[分享]概率怪论

elimqiu

我把 Edwin Jaynes 的文章贴在这里备案。 文章是用英文写的，内容也有些艰深，但思路很严谨。作者是搞物理的，文章的目的是引入极大任意原理，很有价值！

elimqiu

我们了解到对‘任意’的不同界定可能导致不同的随机模型乃至相应的不同的概率值。这些不同的结果本身都没有数学上的错误，它们的不同纯粹出自对‘任意’的不同界定。可见语言，特别是自然语言在某些情形是多义的。
但是在一个给定的概率问题中，对所谓的任意应该怎么理解，才能排除一切有意无意造成的，对任意的追加限制？ 这个问题的难处不在于愿望，而是技术上很难。
对于一个随机事件A，是否会不存在[极大任意]模型，只存在随机模型序列 {(Ωn,Fn,Pn)} 使得 A ∈Fn, Pn(A) < Pn+1(A), n = 1,2,...
另外，如果存在极大随机模型，那么这种模型是否唯一？
这些论题是很有哲学和数学价值的。

天茂

这里的问题关键在于：
认为圆内的点是均匀的、认为圆上的点是均匀的、认为圆直径上的点是均匀的，这三种假设都将导致三种不同的结果。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/06/16 05:33pm 第 1 次编辑]

例如解法一，在不同的圆弧中考察，概率值也不同（随着圆弧半径的增大，这个概率值可以趋于0），如下图所示：

熊一兵

下面引用由elimqiu在 2011/06/15 05:13pm 发表的内容：
我把 Edwin Jaynes 的文章贴在这里备案。 文章是用英文写的，内容也有些艰深，但思路很严谨。作者是搞物理的，文章的目的是引入极大任意原理，很有价值！

巧合，我也学了几天物理，居然想法那么一致，极大任意原理，与我想的最大任意想法是一样的，这样的“任意”才能获得通往唯一答案道路

天茂

再比如在解法二中，会出现两种结果：
如果假设直径PQ上的点是均匀的，其结果是1/2（一楼图解法二）；
如果假设圆周上的点是均匀的，其结果就是1/3（如下图所示）。

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/06/16 04:56pm 发表的内容：
例如解法一，在不同的圆弧中考察，概率值也不同（随着圆弧半径的增大，这个概率值可以趋于0），如下图所示：

注意你的三角形不是别的半径的圆的内接三角形。所以这么算是错的。
这个图很漂亮。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2011/06/16 02:25pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/06/16 05:31pm 发表的内容：
再比如在解法二中，会出现两种结果：
如果假设直径PQ上的点是均匀的，其结果是1/2（一楼图解法二）；
如果假设圆周上的点是均匀的，其结果就是1/3（如下图所示）。

我们看到，自然语言的‘任意’和它的数学表达之间并没有什么必然的对应关系。后者是前者的可操作性（可计算性）‘重建’，它为个人的建模技术水平和认识所转移。大多数人理解‘任意’，却仍然不知道如何建立随机模型来算概率；不少人会建立随机模型，却没有自洽，相关的随机模型未必唯一的意识；有了这种意识，还得运用极大任意原理和较复杂的手段才能发现和论证极大任意随机模型的存在性和唯一性。
这就是说，古典直觉性的概率方法是不严格的，对某些复杂情况是有歧义的。

elimqiu

概率怪论这种提法，反映了大多数人对一个自然语言表达的概率问题有多个数学上自洽，却不尽相同的解这种事实的排斥态度。
极大任意原理剔除了【不够任意】的模型。然而就算我们得到了具有极大任意性的模型，并不表明我们直觉地‘明白’（想通）为什么它是极大任意的。

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/06/16 01:31pm 发表的内容：
注意你的三角形不是别的半径的圆的内接三角形。所以这么算是错的。
这个图很漂亮。

如果“以圆周上的点是均匀的”为前提，那么，得出的概率＝1/3，解法一就是如此。
如果“以直径上的点是均匀的”为前提，那么，得出的概率＝1/2，解法二就是如此。
在解法二中，如果也设定“以圆周上的点是均匀的”为前提，那么，也能得出的概率＝1/3的结果，如下图所示：

从上图可以看出，原解法二是以“线段QN=NO=OM=MP”为依据，得出概率＝1/2；
同理，我们仍然可以以“圆弧AC=CP=PD=DB=BQ=QA”为依据，得出概率＝1/3 。