基于偶数哥猜哈-李素对计算公式改进的偶数素对计算式 Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2

重生888@

谢谢愚工先生！我虽不能计算大偶数真值，搭上您的数据就大有作为：
同因子偶数扩大10倍，素数对扩大8倍多：
真值比                                                                 吴计算值比
357022855/43755729=8.15                                    174011910/21129323=8.23
2968733262/357022855=8.31                                 1457930125/174011910=8.378

这会是巧合吗？您不看好我，我也没办法。不平则鸣，直到人喜欢。发发帖，增加您的人气，不必多在意，谢谢！另外，我的计算与真值误差在缩小：0.517    0.5126    0.5089    没有第四个真值数，不能比第四个误差。

愚工688

重生888@ 发表于 2019-2-3 09:07
谢谢愚工先生！我虽不能计算大偶数真值，搭上您的数据就大有作为：
同因子偶数扩大10倍，素数对扩大8倍多 ...

第二个偶数求真值花了20.374秒；
第三个偶数求真值花了323.559秒；即近5分钟半，数大了10倍，时间是近16倍。
第四个偶数又是第三个偶数的10倍，那么时间需要一个多小时是必然的，没有心思去计算。

你的计算值与真值之比，正如你所计算的，仅仅在0.51附近，相对误差很大，精度不高。
随便的用哈代公式计算，与真值之比应该接近0.90附近；
用素数连乘式计算，不进行误差修正，与真值之比大约在1.15附近，略大一点，
但是这两个计算式的计算 都比你的计算值的相对误差要小很多。
而上面两个计算式都是大家所熟悉的。就是说，你的方法没有先进性。
反正就说到这样的，听不听由你。多发没有精度的计算式，影响的不是我。

愚工688

大傻8888888 发表于 2019-2-2 15:23
愚工688认为：
“连乘式的平均值由小偶数时处于负值区域逐渐增大，在3-4万时处于0位附近，在1亿附近处于0. ...

我使用的筛选素对真值的软件，是网友黄博士赠予我的，速度比较快。能够筛选10^15以下的偶数。只是大偶数的素对筛选是需要比较多的时间的，故我只计算100万亿以下的偶数。对连续偶数，一般只计算万亿以下的偶数。
素数连乘式对10万亿的偶数素对的计算值与真值之比，大约在1.18不到一点。
而更大的偶数的计算值与真值之比，我就没有数据了。
你的数据：逐渐趋向1.261附近；能否给出几个点位的偶数参考值？1.19、1.20、1.21；

而哈代公式在2000亿时计算值与真值之比，大约在0.922略多一些。
我的计算实例：
哈代公式改进系数2.168的计算实例（注意哈代计算值是双记值）：
D( 200000000010 )= 597262459   Dhg(m)= 1194373928.82   δh(m)=-.00013
D( 200000000012 )= 211454344   Dhg(m)= 422852498.768   δh(m)=-.00013
D( 200000000014 )= 212003641   Dhg(m)= 423949720.680   δh(m)=-.00014
D( 200000000016 )= 422780069   Dhg(m)= 845490644.812   δh(m)=-.00008
D( 200000000018 )= 282334611   Dhg(m)= 564602599.743   δh(m)=-.00012
D( 200000000020 )= 284785883   Dhg(m)= 569535231.886   δh(m)=-.00006
D( 200000000022 )= 434880484   Dhg(m)= 869647542.212   δh(m)=-.00013
D( 200000000024 )= 242973719   Dhg(m)= 485914151.419   δh(m)=-.00007  
D( 200000000026 )= 211436995   Dhg(m)= 422822193.227   δh(m)=-.00012
D( 200000000028 )= 450999930   Dhg(m)= 901964576.693   δh(m)=-.00004
200000000010 - 200000000028 : n= 10 ,μ=-.0001, σ= .00003,δmin=-.00014,δmax=-.00004

可以看到，某个区域的偶数的哈代计算值与真值的比，都是很接近的，因此也能用一个系数进行修正以达到比较小的相对误差。
而积累了一些区域的偶数的哈代计算值与真值的比均值后，考虑用一个计算式来接近各个区域的修正系数值，这就是我本帖子所介绍的计算式。这样就免除了不同区域的偶数使用不同的修正系数的麻烦，以达到提高计算值精度的目的。

我研究相对误差的变化，目的就是修正计算式的相对误差的偏差。达到比较高精度的目的。从上面105#楼的计算实例，可以看到计算精度还是不错的。

大傻8888888

愚工688 发表于 2019-2-3 22:35
我使用的筛选素对真值的软件，是网友黄博士赠予我的，速度比较快。能够筛选10^15以下的偶数。只是大偶 ...

