趣味幻立方——三阶素数幻立方

yangchuanju

幻方大师钟明先生曾经发布一款以3309为幻和的3阶素数幻立方，见《13款3阶素数幻立方》中的第一款。               
第一枚最小3阶素数幻立方               
第一层               
2153        929        227
839        947        1523
317        1433        1559
第二层               
509        1607        1193
1787        1103        419
1013        599        1697
第三层               
647        773        1889
683        1259        1367
1979        1277        53
               
该幻立方共使用13对26个互补素数，分布在立方体的6个表面中心，8个顶点，12条棱的中心。               
53        2153        差
227        1979        174
317        1889        90
419        1787        102
509        1697        90
599        1607        90
647        1559        48
683        1523        36
773        1433        90
839        1367        66
929        1277        90
947        1259        18
1013        1193        66
1103                90

该幻立方的作者是谁？在钟明的作品中没有署名。
另据网页《Prime Number Magic Cubes》（网址：http://www.magic-squares.net/c-t-htm/c_prime.htm）介绍，它由Akio Suzuki 在1977年编制，命名为《Suzuki Prime Order-3 Cubes》，Akio Suzuki 何许人士？不详。
它由Akio Suzuki 在1977年编制，命名为《Suzuki Prime Order-3 Cubes》，Akio Suzuki 何许人士？不详。
网页声明，在2003年已被Allen Wm、Johnson、Jr等人证明，它是幻和最小的3阶素数幻立方。

yangchuanju

（接上楼）
上述幻立方的体心是素数1103，其2倍偶数2206可分解成35对素数对，包括2206=1103+1103；它们是：
3        2203                383        1823                797        1409
53        2153                419        1787                839        1367
107        2099                509        1697                887        1319
137        2069                569        1637                929        1277
167        2039                587        1619                947        1259
179        2027                593        1613                977        1229
227        1979                599        1607                983        1223
233        1973                647        1559                1013        1193
257        1949                653        1553                1019        1187
293        1913                683        1523                1097        1109
317        1889                719        1487                1103        1103
359        1847                773        1433

用第一款3阶素数幻立方所选用的14对互补素数（包括1103+1103）能否编制成第二、第三个3阶素数幻立方？
用第一款3阶素数幻立方所选用的14对互补素数中的一部分再配上其它互补素数对能否编制成第二、第三个3阶素数幻立方？
用其余互补素数对能否编制出一个或多个3阶素数幻立方？……待研究！

yangchuanju

（接上楼）
要搞清这个问题，首先必须将Akio Suzuki等人编造的第一款3阶素数幻立方的原理弄清楚。
尚若27素数符合下述4参数模式：
a                b                c
a+d                b+d                c+d
a+2d                b+2d                c+2d
a+3d+e                b+3d+e                c+3d+e
a+4d+e                b+4d+e                c+4d+e
a+5d+e                b+5d+e                c+5d+e
a+6d+2e                b+6d+2e                c+6d+2e
a+7d+2e                b+7d+2e                c+7d+2e
a+8d+2e                b+8d+2e                c+8d+2e
b-a=c-b                               
则幻立方可仿由连续整数的模板编制。                               

退一步，e=0，3列数变为等差数字（3参数）；
再退一步，b-a=c-b=9d，27数字变成全等差的了（2参数）。

Akio Suzuki等人为什么选用上述13对素数，尚未分析出结果。
将27个素数分成9个3生素数组，它们不等差；
列1        列2        列3        行差        ——        ——        列差        ——
53        947        1559        ——        ——        ——        894        612
227        839        1433        174        -108        -126        612        594
317        929        1523        90        90        90        612        594
419        1013        1607        102        84        84        594        594
509        1103        1697        90        90        90        594        594
599        1193        1787        90        90        90        594        594
683        1277        1889        84        84        102        594        612
773        1367        1979        90        90        90        594        612
647        1259        2153        -126        -108        174        612        894

钟明大师在编制本类3阶素数幻立方时使用了一套5参数模板，模板中的e是幻立方的中心素数，是明确的；
但左上角的a，b，c，d四数如何取定？请知情者告知。
3阶幻立方的通解模板
钟明
a                b                3e-a-b
c                d                3e-c-d
3e-a-c                3e-b-d                a+b+c+d-3e
                               
b+c+d-2e                4e-2b-d                b-c+e
4e-2c-d                e                2c-2e+d
c-b+e                2b-2e+d                4e-b-c-d
                               
