哥数与孪数之比，谁提供的孪生素数个数？

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-6-23 13:18
“大于√n的奇素数在偶数的乘积里只可能有一个，不可能有两个，”，也可能没有；
若没有大于N平方根的素 ...

鲁老师在100楼中有两条点评：
lusishun  1—n内，与n—2n之间，素数的个数，  发表于 2021-6-23 14:47
lusishun  第一是指（1-1/p）第连乘积，对吗？  发表于 2021-6-23 14:33

下面是我对鲁老师点评的回复：
这里是我和大傻在讨论哥猜数计算公式中的p的取值范围问题，与鲁老师的连乘积（1-1/p）没有关系，更不是n内素数个数与n-2n间素数个数的问题。

在97楼贴中，我对“随着整数n的增大，n—2n间的素数个数与n内素数个数的比将趋近于1，换言之，随着整数n的增大，最终n—2n间的素数个数与n内素数个数是一样多的”有疑问，意征求鲁老师的看法，请鲁老师认真看一看97楼帖子中的计算数据，解决我的疑问！

yangchuanju

完善和扩充一下2^n的无序（单记）哥猜数表
13楼已经给出A006307给出的n=1-40时的哥猜数：
1 0
2 1
3 1
4 2
5 2
6 5
7 3
8 8
9 11
10 22
11 25
12 53
13 76
14 151
15 244
16 435
17 749
18 1314
19 2367
20 4239
21 7471
22 13705
23 24928
24 45746
25 83467
26 153850
27 283746
28 525236
29 975685
30 1817111
31 3390038
32 6341424
33 11891654
34 22336060
35 42034097
36 79287664
37 149711134
38 283277225
39 536710100
40 1018369893
愚工688先生给出了n=41-50时的哥猜数据：
  G(2^41)= 1934814452,
  G(2^42)= 3680759328,
  G(2^43)= 7010898161,
  G(2^44)= 13369466800,
  G(2^45)= G(35184372088832)=25,522,944,188 ,
  G(2^46)= G(70368744177664) = 48776696083 ,
  G(2^47)= G(140,737,488,355,328) = 93,311,971,184，（time use 11658.95 sec ）~3.238h,
  G(2^48)= G( 281474976710656 ) = 178680063951 ， （time use 27491.85 sec ）~7.64h
  G(2^49)= G( 562949953421312 ) = 342469661688;  （time use ? sec ）
  G(2^50)= G(1125899906842624)= 656978437719 (133767.06 sec)=37h 9'27"
  
  比2^50更大的偶数素对数量的筛选太费时了，不筛选了。

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2021-6-23 08:05
n内素数个数（按素数定理计算，略小于真实值）       
        n/ln(n)
2n内素数个数       

这个问题很简单：
n内素数个数是n/ln(n)
2n内素数个数是2n/ln(2n)=2n/[ln(n)+ln(2)]，当n逐渐增大时ln(2)/ln(n)之比趋近0，所以[ln(n)+ln(2)]约等于ln(n)，因此n比较大时2n内素数个数约等于2n/ln(n)，由此可以得出n至2n间素数个数约等于n内素数个数。

费尔马1

n至2n间素数个数显然小于n内素数个数。
在正整数数列中，随着正整数n的增大，素数的“浓度”减小，故，本命题成立。

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2021-6-23 13:18
“大于√n的奇素数在偶数的乘积里只可能有一个，不可能有两个，”，也可能没有；
若没有大于N平方根的素 ...

    若有一个大于N平方根的素因子p，如果是2p，则p+p=N，偶数N的哥猜数会增加一个。如果（a+b）*p=N,因为p是大于N平方根的素因子，所以（a+b）是大于2的整数并且小于N的平方根，a和b这两个整数不会同时等于1，并且也都小于N的平方根，这样ap+bp=N，所以ap和bp其中至少一个是p的大于1的倍数，不可能增加N以内素数对的个数。综合以上两种情况，若有一个大于N平方根的素因子p最多只能给偶数N的哥猜数增加一个。这样∏[(p-1)/(p-2)]中的p只需要小于N平方根的素因子即可，没有必要取尽N的全部大于等于3的素因子。

yangchuanju

大傻8888888 发表于 2021-6-23 23:14
若有一个大于N平方根的素因子p，如果是2p，则p+p=N，偶数N的哥猜数会增加一个。如果（a+b）*p=N,因为 ...