我手上的数据：
1亿亿时计算值与真值之比大约1.19
10亿亿时计算值与真值之比大约1.19474
1.20和1.21的偶数的数据我也没有，我只知道偶数趋近无限大时计算值与真值之比趋近1.261附近。

愚工688

大傻8888888 发表于 2019-2-4 04:55
我手上的数据：
1亿亿时计算值与真值之比大约1.19
10亿亿时计算值与真值之比大约1.19474

谢谢！新年快乐！
看来确实有牛人能够筛选出1亿亿时乃至10亿亿偶数的素数对数量。
从目前x内素数的数量筛选数据看，我曾经看到π(10^25)的数据，应该是动用大型计算机才能做到的。10亿亿偶数仅仅相当于10^17以上的偶数。
而我的偶数的下界计算式：S(m)≥inf(M)= (A-2)*0.5π(1- 2/r )* π[(p1-1)/(p1- 2)] /(1+.21) .--------  { 式1}
采用的相对误差修正数μ=0.21，还是有充分的余地的。至少目前也没有可能计算到下界值大于真值的偶数区域。
我感到奇怪的是；
既然有这么好的条件，为何到现在没有看到哪个数学家能够提出一个有比较高精度的偶数表为两个素数和数量的计算式呢？

重生888@

给愚工好友拜年了！好友

愚工688

重生888@ 发表于 2019-2-4 08:42
给愚工好友拜年了！好友

给好友拜个早年！
祝身体健康！好运连年！

愚工688

Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   ；
t2=1.358-(log(M))^……；时的计算值，如果与前面使用参数t1的计算值比较，可以发现一万以下小偶数计算值不变：大偶数时t2缩小的比t1慢，因此对打大偶数来说，相对误差绝对值比使用参数t1时小，并且大部分计算值略小于真值。

  S( 32 ) =  2          ;Xi(M)≈ 2.35         δxi( 32 )≈ 0.175  (t2=  1.256093 )
  S( 64 ) =  5          ;Xi(M)≈ 3.15         δxi( 64 )≈-0.37    (t2=  1.246367 )
  S( 128 ) =  3         ;Xi(M)≈ 4.55         δxi( 128 )≈ 0.5167  (t2=  1.237422 )
  S( 256 ) =  8         ;Xi(M)≈ 6.88         δxi( 256 )≈-0.14     (t2=  1.229097 )
  S( 512 ) =  11         ;Xi(M)≈ 10.72        δxi( 512 )≈-0.0254545  (t2=  1.221278 )
  S( 1024 ) = 22         ;Xi(M)≈ 17.19        δxi( 1024 )≈-0.218636  (t2=  1.213882 )

  S( 2048 ) = 25         ;Xi(M)≈ 28.19        δxi( 2048 )≈ 0.1276    (t2=  1.206848 )
  S( 4096 ) = 53         ;Xi(M)≈ 47.05        δxi( 4096 )≈-0.11226   (t2=  1.200127 )
  S( 8192 ) =  76        ;Xi(M)≈ 79.66        δxi( 8192 )≈ 0.04816  (t2=  1.193681 )
  S( 16384 ) = 151        ;Xi(M)≈ 136.57       δxi( 16384 )≈-0.09556  (t2=  1.187478 )
  S( 32768 ) = 244        ;Xi(M)≈ 236.63       δxi( 32768 )≈-0.030205  (t2=  1.181493 )

  S( 65536 ) = 435        ;Xi(M)≈ 413.81       δxi( 65536 )≈-0.048713  (t2=  1.175704 )
  S( 131072 ) = 749       ;Xi(M)≈ 729.47       δxi( 131072 )≈-0.026075  (t2=  1.170093 )
  S( 262144 ) = 1314       ;Xi(M)≈ 1295.1       δxi( 262144 )≈-0.014384  (t2=  1.164646 )
  S( 524288 ) = 2367       ;Xi(M)≈ 2313.96      δxi( 524288 )≈-0.022408  (t2=  1.159347 )
  S( 1048576 ) = 4239      ;Xi(M)≈ 4157.85      δxi( 1048576 )≈-0.019144  (t2=  1.154187 )

  S( 2097152 ) = 7471      ;Xi(M)≈ 7509.4       δxi( 2097152 )≈ 0.0051399  (t2=  1.149154 )
  S( 4194304 ) = 13705      ;Xi(M)≈ 13625.58     δxi( 4194304 )≈-0.0057950  (t2=  1.144239 )
  S( 8388608 ) = 24928      ;Xi(M)≈ 24827.88     δxi( 8388608 )≈-0.004016  (t2=  1.139435 )
  S( 16777216 ) = 45746     ;Xi(M)≈ 45415.26     δxi( 16777216 )≈-0.007222  (t2=  1.134734 )
  S( 33554432 ) = 83467     ;Xi(M)≈ 83368.29     δxi( 33554432 )≈-0.0011826  (t2=  1.13013 )

