[原创]三个奇素数和的分布

白新岭

非常欢迎大傻先生，大傻一直关注我的帖子，而且提出了疑问，从这一点上看，大傻还是非常细心的。你说每个帖子都有一个连接，那是数学中国网站给大家提供的一个：“自我签名”的小程序，在“我的资料中”。以前有的网友有这种签名，我不会使用，主要是没有可签的。现在在熊一兵再次提出哈代-李特伍公式后，就顺藤摸瓜写出这两个式子。
最早我是用下面一个普通公式来求任意元和条件的方程正整数解的组数的：调节系数*（限制范围前符合条件的元素个数）^m/n,m为未知数的个数，n为限制范围.单调节系数=周期值*某类的合成比例，综合调节系数=所有单调节系数的积。这里用到的周期，合成比例，调节系数都是顾名思义。（也是自己的杜撰吧，好像不符合数学专用术语）。
这样，用素数定理代替n前符合条件的元素个数，就顺理成章的出现了哈代-李特伍公式，只是没有修正值无穷大项。
另外用哈代李特伍公式推广的话，还需要一些技巧和变通能力，我无法用哈代-李特伍公式类推出来，偶数元公式和奇数元公式，我是用素数定理代替素数个数后，把普通公式整理，简化出上面两个公式的（即我的签名）。
至于书上有没有，我就不知道了，我这里最深的书是高三的一本微积分，仅此一本，其他书已被我的侄子弄着玩了或是卖掉了。
就我现在看到的网络上，也只有哈代-李特伍偶数元公式，还没有更多元的公式。
至于公式的对错，还需要实际数据核对，不过，我想是不会错的，因为它都是出自一个模版-普通近似值公式，一种理论模型不可能在这儿能用，行得通；而，在那儿，就不能用，行不通；如果真是这样，岂不自相矛盾，模棱两可。
当m=2时，会得到哈代-李特伍公式，只不过没有*（1+无穷大项）而已。三元的也对，只是
有两种表示形式而已，一种以最小调节系数为基础，一种以最大调节系数为基础。
如果真的不对，那是自己在打自己的脸（自己问什么要用一个错误的表达式做为自己的签名呢？）

白新岭

例如，当m=2时，g(m)=2*∏(1+Pi/((Pi-1)^m-1))∏(1-1/(Pk-1)^m)*n^(m-1)/(LN(n))^m　，2ㄧm；2ㄧn,n≥3m。变为g(2)=2*∏(1+Pi/((Pi-1)^2-1))∏(1-1/(Pk-1)^2)*n^(2-1)/(LN(n))^2　，2ㄧ2；2ㄧn,n≥6.→→g(2)=2*∏(1+Pi/(Pi^2-2Pi))∏(1-1/(Pk-1)^2)*n/(LN(n))^2　.→→g(2)=2*∏(1+1/(Pi-2))∏(1-1/(Pk-1)^2)*n/(LN(n))^2　.→→g(2)=2*∏((Pi-1)/(Pi-2))∏(1-1/(Pk-1)^2)*n/(LN(n))^2　,形式完全与熊一兵提供的哈代-李公式一致。
只是，大傻不知怎么简化的，可能是把第一个连乘积的形式Pi/((Pi-1)^m-1)部分中的m-1看成一整体了，算术的四则运算顺序是先括号，后乘方开方，在乘除，最后加减，同一个运算级别自左到右。
三元的就留给读者吧。
需做点说明，这里用最大调节系数，非最小的，Pi仍然是能整除n的，Pk为所有√n前素数（不包括2）。
这两个公式有很好的对称性。（在连乘积的式子中的加减号上）

白新岭

对于普通近似值公式，在有限的条件下要除(m-1)!.
当无线条件时不再适用。需要进一步的研究公式与元数m的关系。

白新岭

从我上网到今天还没有看到用限制条件下不定线性方程解的组数入手，来解决歌猜的；用拉曼纽扬系数（或进行恒等变形来用）者也只是用，没有去找或证明它的数学意义。还有哈代-李特伍公式，也是引用，或在它的基础上做些工作，也没有证明或找到它的来源或者数学推导过程。
一个普遍的道理，更一般的数学知识就藏在限制条件下线性方程解的组数基础上。这里也可从组合数学中得到更好的发展。

