一题 \(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\) 多解

Treenewbee

这样更直观些：
\[y_n=\text{Round}\left[\frac{\left(5 \sqrt{13}+18\right)^n \left(\left(29 \sqrt{13}-109\right) (-1)^n+23 \sqrt{13}-77\right)}{4 \sqrt{13}}\right]\]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-14 16:21
求 a^5+b^5+c^5+d^5=e^5，究竟发现了多少个？

27^5+84^5+110^5+133^5=144^5

A134341
Numbers whose fifth powers have a partition as a sum of fifth powers of four positive integers.

144, 288, 432, 576, 720, 864, 1008, 1152, 1296, 1440, 1584, 1728, 1872, 2016, 2160, 2304, 2448, 2592, 2736, 2880, 3024, 3168, 3312, 3456, 3600, 3744, 3888, 4032, 4176, 4320, 4464, 4608, 4752, 4896, 5040, 5184, 5328, 5472, 5616, 5760, 5904, 6048, 6192

ysr

求x^2-29*y^2=59的通解：
x=28  y=5
x=10528  y=1955
x=538328  y=99965

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-16 08:52
求 \(x^2 - 29*y^2= 59\) 的通项公式，

求 \(x_n\)= 28 , 10528 , ...... 的通解公式，

\[x_n=\text{Round}\left[\frac{1}{4} \left(13 \sqrt{29}+70\right)^n \left(\left(103-19 \sqrt{29}\right) (-1)^n+9 \sqrt{29}-47\right)\right]\]
\[y_n=\text{Round}\left[\frac{\left(13 \sqrt{29}+70\right)^n \left(\left(103-19 \sqrt{29}\right) (-1)^n+9 \sqrt{29}-47\right)}{4 \sqrt{29}}\right]\]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-16 10:27
求 \(x^2 - 29*y^2= - 59\) 的通项公式，

求 \(x_n\)= 75 , 3845 , ...... 的通解公式，

\[x_n=\text{Round}\left[\frac{1}{4} \left(13 \sqrt{29}+70\right)^n \left(\left(19 \sqrt{29}-103\right) (-1)^n+9 \sqrt{29}-47\right)\right]\]
\[y_n=\text{Round}\left[\frac{\left(13 \sqrt{29}+70\right)^n \left(\left(19 \sqrt{29}-103\right) (-1)^n+9 \sqrt{29}-47\right)}{4 \sqrt{29}}\right]\]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-16 11:18
求 \(x^2 - 85*y^2= 161\) 的通项公式，

求 \(x_{2n+1}\)= 39 , ...... 的通解公式，

\[x_n=\text{Round}\left[\frac{1}{8} \left(41 \sqrt{85}+378\right)^{\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil } \left(\left(269-29 \sqrt{85}\right) (-1)^n+\left(254 \sqrt{85}-2342\right) \sin \left(\frac{n\pi}{2}\right)+65 \sqrt{85}-597\right)\right]\]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-16 11:18
求 \(x^2 - 85*y^2= 161\) 的通项公式，

求 \(x_{2n+1}\)= 39 , ...... 的通解公式，

\[y_n=\text{Round}\left[\frac{\left(41 \sqrt{85}+378\right)^{\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil } \left(\left(269-29 \sqrt{85}\right) (-1)^n+\left(254 \sqrt{85}-2342\right) \sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)+65 \sqrt{85}-597\right)}{8 \sqrt{85}}\right]\]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-16 20:15
求 \(x^2 - 85*y^2= -161\) 的通项公式，

求 \(x_{2n+1}\)= 82 , ...... 的通解公式，

\[x_n=\text{Round}\left[\frac{1}{4} \left(41 \sqrt{85}+378\right)^{\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil } \left(3 \left(65-7 \sqrt{85}\right) (-1)^n+\left(1171-127 \sqrt{85}\right) \sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)+\left(13 \sqrt{85}-121\right) \cos \left(\frac{n\pi}{2}\right)+26 \sqrt{85}-238\right)\right]\]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-16 20:15
求 \(x^2 - 85*y^2= -161\) 的通项公式，

求 \(x_{2n+1}\)= 82 , ...... 的通解公式，

\[y_n=\text{Round}\left[\frac{1}{4 \sqrt{85}} \left(41 \sqrt{85}+378\right)^{\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil } \left(3 \left(65-7 \sqrt{85}\right) (-1)^n+\left(1171-127 \sqrt{85}\right) \sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)+\left(13 \sqrt{85}-121\right) \cos \left(\frac{n\pi}{2}\right)+26 \sqrt{85}-238\right)\right]\]

ysr

蔡家雄 发表于 2025-3-20 21:33
求 \(x^2 - 545*y^2= - 545\) 的正整数解，可以有吗？

x=45780  y=1961

5.478516是在100000000内的解