实数集可数定理和 归 0 证明法

春风晚霞

APB先生 发表于 2021-1-31 17:03
春风晚霞 ;
      和式符号不是明明写着从第一项一直加到无穷项吗 ？？
      我那是教诲，只是说说我的 ...

APB先生：等式\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ {9\over 10^n}\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)(\(9\over 10^1\)+\(9\over 10^2\)+…\(9\over 10^n\))左端的和式符号确实表示从第一项一直加到无穷项。但等式右端，若不求极限，它只表示该级数前n项前n项和(\(9\over 10^1\)+\(9\over 10^2\)+…\(9\over 10^n\))。
APB先生，这个等式既不是我发明的，也不是双木林先生发明的。这个等式大约在莱布尼茨时代就有了。我们使用这个等式并不想“糊弄”谁，至少表明我们不是在“偷换概念”，最多也能表示我们对你的理论不盲从。

APB先生

春风晚霞;
       等式右瑞，不求极限，就等于无限循环小数 0.999…… 。
       我查遍最权威的数学指南、数学手册、数学百科辞典、古今数学思想、数学史、……、也一直没有找到这个等式的出处。相信您不是要糊弄我。

春风晚霞

APB先生 发表于 2021-1-31 18:55
春风晚霞;
       等式右瑞，不求极限，就等于无限循环小数 0.999…… 。
       我查遍最权威的数学指南 ...

APB先生
“等式右瑞，不求极限，就等于无限循环小数 0.999…… ”这种说法是不对的。因为等(\(9\over 10^1\)+\(9\over 10^2\)+…+\(9\over 10^n\))是一个始于首项，止于第n项的有限多项式。只有取极限时，才赋于了n趋向于无穷的功能，才能得到所有项的和。等式虽然有悖你的理论，但确实是永真等式。不然的话，绝对不会出现我和双木林都用这个等式来“糊弄”你的情形。你现在怀疑等式\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ {9\over 10^n}\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)(\(9\over 10^1\)+\(9\over 10^2\)+…\(9\over 10^n\))是否成立的问题。这个问题就好办得多，任找一本要讲级数理论的教科书，在讲级数的敛散性时都要讲到这个问题。因我客居在女儿家，相关资料不在身边，所以也不能为你提供该等式出于何典。但有一点可以肯定我不会向你“传递这个糊弄人的假等式”的(因为这样做对一个形将木的人没有半点好处)。其实这个等式是否为真，只要你走岀“因为\(0.\dot 9\)<1,所以\(0.\dot 9\)<1这个循环论证怪圈，你自己都可以证明这个等式成立的。

APB先生

尊敬的春风晚霞教授 ：
       只去掉 lim , 不能去掉 n 趋于无限 。0.9+0.09+…… 绝对收敛到 0.999……，只有 lim 0.999……= 1 。
       您保重身体，别太累了，我很感谢您与我讨论数学问题，我相信您不糊弄我。可是您从 1 推出 0.999……，我不敢接受。
      北大张顺燕教授的循环小数的讲义是有错误的，错在不懂和丢失无限小小数 0.0……01/n.

春风晚霞

APB先生 发表于 2021-2-1 08:14
尊敬的春风晚霞教授 ：
       只去掉 lim , 不能去掉 n 趋于无限 。0.9+0.09+…… 绝对收敛到 0.999…… ...

