“现代数学三大难题之三”－－构造非李明波实数

波浪

elimqiu 先生：
    1.先生的观点，也是经典数学和当今数学主流的观点。
    2.个人觉得，这个问题仍然是当今数学不能彻底说清的事情：什么是无限小数？“无限”既然都可以去定义一个名词，那么用哪一个自然数才能够和它去对应？如果找不到这样的自然数 n = 0，1，2，3，… ，那么“无限”两字岂不是缺乏基础？
    3.基于第二点，我们可以把√2 说成是无理数，但是却没有和它对应的10进制小数。
    4.若我们把经典的自然数 n = 0，1，2，3，… 引伸为  n = 0，1,2,3,… ，Ω-3，Ω-2，Ω-1，Ω，Ω+1，Ω+2，Ω+3，……  可是，Ω 的属性还没有被以自然数的身份所充分地界定出来。
    5. 莱布尼茨公式 π /4 = 1-1/3+1/5-1/7+ … 若按课本上级数理论去解释，应该说成是 1-1/3+1/5-1/7+ … 和的极限是 π/4 ，那么  π/4 = 1-1/3+1/5-1/7+ … 其实只是一个近似公式吗？微积分的结果难道与真值之间都有一个无穷小的误差吗？若是用微积分去求矩形面积公式，也会得出矩形面积公式 = 长*宽，难道这也是近似的吗？
    6.所以我们只能得出两种结论：要么 π /4 = 1-1/3+1/5-1/7+ … 是近似的，等号两面差一个无穷小；要么 π /4 = 1-1/3+1/5-1/7+ … 是精确的，无穷意义上的有理数也可以是无理数。

elimqiu

波浪：
   2.个人觉得，这个问题仍然是当今数学不能彻底说清的事情：什么是无限小数？“无限”既然都可以去定义一个名词，那么用哪一个自然数才能够和它去对应？如果找不到这样的自然数 n = 0，1，2，3，… ，那么“无限”两字岂不是缺乏基础？
el:
无限小数不是说其值的大小。无限小数是指 A0.A1A2A3...=A0+A1/10+A2/10^2+A3/10^3+... 中有无限多非0项。这很明确么。
N = { 0,1,2,3,…} 的每个元素都代表一种有限。为什么无限小数一定要有自然数的对应才有基础？
无限小数只是实数的一种表达形式： 用10^0,10^1,…,10^k,…的‘接替度量’来表达一个实数。
波浪：
   3.基于第二点，我们可以把√2 说成是无理数，但是却没有和它对应的10进制小数。
el:
在经典的10进小数的定义下√2=1.4142…,后者就是其对应的10进制无限小数
波浪：
   4.若我们把经典的自然数 n = 0，1，2，3，… 引伸为  n = 0，1,2,3,… ，Ω-3，Ω-2，Ω-1，Ω，Ω+1，Ω+2，Ω+3，……  可是，Ω 的属性还没有被以自然数的身份所充分地界定出来。
el:
这种自然数的‘扩张’必然会与皮亚诺的自然数公理冲突。而这组公理是经典数系的基础。于是一个‘超’自然数即使大于0，也未必是一个标准自然数的后继。{ 0，1,2,3,… ，Ω-3，Ω-2，Ω-1，Ω，Ω+1，Ω+2，Ω+3，…} 本身并不包含可以用十进制表达的‘无穷大自然数’！理由我已经说了，那种东西使‘数系’的全序性都丧失掉了。而 Ω-k 这种东西不能用来在李明波的意义下对应 0.33333…
波浪：
   5. 莱布尼茨公式 π /4 = 1-1/3+1/5-1/7+ … 若按课本上级数理论去解释，应该说成是 1-1/3+1/5-1/7+ … 和的极限是 π/4 ，那么  π/4 = 1-1/3+1/5-1/7+ … 其实只是一个近似公式吗？微积分的结果难道与真值之间都有一个无穷小的误差吗？若是用微积分去求矩形面积公式，也会得出矩形面积公式 = 长*宽，难道这也是近似的吗？
el:
经典的级数和本身就是其部分和的极限。所以π/4 = 1-1/3+1/5-1/7+ …不是近似公式。
所以微积分的结果与真值之间没有一个无穷小的误差。
波浪：
   6.所以我们只能得出两种结论：要么 π /4 = 1-1/3+1/5-1/7+ … 是近似的，等号两面差一个无穷小；要么 π /4 = 1-1/3+1/5-1/7+ … 是精确的，无穷意义上的有理数也可以是无理数。
el:
π /4 = 1-1/3+1/5-1/7+ … 是精确的。部分和所成的有理数列的极限可以是无理数。而“无穷意义上的有理数”对我还不是一个明确的提法。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
十进小数其实就是用 Mn/10^n  (Mn 是整数)
这种形式的渐进分数（有理数）的极限表达式来表示实数。

波浪

[这个贴子最后由波浪在 2009/09/14 06:37am 第 1 次编辑]

    谢谢 elimqiu 先生的耐心！你的解释正在被品味。
    当今数学还有如下问题个人认为是矛盾的说法：
    1.每个自然数的大小都是有限的，但自然数的个数是无穷多的。
      因为这样一来我们数到哪一个自然数时，使它们的数量成为无穷多了呢？
    2.实数轴被实数点填满是没有缝隙的。
      如果说两实数之间只有如下三种关系：小于、等于、大于，那么两个不重合实数点之间必然是有间隙的，尽管这个间隙可以是无穷小。
   

ygq的马甲

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2009/09/14 09:09am 第 2 次编辑]

