存在任意长度的素数差的等比数列且公比为任意正整数及其倒数

白新岭

yangchuanju 发表于 2021-1-27 12:05
多谢白老师关照！
费了好长时间，终于在《数学研发论坛》注册成功。该论坛比起《哥猜》论坛差远了。
数 ...

是的。哪里的人气是有些差，在哥德巴赫猜想问题上更差。因为那个网站禁止关于哥德巴赫猜想问题的讨论。所以在哪里发帖子一定小心，闹不好就被封贴了。
只是哪里的斑竹和管理者都是编程方面的大佬。挺牛的。哪里有一个三维幻方的帖子。他们编程算出的解更多。

白新岭

在100亿前后2千万的自然数段内找到了128313组二生素数（P，P+30），以此为基础可以向上加码。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-1-26 16:58
内有6个10生的，2个11生的！
恭喜白新岭老师找到长度达11的素数链！

白老师：
快把您的那几个长度10-11级的数据贴出来吧！我算的草稿找不到了，那天算的对不对也不知道了（无法复核）。

yangchuanju

等比素数级数长度无穷吗

最密k生素数是由k个连续的跨度最小的素数群构成，它的级数不受限制，可以达到无穷多级。
当用与30互素的互素数表示时，素数群的首数可以是1,7,11,13,17,19,23和29。
若不限定跨度最小（最密），允许素数不连续，它的级数（生数）更不受限制。

等差素数级数受公差限制，只能达到有限级，例如公差等于6或6n的等差素数级数最多是4级，公差6=3#，级数等于素数3的下一素数5减1。（以5领头公差是6的级数5,11,17,23,29位5级除外）
公差等于30或30n的等差素数级数最多是6级，公差30=5#，级数等于素数5的下一素数7减1。
公差等于210或210n的等差素数级数最多是10级，公差210=7#，级数等于素数7的下一素数11减1。
已知的最大的等差级数是26级，它的公差是23#或23#的某个倍数。

等比素数级数的公比可以是2,3,4,5,6……，亦可以是1/2,1/3,1/4,1/5，…….
标准的公比等于2的素数级数是指级数的第1个差是2，第2个差是4，第3个差是8，……各个差是相邻两素数的差（邻距）。
（1）公比等于2的2级素数就是孪生素数；公比等于2的3级素数就是间距0 2 6的最密三生素数；公比等于2的4级素数是间距0 2 6 14的四生素数，它不是最密的，第3和4个素数之间还可能有其它素数；……
（2）公比等于3的2级素数一般还是孪生素数；公比等于3的3级素数就是邻距0 2 6（间距0 2 8）的四生素数，相当于最密四生素数缺少第三项； 4级级数是邻距0 2 6 18（间距0 2 8 26）的四生素数；……
（3）公比等于6的2级素数是指间距等于6的二生素数，公比等于6的3级素数邻距是0 6 36，间距是0 6 42；4级素数邻距是0 6 36 216，间距是0 6 42 258；……
（4）若认为公比等于6的3级素数间距是0 6 36，则它的邻距便是0 6 30；随后的4级素数间距0 6 36 216，邻距0 30 180；5级素数间距0 6 36 216 1296，邻距0 6 30 180 1080；……实际上它的公比等于5+6+6……；
（5）公比等于10的2级素数是指间距等于10的二生素数，公比等于10的3级素数邻距是0 10 100，间距是0 10 110；4级素数邻距是0 10 100 1000，间距是0 10 110 1110；……
（6）若认为公比等于10的3级素数间距是0 10 100，则它的邻距便是0 10 90，实际上是公比等于9的3级素数；更有研究价值。
（7）曾经错误地把2,4,8,16……当成了公比等于2的间距，对于2级素数仍是孪生素数，但3级素数只有3,5,7一组；4级素数不存在。虽然算错了，但当对错误结果统计并排序后以外的发现它也是挺有参考价值的。抛弃奇数相，居然在22万以内得到长度等于9的素数链（首素数51479），它实际是邻距等于2,6,24,96……的非标准的公比等于4的等比级数。
公比等于其它数值的从略。

yangchuanju

公比等于2的多级素数的各项是邻距2,4,8,16，……（间距pk-p1等于2,6,14,30，……）；
当用与30互素的互素数表示时，3级素数可以是11,13,17、17,19,23，4级及4级以上素数只能是17,19,23,31,47,79,143……。
等比级数17,19,23,23,31,47,79,143，……模3,5,7,11,13,17余数分别为：
互素数        3        5        7        11        13        17
17        2        2        3        6        4        0
19        1        4        5        8        6        2
23        2        3        2        1        10        6
31        1        1        3        9        5        14
47        2        2        5        3        8        13
79        1        4        2        2        1        11
143        2        3        3        0        0        7
271        1        1        5        7        11        16
527        2        2        2        10        7        0
1039        1        4        3        5        12        2
2063        2        3        5        6        9        6
4111        1        1        2        8        3        14
8207        2        2        3        1        4        13
16399        1        4        5        9        6        11
32783        2        3        2        3        10        7
65551        1        1        3        2        5        16
131087        2        2        5        0        8        0
262159        1        4        2        7        1        2
524303        2        3        3        10        0        6
1048591        1        1        5        5        11        14
2097167        2        2        2        6        7        13
余数个数        2        4        3        10        12        16
余数缺少        缺0        缺0        4个        缺2        缺4        9个
从表中容易看到，当级数达到6后素数链被合数143打断，该级数只有6级。
该级数中的各项模素数3,5,7,11,13，……虽有0存在，但他们的余数并没有占完p的全部剩余类，至少缺1个；
当各项都加上一个适当的整数后，各列余数将发生变化（增加或减少一个相同的整数），但余数的总数不改变，并将余数0消掉了。
序        公比2的13级素数        3        5        7        11        13        17
1        29503289812427         2        2        4        2        2        2
2        29503289812429         1        4        6        4        4        4
3        29503289812433         2        3        3        8        8        8
4        29503289812441         1        1        4        5        3        16
5        29503289812457         2        2        6        10        6        15
6        29503289812489         1        4        3        9        12        13
7        29503289812553         2        3        4        7        11        9
8        29503289812681         1        1        6        3        9        1
9        29503289812937         2        2        3        6        5        2
10        29503289813449         1        4        4        1        10        4
11        29503289814473         2        3        6        2        7        8
12        29503289816521         1        1        3        4        1        16
13        29503289820617         2        2        4        8        2        15
增        29503289812410         0        0        1        7        11        2

