[求助]请教陆老师和elimqiu老师：这道概率题应该如何来计算呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/06/13 00:06am 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/06/12 09:38pm 发表的内容：
是啊！建立联系不就是一种结合吗？并不一定非要出现“非驴非马系统”才算是结合啊！
既然在标准分析和非标准分析中，“从全体正整数中随机取一个数，取到任何数的概率相等”这样的问题，都是不恰当的。
为什么“从[0,1]中随机取一个数，取到任何数的概率相等”这样的问题，就是恰当的呢？
复杂（不可数）问题可以解决，简单（可数）问题反而无法解决，这是什么道理呢？

   为什么“从全体正整数中随机地取一个数”是一个提得不恰当的问题，
还可以这样来看：
    对于“从 {1,2,…,n} 中随机地取一个数”的问题，我们可以构造这样
一个试验：在一个口袋中放入 n 个同样的小球，分别写上号码 1,2,…,n ，
然后从中随机地摸出一个。所以，这样提出问题是现实的、恰当的。
    但对于“从全体正整数中随机地取一个数”的问题，我们却无法构造一
个试验，我们不可能在一个口袋中放入无穷多个小球，写上全体正整数的号
码，然后从中随机摸出一个。可见，这样提出问题是不现实的、不恰当的。
    又例如，对于“从 [0,1] 中随机地取一个数”的问题，我们可以构造
这样一个试验：作一个周长为 1 的圆周，圆周上取一点作为起点，代表 0 ，
绕圆周一圈回到这点，代表 1 。让一根指针在中间匀速旋转，然后随机喊
“停”，指针停下时所指的圆周上的点，就是取到的 [0,1] 中的一个数 。
可见，这样提出问题也是现实的、恰当的。
   当然，上面说的，不能代替理论上的证明，但可以给我们一个直观的理由。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/06/12 11:55pm 发表的内容：
   为什么“从全体正整数中随机地取一个数”是一个提得不恰当的问题，
还可以这样来看：
    对于“从 {1,2,…,n} 中随机地取一个数”的问题，我们可以构造这样
一个试验：在一个口袋中放入 n 个同样的小球，分　...

1、“从 {1,1/2,1/3,…,1/n,…} 中随机地取一个数”
2、“从 [0,1] 的有理数中随机地取一个数”
请问陆老师：对于上述两个问题，是不是还是不恰当的问题呢？能否构造试验呢？

elimqiu

有很多非均匀的随机模型可以用于可数无穷样本空间。但没有均匀的模型。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/06/13 11:10am 第 2 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/06/13 09:32am 发表的内容：
1、“从 {1,1/2,1/3,…,1/n,…} 中随机地取一个数”
2、“从  的有理数中随机地取一个数”
请问陆老师：对于上述两个问题，是不是还是不恰当的问题呢？能否构造试验呢？

楼上 elimqiu 说得对，这两个问题，如果要求"取到每一个数的概率都相等"，
那是无法建立概率论公理化结构的。但是，如果放弃“取到每一个数的概率都相等”
的要求，那还是有可能建立概率论公理化结构的。

luyuanhong

从集合 S={x1,x2,…,xi,…} 中随机地取一个点，取到 xi 点的概率定义为
          P(xi) = 1/2^i ,i=1,2,3,… 。
对于这样的概率结构，我们可以构造这样一个随机试验：
    扔一枚均匀的硬币，每次出现正面和反面的概率相等，都是 1/2 。
现在连续扔这枚硬币，直到首次出现正面为止，记录下扔硬币的次数,
扔硬币的次数为 i ，就相当于取到 xi 。显然有 P(xi) = 1/2^i 。
    由此可见，这样提出的问题，是现实的、恰当的。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/06/13 10:17am 发表的内容：
楼上 elimqiu 说得对，这两个问题，如果要求"取到每一个数的概率都相等"，
那是无法建立概率论公理化结构的。但是，如果放弃“取到每一个数的概率都相等”
的要求，那还是有可能建立概率论公理化结构的。

这就是说，“从全体正整数中随机地取一个数”并不是一个提得不恰当的问题，只有再加上“取到每一个数的概率都相等”，才是一个提得不恰当的问题。
请问陆老师，是这样的吗？

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/06/13 11:55am 发表的内容：
从集合 S={x1,x2,…,xi,…} 中随机地取一个点，取到 xi 点的概率定义为
          P(xi) = 1/2^i ,i=1,2,3,… 。
   扔一枚均匀的硬币，每次出现正面和反面的概率相等，都是 1/2 。
现在连续扔这枚硬币，直到首次出现正面为止，记录下扔硬币的次数,
扔硬币的次数为 i ，就相当于取到 xi 。显然有 P(xi) = 1/2^i 。
   由此可见，这样提出的问题，是现实的、恰当的。