当今数学还有如下问题个人认为是矛盾的说法：
   1.没个自然数的大小都是有限的，但自然数的个数是无穷多的。
     因为这样一来我们数到哪一个自然数时，使它们的数量成为无穷多了呢？

“有限”的性质或本质，还是比较容易掌握的。
那么，“无限”应该有点区别吧 ？？？怎么样区别好呢 ？？？[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-
自然数集合的做法是：
每个“个体”是“有限”
整个“整体”是“无限”
*******
已经是最小、最少的区别啦，即【极限】理论的 ∞ 方式
其它区别更大的，“实无穷 ω”方式
每个“个体”也是“无限”
整个“整体”也是“无限”

波浪

    还有一个问题是：无穷小大于0小于任意正实数，这也在说明数轴上原点与任意正实数点之间是有间隙的。难道不是吗？

ygq的马甲

下面引用由波浪在 2009/09/14 06:41am 发表的内容：
    还有一个问题是：无穷小大于0小于任意正实数，这也在说明数轴上原点与任意正实数点之间是有间隙的。难道不是吗？

你仍然没有搞清楚：“无穷小”并不是遵守“形式ｆｏｒｍａｌ”逻辑的
是否有间隙，你想得到什么回答？？？是或否 这种“形式ｆｏｒｍａｌ”逻辑吗 ？？？

elimqiu

波浪：
当今数学还有如下问题个人认为是矛盾的说法：
   1.每个自然数的大小都是有限的，但自然数的个数是无穷多的。
     因为这样一来我们数到哪一个自然数时，使它们的数量成为无穷多了呢？
el:
自然数的个数的无限性不是以数到，而是以数不尽所界定的。而有限却正是以计数为某自然数而界定。这里没有矛盾。需要澄清的只是有限无限基数序数的意义。
波浪：
   2.实数轴被实数点填满是没有缝隙的。
     如果说两实数之间只有如下三种关系：小于、等于、大于，那么两个不重合实数点之间必然是有间隙的，尽管这个间隙可以是无穷小。
el:
“实数轴被实数点占满是没有缝隙”和‘不同两点有间隙’这两种说法是可以共存的。没有矛盾。前者是指实数轴上没有一个位置不被一个实数点所占据，后者是说任何不同的两点都不是相邻的点，它们之间有距离。然而以它们为端点的小线段上仍然充满了点不是吗？所以即使说这两点间有‘缝隙’，这‘缝隙’也不是空空如也的，而照样是被点充满的。从这个意义上说，‘缝隙’这种说法不是很恰当。因为通常我们说‘缝隙’有没被占据的意味。
说‘占满’而不说‘填满’的原因是‘填’这个词如果被解释成一次一点的动作的话是不适当的，这种动作有根深蒂固的可数性。但线段的点的确不是人一次一点地填出来的，事实上也不是可数多。

elimqiu

下面引用由波浪在 2009/09/14 06:41am 发表的内容：
    还有一个问题是：无穷小大于0小于任意正实数，这也在说明数轴上原点与任意正实数点之间是有间隙的。难道不是吗？

如果你谈的是经典数学，无穷小是一种变量，既然是变量，在数轴上就没有固定的位置。拿它并不能说明什么。
如果定义间隙就是二实数点之间占满了其他实数点那个小线段，那么你要说任意二不同实数点之间有间隙也没有什么不合理。问题在于人们常常因为用词不当而把自己忽悠了：先说两点间的距离，再忘记它们之间有一个严严实实的线段。

波浪

[这个贴子最后由波浪在 2009/09/14 07:23pm 第 2 次编辑]

    陆教授的帖子特别好，再次转帖过来：

    对陆教授的帖子，是否可以这样理解：
    1.经典的标准分析的实数域中，无穷大其实只是趋势；但在非标准分析的超实数域中，无穷大可以看做是特殊的实数（超实数）。
    2.经典的标准分析中的无穷大，其实是不知不觉地透支性地提前使用了超实数，因为经典的标准分析中，没有一个实数可以和无穷大对应，所以它所说的无限小数是缺乏理论基础的或者说是不存在。
    3.“李明波数阵”其实也是如此，也透支性地使用了超实数理论中的无穷大，只是李明波当时不知道非标准分析的内容而已。把 n 写成 0,1,2,3,… ，Ω-3，Ω-2，Ω-1，Ω，Ω+1，Ω+2，Ω+3，…… 不就行了。
    4.这样一来，“李明波数阵”中，就会有第 … ，Ω-3，Ω-2，Ω-1，Ω，Ω+1，Ω+2，Ω+3，… 行，也就可以名正言顺地含有无限小数，从而含有全部实数。

ygq的马甲

2.经典的标准分析中的无穷大，其实是不知不觉地透支性地提前使用了超实数，因为经典的标准分析中，没有一个实数可以和无穷大对应，所以它所说的无限小数是缺乏理论基础的或者说是不存在。

这种看法，是错误的
Ω 超穷数，是一种“扩张、扩展、拓展 ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ”，类似于复数 a+bi 中的虚部[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

类似于级数展出式的高次项 a+bΩ +cΩ ^2+……