一个数列的通项式，据说难倒英雄汉

sdlsd

今天又重新计算了一下，数列An和Cn的表达形式可以分为两种。



数学真是太奇妙了。竟然是这样一种互相补充的方式出现！

sdlsd

Treenewbee 发表于 2023-8-29 21:09
\[Cn=\frac{1}{2}(1+\sqrt{\frac{t-1}{t+1}})( (t+\sqrt{t^2-1})^n+(t-\sqrt{t^2-1})^n )\]

\[t>1,\lim_ ...

我一直纳闷，你这个公因数是怎么提出来的（1+√(t-1）/（t+1）。


而且，t里面含n，不考虑它的存在，当然极限是无穷大。但实际上，它的极限应该是和x、y的比值有关的定值。

Treenewbee

这里的 \[t=1+\frac{L}{2nx}\]

Treenewbee

\[C_n=\sum_{k=0}^n{C_{n  + k}^{2k}*m^k}\]

\[=\frac{\sqrt{m} \left(\left(\sqrt{m^2+4 m}+m+2\right)^n-\left(-\sqrt{m^2+4 m}+m+2\right)^n\right)+\sqrt{m+4} \left(\left(-\sqrt{m^2+4 m}+m+2\right)^n+\left(\sqrt{m^2+4 m}+m+2\right)^n\right)}{2^{n+1}\sqrt{m+4} }\]

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-9-2 03:27
\[C_n=\sum_{k=0}^n{C_{n  + k}^{2k}*m^k}\]

\[=\frac{\sqrt{m} \left(\left(\sqrt{m^2+4 m}+m+2\right) ...

接\(=\frac{\sqrt{m-2} \big((m+\sqrt{m^2-4})^n-(m-\sqrt{m^2-4})^n\big)+\sqrt{m+2}\big((m+\sqrt{m^2-4})^n+(m-\sqrt{m^2-4})^n\big)}{2^{n+1}\sqrt{m+2}}\)

Cn: LinearRecurrence[{3, -1}, {1, 2}, 15]
  {1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, 1597, 4181, 10946, 28657, 75025, 196418, 514229}

An: LinearRecurrence[{3, -1}, {1, 3}, 15]
  {1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, 6765, 17711, 46368, 121393, 317811, 832040}

Dn: LinearRecurrence[{3, -1}, {2, 5}, 15]
  {2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, 1597, 4181, 10946, 28657, 75025, 196418, 514229, 1346269}

Bn: LinearRecurrence[{3, -1}, {3, 8}, 15]
  {3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, 6765, 17711, 46368, 121393, 317811, 832040, 2178309}

"兔子": LinearRecurrence[{1, 1}, {1, 1}, 22]
  {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711}

Treenewbee

\[m=2t\]

\[=\frac{\sqrt{t-1} \big((t+\sqrt{t^2-1})^n-(t-\sqrt{t^2-1})^n\big)+\sqrt{t+1}\big((t+\sqrt{t^2-1})^n+(t-\sqrt{t^2-1})^n\big)}{2\sqrt{t+1}}\]

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-9-2 08:02
接\(=\frac{\sqrt{m-2} \big((m+\sqrt{m^2-4})^n-(m-\sqrt{m^2-4})^n\big)+\sqrt{m+2}\big((m+\sqrt{m^ ...

\[m=2t\]

\[=\frac{\sqrt{t-1} \big((t+\sqrt{t^2-1})^n-(t-\sqrt{t^2-1})^n\big)+\sqrt{t+1}\big((t+\sqrt{t^2-1})^n+(t-\sqrt{t^2-1})^n\big)}{2\sqrt{t+1}}\]

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-9-2 09:16
\[m=2t\]

\[=\frac{\sqrt{t-1} \big((t+\sqrt{t^2-1})^n-(t-\sqrt{t^2-1})^n\big)+\sqrt{t+1}\big((t+ ...

接\(=\frac{(\sqrt{t+1}+\sqrt{t-1})(t+\sqrt{t^2-1})^n+(\sqrt{t+1}-\sqrt{t-1})(t-\sqrt{t^2-1})^n}{2\sqrt{t+1}}\)

sdlsd

太奇怪了，算一遍一个结果

sdlsd

发现数列中存在倒数关系！