事实上， P(xi) = 1/2^i 是一个人为的约定，因此它一定不会和现实试验中的 P(xi) 相等。
当然，现实中不可能出现可数无穷多次这样的试验，因此说这样的问题是现实的，似乎太牵强了。

luyuanhong

下面引用由天茂在 2011/06/13 03:29pm 发表的内容：
事实上， P(xi) = 1/2^i 是一个人为的约定，因此它一定不会和现实试验中的 P(xi) 相等。
当然，现实中不可能出现可数无穷多次这样的试验，因此说这样的问题是现实的，似乎太牵强了。

   我说“构造”这样的试验，说明这样的试验，是在理想化的完美条件下的试验。
在实际生活中，硬币不一定完全均匀，出现正面的概率不一定是 1/2 ，扔硬币 i 次，
首次出现正面的概率也不一定正好是 1/2^i ，…… ，等等，想要达到所构造的试验
那样理想化的完美条件，确实是很难做到的。
    但是，问题的关键，不在于构造出的试验，是理想化的完美条件下的试验，还是
完全符合实际的试验，关键的问题是：到底能不能构造出一个合理的试验？
    例如，对于“从全体正整数中随机地取一个数，取到每个数的概率都相等”这样
的问题，即使允许在理想化的完美条件下，我们也无法构造出一个合理的试验。比如说，
想要用一个无穷大的口袋，放入无穷多个小球，写上全体正整数的号码，然后从中模出
一个球。这样的试验，是完全不合理的，是根本无法实现的，不仅是完美不完美的问题。
正是因为如此，我们才认为，这样提出问题，是不现实、不恰当的。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/06/13 04:31pm 发表的内容：
   我说“构造”这样的试验，说明这样的试验，是在理想化的完美条件下的试验。
在实际生活中，硬币不一定完全均匀，出现正面的概率不一定是 1/2 ，扔硬币 i 次，
首次出现正面的概率也不一定正好是 1/2^i ，…… ，等等，想要达到所构造的试验
那样理想化的完美条件，确实是很难做到的。
   但是，问题的关键，不在于构造出的试验，是理想化的完美条件下的试验，还是
完全符合实际的试验，关键的问题是：到底能不能构造出一个合理的试验？
   例如，对于“从全体正整数中随机地取一个数，取到每个数的概率都相等”这样
的问题，即使允许在理想化的完美条件下，我们也无法构造出一个合理的试验。比如说，
想要用一个无穷大的口袋，放入无穷多个小球，写上全体正整数的号码，然后从中模出
一个球。这样的试验，是完全不合理的，是根本无法实现的，不仅是完美不完美的问题。
正是因为如此，我们才认为，这样提出问题，是不现实、不恰当的。

同意陆老师关于完美、理想和合理的论述。
但是，如果把“用一个无穷大的口袋，放入无穷多个小球，写上全体正整数的号码，然后从中模出一个球”这样一个不合理的试验，改为“用一个普通的口袋，放入无穷多个体积无穷小的小球，并将每个小球编上全体正整数的号码，然后从中模出一个球”，是不是一个合理的试验呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/06/14 10:40am 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/06/14 08:39am 发表的内容：
同意陆老师关于完美、理想和合理的论述。
但是，如果把“用一个无穷大的口袋，放入无穷多个小球，写上全体正整数的号码，然后从中模出一个球”这样一个不合理的试验，改为“用一个普通的口袋，放入无穷多个体积　...

注意，我们研究的是“在标准分析中能否建立概率论公理化结构”，“在标准分析中能否构造
合理的随机试验”的问题。在标准分析中，无穷大量和无穷小量都不是数，所以不可能有无穷
多个体积无穷小的小球。事实上，在实际生活中，也确实不可能有无穷多个体积无穷小的小球。
    如果我们是在非标准分析中研究问题，那么，对非标准分析来说，不存在“能否构造合理的
随机试验”的问题，因为在现实生活中，无穷大量和无穷小量，都是不可能有的，所以，涉及到
无穷大量和无穷小量的非标准分析的随机试验，当然都是不现实、不可能有的。
    对非标准分析来说，只有“能否建立概率论公理化结构”的问题。要解决这样的问题，最简单
的办法，是通过“转换公理”来判断：
   
    如果一个概率问题，在标准分析中能够建立概率论的公理化结构，那么，用“转换公理”转换
后的问题，在非标准分析中也能建立概率论的公理化结构。
    如果一个概率问题，在标准分析中不能建立概率论的公理化结构，那么，用“转换公理”转换
后的问题，在非标准分析中也不能建立概率论的公理化结构。