yangchuanju

下面再分析一下等比等于6的素数级数。
对于邻距0 6 36 216……，间距0 6 42 258……型公比等于6的等比级数，素数链最长是5，只有5,11,47,263,1559一组；一般为4，如11,17,53,269；131,137,173,389；……等。再向后都是5的倍数数（受素数5控制）。

对于邻距0 6 30 180 1080……，间距0 6 36 216 1296……型公比等于6的等比级数，素数链的长度可能达到任意长。笔者在前2万个素数基础上计算，得到了9级素数链，将素数范围扩大到1000万内素数计算，得到了10级素数链。可能原因是间距6,30,180的素数对较多所致。
首素数11邻距0 6 30 180 1080……等比级数模3,5,7,11,13,17余数分别为
互素数         3        5        7        11        13        17
11         2        1        4        0        11        11
17         2        2        3        6        4        0
47         2        2        5        3        8        13
227         2        2        3        7        6        6
1307         2        2        5        9        7        15
7787         2        2        3        10        0        1
46667         2        2        5        5        10        2
279947         2        2        3        8        5        8
1679627         2        2        5        4        1        10
10077707         2        2        3        2        3        5
60466187         2        2        5        1        2        9
362797067         2        2        3        6        9        16
2176782347         2        2        5        3        12        7
13060694027         2        2        3        7        4        4
78364164107         2        2        5        9        8        3
470184984587         2        2        3        10        6        14
2821109907467         2        2        5        5        7        12
16926659444747         2        2        3        8        0        0
从表中容易看到，当级数达到5后素数链被合数7787打断，该级数只有5级。
该级数中的各项模素数11,13,17，……虽有0存在，但他们的余数并没有占完p的全部剩余类，至少缺1个；
当各项都加上一个适当的整数后，各列余数将发生变化（增加或减少一个相同的整数），但余数的总数不改变，并将余数0消掉了。
序        公比6的10级素数        3        5        7        11        13        17
1        3599111        2        1        5        10        9        7
2        3599117        2        2        4        5        2        13
3        3599147        2        2        6        2        6        9
4        3599327        2        2        4        6        4        2
5        3600407        2        2        6        8        5        11
6        3606887        2        2        4        9        11        14
7        3645767        2        2        6        4        8        15
8        3879047        2        2        4        7        3        4
9        5278727        2        2        6        3        12        6
10        13676807        2        2        4        1        1        1
增        3599100        0        0        1        10        11        13
据此它们不受任何素数控制，理论上可以达到无穷多级，但实际上级数中的某些项常常含有更大的素因子，变成合数，素数链被打断，从而变成有限级。
对于等比为其它数的级数情况类似。

白新岭

yangchuanju 发表于 2021-1-28 10:28
下面再分析一下等比等于6的素数级数。
对于邻距0 6 36 216……，间距0 6 42 258……型公比等于6的等比级数 ...

yangchuanju先生的分析，有条不紊，有详细的数据，也有理论性的推演过程，在这个关于素数一阶差分构成的等比数列问题上，已有大成的结果，可喜可贺。

白新岭

这个问题，可以在数论的四大定理中找到一些线索，和有利的证据（四大定理：威尔逊定理，欧拉定理，孙子定理，费马小定理），要说联系最密切的就是孙子定理了（又称中国剩余定理），你的深刻理解它才会有惊人的发现。最直接相关的是：剩余类和完全剩余系的知识了。常用的完全剩余系----模m的非负最小完全剩余系，模m的绝对最小完全剩余系。再下来就是简系中的知识运用了（实际上，自己对数论知识只是知道点皮毛）。
更详细的，与此有关的数论知识在下楼（是从百度上搜索到的），这里提前感谢以下原著作者。

白新岭

在百度上搜索关键字：完系,简系     吧！希望你能看到有用的知识内容（关于对这个问题起到关键作用的）

白新岭

我主要是想说：一列素数组（有前后顺序和前后两个素数的间距固定，则总跨度固定），如果设\(P_j\)-\(P_{j-1}\)=a*\(q^{j-2}\) ,j≥2.在这样的一个素数链条中，只要首项不被素数P整除，则P+S(间距的累计和），也永远不会被P整除，也就是说把这个素数首列平移后，所得到的新数，仍就最少有一个余数不被占用。所以这个素数组链条可以无限制延长。