5e-a-b-c-d                b+d-e                a+c-e
c+d-e                2e-d                2e-c
a+b-e                2e-b                2e-a

程中战老师研究幻立方多年，并曾编制出了类似幻立方，不知是否知晓该模板参数的取定方法？

yangchuanju

3阶素数幻立方的选数和编制是比较困难的，据说全世界会编制3阶素数幻立方的不超过5人；
从各种资料中可以搜索到的3阶素数幻立方仅仅十几枚。
幻和最小（3309和4659）的两枚在1977年由Akio Suzuki等人编制成功；
我国的幻方大师钟明、牛学良等人认真研究了素数幻方、幻立方之问题，并于十几年前编制并发表了13款3阶素数幻立方。
13款3阶素数幻立方之中包括幻和最小的2枚；幻和很大的3阶素数幻立方5枚；幻和4659的幻立方的各种变形体；
钟明等人总结并发表了这类幻立方编制的通用模板。

笔者近期在欣赏3阶素数幻立方的基础上，认真分析了这类幻立方的素数构成，编制方法，但一直找不出其中的规律；
后在OEIS网站搜索到了3阶素数幻立方的最小的20个幻和：
3309, 4659, 5091, 5433, 7179, 7431, 7773, 7863, 8223, 8367, 8403, 9501, 9543, 9573, 9987, 10029, 10113, 10371, 10551, 10821
又在互联网中搜索到了俄罗斯人编制的幻和第3、第4的两款3阶素数幻立方；别无其它收获。

笔者一直试图编制一个或几个3阶素数幻立方，始终无处下手；
幻和等于7179的3阶素数幻立方是否有人编制并发表——不知道；反正我现在没有搜索到这个幻立方；
于是决定试编一个幻和等于7179的3阶素数幻立方吧！
7179/3*2=4786，和等于4786的素数对有59对（包括2393+2393），涉及117个素数；
而编制3阶幻立方仅需要27个素数，其一2393是必选的；另26个选谁呢？
分析117个素数可构成的3数和等于7179的幻和数组（共2020个）及涉及各个素数的个数，从中可排出掉一些幻和数组和部分素数；
从中选出部分素数，试图让它们充当模板中的a,b,c,d，一直无果；
后不得不选用了其中的114个素数并进行全排列试验，（3、4783只在一组幻和数组中出现，2393是中心素数被排除，）终于如愿一场，获得成功！

现已获得由53,293,857等27素数构成的3阶素数幻立方一组6个，它们互为另一个的变形体：
3阶素数幻立方之一                                3阶素数幻立方之二               
4733        1427        1019                4733        1427        1019
1583        3929        1667                2153        2789        2237
863        1823        4493                293        2963        3923
                                               
2153        2789        2237                1583        3929        1667
2477        2393        2309                2477        2393        2309
2549        1997        2633                3119        857        3203
                                               
293        2963        3923                863        1823        4493
3119        857        3203                2549        1997        2633
3767        3359        53                3767        3359        53
——        ——        ——                第一个幻立方的行重组       

3阶素数幻立方之三                                3阶素数幻立方之四               
4733        1583        863                4733        1583        863
1427        3929        1823                2153        2477        2549
1019        1667        4493                293        3119        3767
                                               
2153        2477        2549                1427        3929        1823
2789        2393        1997                2789        2393        1997
2237        2309        2633                2963        857        3359
                                               
293        3119        3767                1019        1667        4493
2963        857        3359                2237        2309        2633
3923        3203        53                3923        3203        53
第一个幻立方的转置体                                第三个幻立方的行重组               

3阶素数幻立方之五                                3阶素数幻立方之六               
4733        2153        293                4733        2153        293
1583        2477        3119                1427        2789        2963
863        2549        3767                1019        2237        3923
                                               
1427        2789        2963                1583        2477        3119
3929        2393        857                3929        2393        857
1823        1997        3359                1667        2309        3203
                                               
1019        2237        3923                863        2549        3767
1667        2309        3203                1823        1997        3359
4493        2633        53                4493        2633        53
第一个幻立方的列重组                                第五个幻立方的转置体               

困惑：
如何选定26素数（13对）？
选定26素数后如何编制？
还有没有其它的幻和7179的3阶素数幻立方？共多少组？

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-8-27 08:10
3阶素数幻立方的选数和编制是比较困难的，据说全世界会编制3阶素数幻立方的不超过5人；
从各种资料中可以 ...