白新岭

看来只是对偶数歌猜感兴趣，没有研究更一般的问题。例如k个素数和的分布问题，有人说了，2元的都解决不了，还谈什么多元的？实际上多元的比2元的更容易，还有比这容易的，能解决的，比如x+y+z+u=n，x,y,z,u不能整除2，3，5时，方程符合条件正整数解的组数是多少，谁可以用分类公式表示出来呢？

白新岭

最近加法合成原理又有了新的用途，可以解决6n偶数在孪中的分拆或在素数群（Pj,Pj+4)的中项中的分拆，或者12n的表示成2对孪生素数和中的应用。

白新岭

今天(2009年12月24日）得到6n类数在孪中的分拆数目公式：
G2中（6n)=INT(9*0.660161816^3*6∏[1-4/(Pi-2)^2]*∏[(Pj-2)/(Pj-4)]*∏[(Pk-3)/(Pk-4)]*(6n)/[LN(6n)]^4),Pi,Pj,Pk都是素数，且≤√6n,mod(6n,Pj)=0,mod(6n,Pk)=2或Pk-2.I?
且Pi,Pj,Pk都大于或等于5. （把素数2，3除外，式子中的6就是因为去了2，3，单独列出的一项）。

白新岭

今天得到6n类数在素数群(Pj,Pj+4)的中项中的分拆数目公式：
G2中（6n)=INT(9*0.660161816^3*6∏[1-4/(Pi-2)^2]*∏[(Pj-2)/(Pj-4)]*∏[(Pk-3)/(Pk-4)]*(6n)/[LN(6n)]^4),Pi,Pj,Pk都是素数，且≤√6n,mod(6n,Pj)=0,mod(6n,Pk)=4或Pk-4.+
且Pi,Pj,Pk都大于或等于5. （把素数2，3除外，式子中的6就是因为去了2，3，单独列出的一项）。.

