[猜想] 这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？

天山草

下面引用由熊一兵在 2011/10/15 08:34am 发表的内容：
广义梅腾斯公式

广义梅腾斯公式——这个名字简洁，很好。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/10/15 11:47am 第 1 次编辑]

看明白了，原来是这样的：

wangyangkee

[这个贴子最后由wangyangkee在 2011/10/15 01:24pm 第 1 次编辑]

下面引用由天山草在 2011/10/15 11:38am 发表的内容：
看明白了，原来是这样的：
这两个公式是等价的。
如果单从是否有极限的角度看，大傻公式的形式由于分母都是带平方的，容易证明其有极限。
而刘丹公式如何证明其有极限呢，还得考虑考虑。

天山草，一架天平；

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/10/15 01:27pm 第 1 次编辑]

大傻8888888

我前一段就利用“广义梅腾斯公式”探讨孪生素数问题，现复制以前的帖子如下；


   前一段在“ 网上关于连乘积有三种不同的意见，请网友讨论或者用数据检验哪个正确？”这个帖子里，qingjiao先生和liudan先生根据梅滕斯定理.∏(1-1/p)-->e^(-γ)/lnx，p≤x x→∞推论出的x→∞时，∏(1-1/p)-->2e^(-γ)/lnx，（其中p≤√x）才是正确的。同时天山草先生用数据也检验了这个方法的确是正确的。看来用∏(1-1/p)直接表示素数的个数是不对的，但是用x∏(1-1/p)/2e^(-γ)，（其中p≤√x）表示x以内素数的个数则是应该成立的，同样用x/2*∏(1-2/p)/[2e^(-γ)]^2，（其中2﹤p≤√x）表示x以内孪生素数的个数也是应该成立的，请有兴趣的网友（特别是天山草先生）用数据检验是否正确。虽然结果还没有出来，但是我个人认为一定是正确的。不信我们可以拭目以待。

     天山草先生计算结果如下：
“按大傻8888888的不大于 x 的孪生素数组数公式计算，与实际值比较，结果如下：
  x           计算值           实际值          计算/实际
-----------------------------------------------------------------
10000000           50726             58980       0.86005
20000000           93122            107407       0.86700
30000000          133295            152891       0.87183  
40000000          171795            196753       0.87315     
  2 亿           721868            813371       0.88750
20 亿          5751530           6388041       0.90035
40 亿         10797924          11944438       0.90401
100 亿         24887721          27412679       0.90789
1000 亿        205772902         224376048       0.91708
1 万亿       1729229895        1870585220       0.92443
10 万亿      14734651089       15834664872       0.93053
100 万亿    127052915959      135780321665       0.93572
1000万亿   1106769279118     1177209242304       0.94016
1 亿亿    9727596632846    10304195697298       0.94404
10 亿亿   86168506931355    90948839353159       0.94743
20 亿亿  166392268896577   175448328823978       0.94838
30 亿亿  244584778743210   257750385466498       0.94892         
40 亿亿  321499383716968   338672552419827       0.94929

40 亿亿以后，按大傻88888888的公式还能算下去，但是实际值没有参考资料了。上面这些实际值来自国际数学互联网。
如哪位网友有 40 亿亿以后的数据，请您发上来，大家共享。';  
  

  天山草  
按大傻888888的公式，计算不大于 x 的孪生素数的组数，并与哈代公式比较：
【经比较可知，两个公式的计算结果相差无几】
    x           计算值           实际值          计算/实际       哈代公式计算值    哈代值/实际
-------------------------------------------------------------------------------------------------
  1 千万            50726             58980       0.86005                 50822      0.86168
  2 千万            93122            107407       0.86700                 93435      0.86992
  3 千万           133295            152891       0.87183                133629      0.87401
  4 千万           171795            196753       0.87315                172363      0.87604
    2 亿           721868            813371       0.88750                722794      0.88864
   20 亿          5751530           6388041       0.90035               5757274      0.90126
   40 亿         10797924          11944438       0.90401              10803890      0.90451
  100 亿         24887721          27412679       0.90789              24902848      0.90844
1000 亿        205772902         224376048       0.91708             205808662      0.91725
  1 万亿       1729229895        1870585220       0.92443            1729364456      0.92450
10 万亿      14734651089       15834664872       0.93053           14735413118      0.93058
100 万亿     127052915959      135780321665       0.93572          127055347804      0.93574
1000万亿    1106769279118     1177209242304       0.94016         1106793251986      0.94018
  1 亿亿    9727596632846    10304195697298       0.94404         9727675066290      0.94405
10 亿亿   86168506931355    90948839353159       0.94743        86169024808664      0.94745
20 亿亿  166392268896577   175448328823978       0.94838       166393017720207      0.94839
30 亿亿  244584778743210   257750385466498       0.94892       244585370474273      0.94892      
40 亿亿  321499383716968   338672552419827       0.94929       321500770753996      0.94930

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/10/17 11:23am 第 6 次编辑]

今天发现了求得系数 An 的最简单方法，您看下面这张表，就明白了。An 这个系数，不但是正整数，而且 2 的指数 Zn 有一个递推公式：
Zn = Zn-1 + π(n)。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/10/17 00:16pm 第 2 次编辑]


其中 Pk 是第 k 个素数。

大傻8888888

下面引用由天山草在 2011/10/17 09:39am 发表的内容：
今天发现了求得系数 An 的最简单方法，您看下面这张表，就明白了。An 这个系数，不但是正整数，而且 2 的指数 Zn 有一个递推公式：
Zn = Zn-1 + π(n)。
-=-=-=-=- 以下内容由天山草在时添加 -=-=-=-=-

这两天我也在考虑系数 An 的表示方法，天山草的方法很好。另外我再补充一点如下：
这个连乘积最后一个素数的值等于n是素数时的值。它出现的次数等于下一个素数减去这个素数的值。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/10/17 08:05pm 第 2 次编辑]


大家看看，这样的表述有木有毛病 ？

熊一兵

下面引用由天山草在 2011/10/17 09:39am 发表的内容：
今天发现了求得系数 An 的最简单方法，您看下面这张表，就明白了。An 这个系数，不但是正整数，而且 2 的指数 Zn 有一个递推公式：
Zn = Zn-1 + π(n)。
-=-=-=-=- 以下内容由天山草在时添加 -=-=-=-=-

祝贺天山草的发现，好优美的递推公式！！！
太有才了！！！