我只是说，对于有限的偶数N，在计算连乘号（连乘积）时取尽N的全部≥3的素因子要比只取平方根内的素因子，计算结果更靠近真实值，例如：
1230=2*3*5*41，单记哥猜数55，平方根35.07，有一个大于35的素因子41，取41时连乘积等于2.735…，不取41时连乘积等于2.666…，哥猜计算值分别为43.873和42.776，与真实值55的比值分别为0.7977和0.7777，取了41后计算值更接近真实值；
9994=2*19*263，单记哥猜数98，平方根99.97，有一个大于99的素因子263，取263时连乘积等于1.0628…，不取263时连乘积等于1.0588…，哥猜计算值分别为82.676和82.360，与真实值98的比值分别为0.8436和0.8404，取了263后计算值更接近真实值；
…………
没有计算值增不增加1的意思！

yangchuanju

大傻8888888 发表于 2021-6-23 23:14
若有一个大于N平方根的素因子p，如果是2p，则p+p=N，偶数N的哥猜数会增加一个。如果（a+b）*p=N,因为 ...

再以1018为例，10=2*509，单记哥猜数20，平方根31.906，有一个大于31.906的素因子509，取509时连乘积等于1.0019…，不取5时没有连乘积视为1，
哥猜计算值分别为14.039和14.011，与真实值20的比值分别为0.7019和0.7005，取了509后计算值更接近真实值一点点；
经查对1018的20个哥猜数是：
1,n= 5 + 1013
2,n= 41 + 977
3,n= 47 + 971
4,n= 71 + 947
5,n= 89 + 929
6,n= 107 + 911
7,n= 131 + 887
8,n= 137 + 881
9,n= 179 + 839
10,n= 191 + 827
11,n= 197 + 821
12,n= 257 + 761
13,n= 317 + 701
14,n= 359 + 659
15,n= 401 + 617
16,n= 419 + 599
17,n= 431 + 587
18,n= 449 + 569
19,n= 461 + 557
20,n= 509 + 509
若不计素因子509，是少了一个哥猜数509+509，但它的第1-19号哥猜数与509有什么关系？

yangchuanju

还以1230为例，1230=2*3*5*41，单记哥猜数55，平方根35.07，有一个大于35的素因子41，取41时连乘积等于2.735…，不取41时连乘积等于2.666…，
哥猜计算值分别为43.873和42.776，与真实值55的比值分别为0.7977和0.7777，取了41后计算值更接近真实值；
按照大傻老师的观点可认为1230=(1+29)*41=(2+28)*41=…=(15+15)*41，
其中至少一个是41的大于1的倍数，在1230以内素数对中是不含**+41或41+**的，但1230的55个素数对与3,5,41有什么直接关系？
1230的55个哥猜数是：
1,n= 7 + 1223
2,n= 13 + 1217
3,n= 17 + 1213
4,n= 29 + 1201
5,n= 37 + 1193
6,n= 43 + 1187
7,n= 59 + 1171
8,n= 67 + 1163
9,n= 79 + 1151
10,n= 101 + 1129
11,n= 107 + 1123
12,n= 113 + 1117
13,n= 127 + 1103
14,n= 137 + 1093
15,n= 139 + 1091
16,n= 167 + 1063
17,n= 179 + 1051
18,n= 181 + 1049
19,n= 191 + 1039
20,n= 197 + 1033
21,n= 199 + 1031
22,n= 211 + 1019
23,n= 233 + 997
24,n= 239 + 991
25,n= 263 + 967
26,n= 277 + 953
27,n= 283 + 947
28,n= 293 + 937
29,n= 311 + 919
30,n= 347 + 883
31,n= 349 + 881
32,n= 353 + 877
33,n= 367 + 863
34,n= 373 + 857
35,n= 401 + 829
36,n= 409 + 821
37,n= 419 + 811
38,n= 421 + 809
39,n= 433 + 797
40,n= 443 + 787
41,n= 457 + 773
42,n= 461 + 769
43,n= 479 + 751
44,n= 487 + 743
45,n= 491 + 739
46,n= 503 + 727
47,n= 521 + 709
48,n= 547 + 683
49,n= 557 + 673
50,n= 569 + 661
51,n= 571 + 659
52,n= 577 + 653
53,n= 587 + 643
54,n= 599 + 631
55,n= 613 + 617

yangchuanju

白新岭老师认为Σ(p-1)/(p-2)中的p应取遍偶数所含素因子，我也是这么认为；偏偏大傻认为只取偶数平方根以内的素因子即可，实际上仅差一个素因子。
请白老师与大傻老师好好讨论一下这个问题。

白老师在点评中说“偶数的系数和/N（全体自然数）=1，偶数2和偶数4前系数与偶数8的相同，也要计算在内。”什么意思？请明示！

njzz_yy

根据愚工688，yangchuanju增加10个数据，作图，效果不错，谢谢！