APB先生：您 于 2021-2-1 08:34 编辑的贴文读毕，现就文中提及的几个问题回复于后：
一、关于无级数的表示问题
       “只去掉lim，不能去掉n趋于无限。”这时确实有“0.9+0.09+……绝对收效到0.999……，”这正是\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ {9\over 10^n}\)=\(0.\dot 9\)嘛！而“只有lim0.999……=1”这个式子中您是默认n趋向于无穷这个条件的。事实上这也表明了您承认了\(\lim\limits_{n\to\infty}\)(\(9\over 10^1\)+\(9\over 10^2\)+…\(9\over 10^n\))=1，您说是吗？
二、关于从“1推岀0.999……”的问题
        设x∈{x|0<x<9,x∈N}，则\(x\over 9\)=\(0.\dot x\) [把\(x\over 9\)十进制展开成无穷级数]，在等式\(x\over 9\)=\(0.\dot x\) 两端同除以x得\(1\over 9\)=\(0.\dot 1\)[欧几里得等量公理之“等量的同分量相等”]，在等式\(1\over 9\)=\(0.\dot 1\)的两端同乘以9，则有1=\(0.\dot 9\)[欧几里得等量公理之“等量的同倍量相等”]，所以 1\(\Rightarrow 0.\dot 9\)。
三、关于双重极限符号问题
    请先生注意符号\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(\lim\limits_{n\to\infty}\)(\(9\over 10^1\)+\(9\over 10^2\)+…\(9\over 10^n\))与\(\lim\limits_{n\to\infty}\)(\(9\over 10^1\)+\(9\over 10^2\)+…\(9\over 10^n\))的异同。相异之处：前者表示先求无穷级数的所有项的和的极限，然后再对这个极限值求极限。相同之处则是它们的极限值都是1[常数的极限值是它本身]。
四、关于北大教授的正误问题
      先生在贴文中写道“北大张顺燕教授的循环小数的讲义是有错误的，错在不懂和丢失无限小小数 0.0……01/n.”我不知先生贵庚几何？但肯定您比康托尔、华罗庚小。先生说张顺燕教授的错误在于“错在不懂和丢失无限小小数 0.0……01/n”。我认为张顺燕教授“不懂和丢失无限小小数 0.0……01/n”的原因无外乎：1）张顺燕教授写《循环小数讲义》时，您的无穷小小数尚未问世，他不知道世上还有无穷小小数一说；2）张顺燕教授根本就不认同您的无穷小小数。APB先生，数学上某种理论得不到认可这很正常，您不是就不认可康托尔、华罗庚的数学理论吗？据我估计目前数学界除您以外，暂时还没有人认同您的无穷小小数理论。
        即此，顺颂文祺！
           春风晩霞叩首

春风晚霞

马克思在《数学手稿》P19中写道：“\(1\over  3\)本身是它的自己的极限。假如我把它表成级数，\(1\over 3\)=\(3\over 10\)+\(3\over 100\)+\(3\over 1000\)+\(9\over 10000\)+……在这种情况下，\(1\over 3\)成为它的无穷级数的极限”如果我们用数学语言把这段话翻译出来那就是：\(1\over 3\)=\(3\over 10\)+\(3\over 100\)+\(3\over 1000\)+\(9\over 10000\)+……=\(0.\dot 3\)=\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ {3\over 10^n}\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)(\(3\over 10^1\)+\(3\over 10^2\)+…\(3\over 10^n\))。

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胡扯是无用的，真正的问题是： 使用施笃兹公式，可以算出A（n）分子的极限是0，因此算A（n）的极限是0. 但elim 在没有算出这个分子极限的情况下，使用施笃兹公式计算了A（n）的极限是2/3,,由于他没有使用施笃兹公式计算A（n）分子的极限，所以他的A(n)极限算错了，这就是他不敢计算这个分子极限的原因。也是他失败的原因。

APB先生

春风晚霞 发表于 2021-2-1 12:10
APB先生：您 于 2021-2-1 08:34 编辑的贴文读毕，现就文中提及的几个问题回复于后：
一、关于无级数的 ...

APB先生

elim 发表于 2021-1-31 03:56
APB先生提出了一个数 \(a = 1-0.\dot{9}\), 我指出了他无法辩驳的事实：
这个数小于任何\(\small\dfrac{1} ...

elim

看不出你这个"导致\(0=1\)"怎么来的．

在数学基础研究中，引进一个新的表达式必须用递归方法．把它化归结为对已有定义的表达式的运算结果．所以 \(a_1+\cdot+a_{n+1}:=(a_1+\cdots+a_n)+a_{n+1},\;\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n:=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k\). 在标准分析中求极限是对(收敛)序列的确定的运算, 级数和是对部分和序列的极限运算．在这种合式公式定义原则下，\(0.\dot{0}1\) 无法递归因而徒有形式不可释义．但如果同意它非负且小于任何\(10^{-n}\), 则由实数系的阿基米德性推出它只能是\(0\). 进而得\(0.\dot{9}=1\)