一题 \(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\) 多解

ysr

蔡家雄 发表于 2025-3-13 04:36
求 \(x^2 - 125*y^2= - 29\) 的正整数解，

x=436  y=39
x=30936  y=2767

蔡家雄

请 Treenewbee ，王守恩，

求 \(2, 3, 17, 88, 457, 2373, 12322,\) ...... 的通解公式，，

并 证明 第 \(2n+1\) 项，都可以表为两个平方数之和。

王守恩

蔡家雄 发表于 2025-3-13 15:59
请 Treenewbee ，王守恩，

求 \(2, 3, 17, 88, 457, 2373, 12322,\) ...... 的通解公式，，

{1, 3, 17, 88, 457, 2373, 12322, 63983, 332237, 1725168, 8958077, 46515553, 241535842, 1254194763, 6512509657, 33816743048, 175596224897, 911797867533, 4734585562562, 24584725680343}

1. Table[Round[((39*Sqrt[29] - 7*29)/58) ((5 + Sqrt[29])/2)^n], {n, 20}]

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{1, 4, 21, 109, 566, 2939, 15261, 79244, 411481, 2136649, 11094726, 57610279, 299146121, 1553340884, 8065850541, 41882593589, 217478818486, 1129276686019, 5863862248581, 30448587928924}

1. Table[Round[((7*Sqrt[29] - 29)/58) ((5 + Sqrt[29])/2)^n], {n, 20}]

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17=1^2+4^2, 457=4^2+21^2, 12322=21^2+109^2, 332237=109^2+566^2, 8958077=566^2+2939^2, 241535842=2939^2+15261^2, 6512509657=15261^2+79244^2, 175596224897=79244^2+411481^2,

王守恩

蔡家雄 发表于 2025-3-13 15:59
请 Treenewbee ，王守恩，

求 \(2, 3, 17, 88, 457, 2373, 12322,\) ...... 的通解公式，，

就得麻烦一点。

{2, 3, 17, 88, 457, 2373, 12322, 63983, 332237, 1725168, 8958077, 46515553, 241535842, 1254194763, 6512509657, 33816743048, 175596224897, 911797867533, 4734585562562, 24584725680343}

1. Table[( (39*Sqrt[29] - 7*29 ) /58 ) ( (5 + Sqrt[29] ) /2 )^n - ( (39*Sqrt[29] + 7*29 ) /58 ) ( (5 - Sqrt[29] ) /2 )^n, {n, 20}] // FullSimplify

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ysr

x^2 - 13*y^2= 139的部分解：
x=16  y=3
x=3364  y=933
x=17404  y=4827
x=4366456  y=1211037

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-15 08:35
请 Treenewbee ，王守恩，

求 \(x^2 - 13*y^2= 139\) 的通项公式，

\[y_n=\left\lfloor \frac{1}{52} \left(\left(109 \sqrt{13}-377\right) (-1)^n+\left(299-77 \sqrt{13}\right)\right) \left(5 \sqrt{13}+18\right)^n\right\rfloor\]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-15 08:35
请 Treenewbee ，王守恩，

求 \(x^2 - 13*y^2= 139\) 的通项公式，

\[x_n=\left\lceil \frac{1}{4} \left(5 \sqrt{13}+18\right)^n \left(\left(109-29 \sqrt{13}\right) (-1)^n+23 \sqrt{13}-77\right)\right\rceil\]

王守恩

蔡家雄 发表于 2025-3-14 12:08
请 Treenewbee ，王守恩，

求 \(x^2 - 13*y^2= 139\) 的通项公式，

{16, 3364, 17404, 4366456, 22590376, 5667656524, 29322290644, 7356613801696, 38060310665536, 9548879046944884, 49402253921575084, 12394437646320657736, 64124087529893793496, 16087970516045166796444}

LinearRecurrence[{0, 1298, 0, -1}, {3364, 16, 16, 3364}, 20]

{3, 933, 4827, 1211037, 6265443, 1571925093, 8132540187, 2040357559677, 10556030897283, 2648382540535653, 13701719972133147, 3437598497257717917, 17784821967797927523, 4462000201057977320613, 23084685212481737791707}

LinearRecurrence[{0, 1298, 0, -1}, {-3, 3, 933, 4827}, 20]

可以用同一个公式——LinearRecurrence[{0, 1298, 0, -1}, 20] = LinearRecurrence[{0, 1298, 0, -1}, 20]

ysr

求x^2 - 13*y^2= - 139的通解：
x=93  y=26
x=483  y=134
x=121197  y=33614
x=627027  y=173906

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-15 20:13
求 \(x^2 - 13*y^2= - 139\) 的通项公式，

求 \(x_n\)= 93 , 483 ,  ...... 的通解公式，

\[x_n=\text{Round}\left[\frac{1}{4} \left(5 \sqrt{13}+18\right)^n \left(\left(29 \sqrt{13}-109\right) (-1)^n+23 \sqrt{13}-77\right)\right]\]
\[y_n=\text{Round}\left[\frac{1}{52} \left(5 \sqrt{13}+18\right)^n \left(\left(377-109 \sqrt{13}\right) (-1)^n-77 \sqrt{13}+299\right)\right]\]