祝贺杨老师制作三阶素数幻立方成功！
学生的制作方法，先固定中心数n，再把互补和为2n的所有素数对全部找出来。
选一个三阶素数幻立方为模板。把模板幻立方的27个素数从小到大依次排出三个三阶方阵，即第一层，第二层，第三层，这是初始方阵，仔细观察它们的行和，列和，竖和，且这个初始方阵并不一定完全符合行，列，竖都分别等差，观察它的反常之处。
完全按照这个初始方阵模板进行排我们已经选好了的素数对，即可。
以钟明牛国良的最大素数幻立方的素数为界线，请杨老师在大于他们的最大素数的素数数列中重新选素数对，因为在那个界线以内，钟牛两位老师已经地毯式搜索完毕，您不可能再构造出三阶素数幻立方了！
注:在排三个三阶初始方阵的时候，只排13个素数，即可，中心，及以后的，按中心对称填写。

费尔马1

注，我们选好了的素数对，并不一定都能用上。
制作方法，把合格的初始方阵从小到大依次编号，再根据模板，对号入座。

yangchuanju

费尔马1 发表于 2021-8-27 09:33
祝贺杨老师制作三阶素数幻立方成功！
学生的制作方法，先固定中心数n，再把互补和为2n的所有素数对全部 ...

程老师理解有错误，第20号3阶素数幻立方的幻和才刚刚超过10000多一点；
钟明、牛学良的三款大幻立方的幻和分别达到7644957、26582313和13290639；
在1万至764万、再至1329万、2658万之间肯定存在大量的不计其数的3阶素数幻立方的幻和。
程老师认为“在那个界线以内，钟牛两位老师已经地毯式搜索完毕，您不可能再构造出三阶素数幻立方了！”显然是不对的。

钟牛二人为何选择了3个大幻和，因为幻和大，素数对多，优选素数对相对容易一点，幻立方的编制也就容易一点；
二人还有什么想法，无人知晓！

yangchuanju

3阶素数幻立方模板的使用和局限
以二素数和等于4786的素数对共59对，除去3,2393和4783还有114个素数；
分别以这114个素数为模板中的abcd，套入模板后立即得到一组对应的27的整数；
在这27个整数中保证了相关3数和都等于幻和；
但这些整数中有不少负整数，正合数，还有许多数值相等的整数，必须分别剔除之。
我在操作中用EXCEL中的if函数剔除了负数，再用mode函数剔除数值相等的整数，最后用分解软件求出其中的素数；
当各个数组中的27个整数都是素数时才为所求。

幻和等于7179的3阶素数幻立方现已得到一组6款；假定允许内有个别合数，则其数量将大大增加。
笔者分别以这114个素数为模板中的参数c和d；再以4733为a，53-2393为b；套入模板即可得到与abcd对应的27个整数（仅完成全部检验的1/2*1/114=1/228=0.4%）。
经第一、第二步先后剔除负数和相同数后，得到约77000组含31个不同正整数的数组；
第三步，用分解软件分解后，得到含27个素数的数组6个；含26素数的数组4个；含25素数的数组18个；含24素数的数组82个；含23素数的数组342个；……
这些零散合数混在素数中，单单评肉眼很难分辨出来。例

yangchuanju

4733        2153        293
1583        2939        2657
863        2087        4229
               
1889        2327        2963
3467        2393        1319
1823        2459        2897
               
557        2699        3923
2129        1847        3203
4493        2633        53
曾被笔者作为第二组3阶素数幻立方处理，但没有发现它的对应变体，有所怀疑；后经复核，发现其中很有一个合数，随即被舍弃！               
你知道它们中的哪一个是合数吗？               

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-8-27 15:32
4733        2153        293
1583        2939        2657
863        2087        4229

杨老师您好:您研究幻立方太辛苦了！休息一下吧！
本幻立方中，2327=13*179，是合数。后面的数字我就没再检验。