白新岭

"童先生学识渊博，我是不如童先生的。
有一道小题不知童先生是否可以给个答案。
x+y+z=2009,x,y,z不能整除2，3，5，7这4个互质数（如果先生觉着容易，可以在加条件，难了可以去一个条件），x,y,z是自然数（如果现行的自然数包括0的话，它们也不能取0这个值），问在此种限制条件下，线性不定方程有多少组符合条件的解。"
上面的题藏着奇数歌猜的公式，只是限制条件少了，难度降低了，下面给出此题的计算公式：统一形式为：(at^2+bt+c)/2,t=INT[(n-1)/210].  a的值是可以预先计算的，当n能整除条件时，其合成方法因子为[(Pi-1)^3+1]/Pi-1=Pi^2-3Pi+2,不能整除条件时为[(Pi-1)^3+1]/Pi=Pi^2-3Pi+3,所以能整除2的合成法为0，不能整除2的合成法为1；能整除3的合成法为2，不能整除3的合成法为3；能整除5的合成法为12，不能整除5的合成法为13；能整除7的合成法为30，不能整除7的合成法为31；这4个条件可以把210类自然分成2^4=16种合成方法，实际上因为2有一类合成因子为0，这样就减去了一半的合成方法种类，偶数的合成方法都为0.余下的105种余数对应的公式的最高次项系数为各个单条件的乘积，只有一类数的余数可以整除所有的条件（除条件2外），那就是105，所以它的公式2次系数的值为1*2*12*30=720，这是最少的合成方法类数。所有的素数余数，包括1在内，公式中的最高次项的系数同一为1*3*13*31=1209.太多了。下面贴出公式中的a,b,c的值，这样查表就可以求出任何一个2n+1解的组数。
MOD(n,210)→(t^2+3t+2)/2→(t^2+t)/2→(t^2-t)/2→t^2→t→c
1→→→→→0→→→→→639→→→→570→→→→1209→69→0
3→→→→→1→→→→→421→→→→384→→→→806→40→2
5→→→→→0→→→→→585→→→→531→→→→1116→54→0
7→→→→→0→→→→→615→→→→555→→→→1170→60→0
9→→→→→0→→→→→424→→→→382→→→→806→42→0
11→→→→→0→→→→→687→→→→522→→→→1209→165→0
13→→→→→3→→→→→681→→→→525→→→→1209→165→6
15→→→→→3→→→→→423→→→→318→→→→744→114→6
17→→→→→0→→→→→702→→→→507→→→→1209→195→0
19→→→→→3→→→→→696→→→→510→→→→1209→195→6
21→→→→→3→→→→→474→→→→303→→→→780→180→6
23→→→→→3→→→→→738→→→→468→→→→1209→279→6
25→→→→→9→→→→→666→→→→441→→→→1116→252→18
27→→→→→3→→→→→490→→→→313→→→→806→186→6
29→→→→→6→→→→→747→→→→456→→→→1209→309→12
31→→→→→15→→→→→774→→→→420→→→→1209→399→30
33→→→→→10→→→→→516→→→→280→→→→806→266→20
35→→→→→12→→→→→696→→→→372→→→→1080→360→24
37→→→→→15→→→→→780→→→→414→→→→1209→411→30
39→→→→→10→→→→→517→→→→279→→→→806→268→20
41→→→→→21→→→→→810→→→→378→→→→1209→495→42
43→→→→→30→→→→→810→→→→369→→→→1209→531→60
45→→→→→18→→→→→498→→→→228→→→→744→324→36
47→→→→→24→→→→→819→→→→366→→→→1209→525→48
49→→→→→33→→→→→774→→→→363→→→→1170→510→66
51→→→→→25→→→→→558→→→→223→→→→806→410→50
53→→→→→36→→→→→846→→→→327→→→→1209→627→72
55→→→→→45→→→→→756→→→→315→→→→1116→576→90
57→→→→→28→→→→→562→→→→216→→→→806→430→56
59→→→→→45→→→→→843→→→→321→→→→1209→657→90
61→→→→→60→→→→→858→→→→291→→→→1209→747→120
63→→→→→36→→→→→558→→→→186→→→→780→480→72
65→→→→→57→→→→→786→→→→273→→→→1116→684→114
67→→→→→60→→→→→855→→→→294→→→→1209→741→120
69→→→→→40→→→→→570→→→→196→→→→806→494→80
71→→→→→78→→→→→882→→→→249→→→→1209→867→156
73→→→→→81→→→→→873→→→→255→→→→1209→861→162
75→→→→→54→→→→→531→→→→159→→→→744→534→108
77→→→→→81→→→→→843→→→→246→→→→1170→840→162
79→→→→→81→→→→→879→→→→249→→→→1209→873→162
81→→→→→66→→→→→592→→→→148→→→→806→642→132
83→→→→→99→→→→→888→→→→222→→→→1209→963→198
85→→→→→105→→→→→807→→→→204→→→→1116→918→210
87→→→→→70→→→→→594→→→→142→→→→806→662→140
89→→→→→105→→→→→891→→→→213→→→→1209→993→210
91→→→→→126→→→→→858→→→→186→→→→1170→1050→252
93→→→→→85→→→→→595→→→→126→→→→806→724→170
95→→→→→123→→→→→816→→→→177→→→→1116→1008→246
97→→→→→126→→→→→897→→→→186→→→→1209→1089→252
99→→→→→90→→→→→595→→→→121→→→→806→744→180
101→→→→→156→→→→→900→→→→153→→→→1209→1215→312
103→→→→→156→→→→→897→→→→156→→→→1209→1209→312
105→→→→→96→→→→→528→→→→96→→→→720→720→192
107→→→→→156→→→→→897→→→→156→→→→1209→1209→312
109→→→→→153→→→→→900→→→→156→→→→1209→1203→306
111→→→→→121→→→→→595→→→→90→→→→806→868→242
113→→→→→186→→→→→897→→→→126→→→→1209→1329→372
115→→→→→177→→→→→816→→→→123→→→→1116→1224→354
117→→→→→126→→→→→595→→→→85→→→→806→888→252
119→→→→→186→→→→→858→→→→126→→→→1170→1290→372
121→→→→→213→→→→→891→→→→105→→→→1209→1425→426
123→→→→→142→→→→→594→→→→70→→→→806→950→284
125→→→→→204→→→→→807→→→→105→→→→1116→1314→408
127→→→→→222→→→→→888→→→→99→→→→1209→1455→444
129→→→→→148→→→→→592→→→→66→→→→806→970→296
131→→→→→249→→→→→879→→→→81→→→→1209→1545→498
133→→→→→246→→→→→843→→→→81→→→→1170→1500→492
135→→→→→159→→→→→531→→→→54→→→→744→954→318
137→→→→→255→→→→→873→→→→81→→→→1209→1557→510
139→→→→→249→→→→→882→→→→78→→→→1209→1551→498
141→→→→→196→→→→→570→→→→40→→→→806→1118→392
143→→→→→294→→→→→855→→→→60→→→→1209→1677→588
145→→→→→273→→→→→786→→→→57→→→→1116→1548→546
147→→→→→186→→→→→558→→→→36→→→→780→1080→372
149→→→→→291→→→→→858→→→→60→→→→1209→1671→582
151→→→→→321→→→→→843→→→→45→→→→1209→1761→642
153→→→→→216→→→→→562→→→→28→→→→806→1182→432
155→→→→→315→→→→→756→→→→45→→→→1116→1656→630
157→→→→→327→→→→→846→→→→36→→→→1209→1791→654
159→→→→→223→→→→→558→→→→25→→→→806→1202→446
161→→→→→363→→→→→774→→→→33→→→→1170→1830→726
163→→→→→366→→→→→819→→→→24→→→→1209→1893→732
165→→→→→228→→→→→498→→→→18→→→→744→1164→456
167→→→→→369→→→→→810→→→→30→→→→1209→1887→738
169→→→→→378→→→→→810→→→→21→→→→1209→1923→756
171→→→→→279→→→→→517→→→→10→→→→806→1344→558
173→→→→→414→→→→→780→→→→15→→→→1209→2007→828
175→→→→→372→→→→→696→→→→12→→→→1080→1800→744
177→→→→→280→→→→→516→→→→10→→→→806→1346→560
179→→→→→420→→→→→774→→→→15→→→→1209→2019→840
181→→→→→456→→→→→747→→→→6→→→→1209→2109→912
183→→→→→313→→→→→490→→→→3→→→→806→1426→626
185→→→→→441→→→→→666→→→→9→→→→1116→1980→882
187→→→→→468→→→→→738→→→→3→→→→1209→2139→936
189→→→→→303→→→→→474→→→→3→→→→780→1380→606
191→→→→→510→→→→→696→→→→3→→→→1209→2223→1020
193→→→→→507→→→→→702→→→→0→→→→1209→2223→1014
195→→→→→318→→→→→423→→→→3→→→→744→1374→636
197→→→→→525→→→→→681→→→→3→→→→1209→2253→1050
199→→→→→522→→→→→687→→→→0→→→→1209→2253→1044
201→→→→→382→→→→→424→→→→0→→→→806→1570→764
203→→→→→555→→→→→615→→→→0→→→→1170→2280→1110
205→→→→→531→→→→→585→→→→0→→→→1116→2178→1062
207→→→→→384→→→→→421→→→→1→→→→806→1572→768
209→→→→→570→→→→→639→→→→0→→→→1209→2349→1140
MOD(2009,210)=119,t=INT[(2009-1)/210]=9.所以2009的解组数为余数119对应的公式，把t用9代替后的值。Z(2009)=(1170*t^2+1290*t+372)/2=(1170*9^2+1290*9+372)/2=53376

