫梁定祥的老農，當時五十多歲，現在也許七十出頭了吧。骯髒的皺巴巴的信紙是學生抄本的封底，東歪西倒地塗滿了不知所云的算式、符號和圖形。長期以來所裏經常收到厚厚的自稱是解決了哥德巴赫猜想的來稿，書寫上比起這封信肯定工整多了。剛好那天不忙，我想這封信沒准與拉馬努江給哈代的信有異曲同工之妙呢，於是仔細看了一下。幸虧如此，否則錯失了重大發現。
梁老伯在信中說（當然不是他的原話）：
6的任何倍數的平方，可以表示為兩組孿生素數之和。
即梁定祥猜想是6n类数的平方可以表示成两对孪生素数和的和。例如，6^2=(5+7)+(11+13).   12^2=(11+13)+(59+61)=(41+43)+(29+31).....他这里把四个数字相同，而排列顺序不同的组合视为一组解。
更多内容可以浏览下面的链接：<http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=842&start=36&#35;37
对于什么样的数有孪生素数对和的和问题，可有孪中（孪生素数对中项的简称）的生成元2元加法合成分布来回答，孪中的生成元2元加法合成能得到的类就有孪中素数对和的分拆，如果不能得到就一定没有分拆。
那么在30以内，偶数的素数分拆的生成元是什么，那些标识性数字可以作为偶数的素数分拆的生成元呢？即欧拉函数中，在函数中可以计数的8个元素，欧拉函数是求与变量互质的个数，在变量为30时，φ（30）=8，这8个互质数是1，7，11，13，17，19，23，29.这8个数就是偶数在周期为30时，在素数集中拆分的8个生成元。有它们的2元加法合成可以得到30n+2,30n+4,30n+6,30n+8,30n+10,30n+12,30n+14,30n+16,30n+18,30n+20,30n+22,30n+24,30n+26,30n+28,30n+30等15类偶数，而且生成比例（合成概率）为：3，3，6，3，4，6，3，3，6，4，3，6，3，3，8.
那么偶数在孪生素数对的集合中的分拆，生成元是那几个呢？分别为：（1，29），（11，13），（17，19）。即6个生成元，这6个生成元的2元加法合成是如何分布到15类偶数上去的，30n+2,30n+4,30n+6,30n+8,30n+10,30n+12,30n+14,30n+16,30n+18,30n+20,30n+22,30n+24,30n+26,30n+28,30n+30等15类偶数，而且生成比例（合成概率）为3,1,2,1,2,4,2,2,4,2,1,2,1,3,6.
现在可以谈孪生素数对和的生成元了，11+13=24，17+19=36，29+31=60，都把它们除2，得到24/2=12，36/2=18，60/2=30，这12，18，30三个生成元2元加法合成可以得到6n类的数，其合成比例（合成概率）为：1/2/2/1/3（指30n+6,30n+12,30n+18,30n+24,30n+30的合成比例）。我们把等式两边同时乘2，就得到12n类的数在孪生素数对和中的分拆比例：1/2/2/1/3（指60n+12,60n+24,60n+36,60n+48,60n+60的合成比例）
由此，我们得到在每一个60周期内，只有5类12n的偶数有可能有孪生素数和的分拆