[推荐]三元数的几篇文章

luyuanhong

方程租  x-2y+z=2,x+y-2z=1,2x-y-z=3 中的行列式 D=0 ,D1=D2=D3=0 ，说明这个方程组的解不唯一。
但是，不能说：“x、y、z 就可以取任意值了”，其中的 x、y、z 还要满足一定的关系式。

数学小不点

     也有道理，经观察，三个方程组可以去掉任意一个，此时，可获得三条直线的方程，是不是，满足这三条直线的x、y、z就是我们所要找的所有解了呢？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
simpley还算诚实，这样，我在写数学史的文章时，就不至于将他的意见写错，三元数的运算扩展并不是数系研究中的小事。

数学小不点

    在数学推导中，这一次我是过于形而上学了，得到一个对称式，就自以为对了，原来，还有一个多余的式子要去掉的，这样才完备！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
luyuanhong老师原来的观点是：
注意：“有逆运算”并不等于说“每一个元素都有逆元”。
例如，在实数域中，我们问：“乘法有没有逆运算？”大家都会回答：“有逆运算，乘法的逆运算就是除法。”
然后问：“在实数域中，是不是每一个元素都有乘法逆元？”大家都回答：“不是，例如 0 就没有乘法逆元。”
对于有零因子的三元数，也是这样。
在三元数中，可以定义乘法的逆运算——除法。所以我们说：“三元数中的乘法有逆运算。”
但是，在三元数中，并不是每一个元素都有乘法逆元，例如 0 和零因子就没有乘法逆元。
我在定义三元数的除法运算时，就已经说明了：只有当除数不是 0 或零因子时，才可以做除法运算。
这也就是说，在三元数中，0 和零因子都是没有乘法逆元的。所以，三元数的乘法不能构成一个群。
  

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/09/23 11:44pm 第 1 次编辑]

“方程组中三个方程，可以去掉任意一个”，这个结论很对，数学小不点发现了这个问题的关键之处。
但是说“可获得三条直线的方程”，我不明白是什么意思，这句话似乎不太正确。
每一个关于 x,y,z 的线性方程，代表空间中的一个平面。
如果三个方程线性独立，代表空间中有两两相交的三个平面，它们的公共点是唯一的一个点，所以方程组有唯一解。
如果三个方程中可以去掉一个，只有两个线性独立的方程，代表空间中只有相交的两个平面，它们的交线，是一条直线。
我们现在的问题，就是要求出这条直线。

数学小不点

我的意思是：如任意去掉一个平面，有三种可能，是不是有三条可能的直线呢？当然，两个平面也可能平行或重合，此时，就不再有解了，可以是无穷多的解，但，不是任意的三元数，正如luyuanhong所言：她们仍需满足在平面上才行。
  未及细想，请luyuanhong老师指教，白天太忙了！北京中创园有几个环保工程要求解决，没有多少时间去专门搞数学。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/09/24 07:23am 第 1 次编辑]

“方程组中三个方程，可以去掉任意一个”说明这三个方程代表的三个平面，交于同一条直线，
所以，去掉其中任意一个平面，剩下的两个平面，还是交于这一条直线，还是可以确定这条直线。
现在我们的问题，是要求出这条直线的方程。
表示一条空间直线，最好用参数式方程： x=x0+lt ，y=y0+mt ， z=z0+nt 。
其中， (x0,y0,z0) 是直线上的某一个点，(l,m,n) 是这条直线的方向向量。
我们前面已经证明了，如果 x0+y0i+z0j 是问题的一个解，那么 (x0+y0i+z0j)+t(1+i+j) 也是问题的一个解。
由此可见，这条直线的方向向量 (l,m,n)=(1,1,1) ，参数式方程为：  x=x0+t ，y=y0+t ， z=z0+t 。
现在，我们的问题变成：只要求出直线上某一个点 (x0,y0,z0) ，也就是只要求出方程组的某一个特解，就可以了。

数学小不点

    谢谢luyuanhong老师：现在我明白了，虽然可以随意去掉一个平面，但其交线是不变的，或者说：任两个平面的交线两两重合，这也正是我们要找的结果。
   难得luyuanhong老师提出这么有趣而意味深长的代数问题，最终她们都获得了完美的解决，我们对数学到了解也得到了进一步的提高。
    看来，暂时放弃概念之争，多去解决一些实际而有趣的数学问题，这才是最有收益的。
  

denglongshan

感谢各位的热烈讨论，希望各位做好备份工作，防止意外删贴。另外，向大家请教一个问题：如何用三元数判断两平面垂直？

数学小不点

    判断两平面垂直好像并不是新理论需要着重解决的问题，现在，如何完善他们应该更为重要，luyuanhong老师就是这么做的，暂时不用过多考虑应用问题，先把理论问题解决再说。

denglongshan

复数是二元数，应用它判断两直线垂直平行，很方便。用三元数判断两平面垂直是很自然的拓展。