白新岭

上面的问题还有另一种解决方案：=1/(3-1)!*调节系数*符合条件的元素个数^3/n,
这里的1/(3-1)!=1/2=0.5,对于m个未知数时，应该乘1/（m-1)!，这也是我的签名公式中的一个常数项（当未知数的个数确定时），调节系数=各个单条件的调节系数积，每个单条件的调节系数=条件（我一般称它为周期）*合成方法/本条件的总合成方法，任何这样的限制条件的总合成方法为(Pi-1)^m,(m为未知数的个数），每个单条件的合成方法都是两种，当m为偶数时，n能整除条件时为[(Pi-1)^m-1]/Pi+1,n不能整除条件时为[(Pi-1)^m-1]/Pi；当m为奇数时，n能整除条件时为[(Pi-1)^m+1]/Pi-1,n不能整除条件时为[(Pi-1)^m-1]/Pi+1。这里m=3是奇数，所以用后一种。
在这里符合条件的元素个数=n∏(1-1/Pi).Pi是所有给的限制条件，这里为2，3，5，7，给条件时必须限定互质（但是不一定为素数，合数也可以当条件）。
这样解决这个问题的办法就有了，调节系数=2*3*5*7*（1*3/8*13/64*30/216）=2.2216796875，元素个数=2009*1/2*2/3*4/5*6/7=459.2，一切就绪，代入上面的式子：1/2*2.2216796875*459.2^3/2009=53539.85,  这个值与上面的53376，相差163.85.  相对误差：163.85/53376=0.0030697，如果不是要求精确的解组数，对此类问题这样处理是最好的办法（真求实际的组数，那是非常难得，特别是更多元的）。