  S( 67108864 ) = 153850     ;Xi(M)≈ 153541.79    δxi( 67108864 )≈-0.0020033  (t2=  1.125617 )
  S( 134217728 ) = 283746    ;Xi(M)≈ 283638       δxi( 134217728 )≈-0.0003806  (t2=  1.12119 )
  S( 268435456 ) = 525236    ;Xi(M)≈ 525435.42    δxi( 268435456 )≈ 0.0003796  (t2=  1.116845 )
  S( 536870912 ) = 975685    ;Xi(M)≈ 975902.43    δxi( 536870912 )≈ 0.0002228  (t2=  1.112576 )
  S( 1073741824 ) = 1817111  ;Xi(M)≈ 1816975.32   δxi( 1073741824 )≈-0.0000747  (t2=  1.108381 )

  S( 2147483648 ) = 3390038    ;Xi(M)≈ 3390613.93   δxi( 2147483648 )≈ 0.0001699  (t2=  1.104254 )
  S( 4294967296 ) = 6341424    ;Xi(M)≈ 6340623.82   δxi( 4294967296 )≈-0.0001262  (t2=  1.100194 )
  S( 8589934592 ) = 11891654   ;Xi(M)≈ 11881009.09  δxi( 8589934592 )≈-0.0008952  (t2=  1.096197 )
  S( 17179869184 ) = 22336060  ;Xi(M)≈ 22304409.33  δxi( 17179869184 )≈-0.001417  (t2=  1.09226 )
  S( 34359738368 ) = 42034097  ;Xi(M)≈ 41946635.62  δxi( 34359738368 )≈-0.0020807  (t2=  1.08838 )

  S( 68719476736 ) = 79287664   ;Xi(M)≈ 79018611.69  δxi( 68719476736 )≈-0.0033934  (t2=  1.084556 )
  S( 137438953472 ) = 149711134 ;Xi(M)≈ 149089811.08 δxi( 137438953472 )≈-0.0041501  (t2=  1.080784 )
  S( 274877906944 ) = 283277225 ;Xi(M)≈ 281719140.44 δxi( 274877906944 )≈-0.0047942  (t2=  1.077063 )
  S( 549755813888 ) =   536710100;Xi(M)≈ 533090490.08 δxi( 549755813888 )≈-0.0067441  (t2=  1.07339 )
  S( 1099511627776 ) =1018369893 ;Xi(M)≈ 1010114765.9 δxi( 1099511627776 )≈-0.00810662  (t2=  1.069764 )
  2^41=2199023255552
  S( 2199023255552 ) = 1934814452 ;Xi(M)≈ 1916447191.88 δxi( 2199023255552 )≈-0.0094930  (t2=  1.066184 )
  S( 4398046511104 ) = 3680759328;Xi(M)≈ 3640430482.98 δxi( 4398046511104 )≈-0.0109567  (t2=  1.062647 )
  time start =13:46:01       time end =14:11:37

愚工688

为网友对哈李素对计算式的原始计算值的相对误差水平有所了解，我把该式计算值的相对误差分区统计的一些数据发帖公布一下，
hμ——平均值；
hσχ——统计标准偏差，（均方差）
hΔmin、hΔmax——最小、最大相对误差均发生在100以下，分别是34与12.见文后附录。

M=[ 6 , 100 ]         R= 7    n= 48    hμ=-.039  hσχ= .374  hΔmin=-.549   hΔmax= 1.566
M=[ 102 , 200 ]       R= 13   n= 50    hμ=-.252  hσχ= .133  hΔmin=-.523   hΔmax= .197
M=[ 202 , 300 ]       R= 17   n= 50    hμ=-.268  hσχ= .093  hΔmin=-.478   hΔmax=-0.87
M=[ 302 , 400 ]       R= 19   n= 50    hμ=-.237  hσχ= .107  hΔmin=-.406   hΔmax= .084
M=[ 402 , 500 ]       R= 19   n= 50    hμ=-.258  hσχ= .070  hΔmin=-.373   hΔmax=-.066
M=[ 502 , 600 ]       R= 23   n= 50    hμ=-.239  hσχ= .089  hΔmin=-.429   hΔmax= .032
M=[ 602 , 700 ]       R= 23   n= 50    hμ=-.26   hσχ= .088  hΔmin=-.437   hΔmax= .003
M=[ 702 , 800 ]       R= 23   n= 50    hμ=-.248  hσχ= .076  hΔmin=-.43    hΔmax=-.034
M=[ 802 , 900 ]       R= 29   n= 50    hμ=-.254  hσχ= .059  hΔmin=-.398   hΔmax=-.079
M=[ 902 , 1000 ]      R= 31   n= 50    hμ=-.23   hσχ= .085  hΔmin=-.39    hΔmax= .095
-----------------------------------------------------------------------------------
M=[ 0 , 1000 ]        r= 31   n= 498   hμ=-.239   hσχ= .142  hΔmin=-.549  hΔmax= 1.566
start time:16:19:39,end time:16:19:41,use time :

附录：部分偶数的哈李计算值：（请注意该值是双记值）
N= 6           D(N)= 1       Har(N)= 2.468     hΔ(N)= .234
  N= 8           D(N)= 1       Har(N)= 2.443     hΔ(N)= .222
  N= 10          D(N)= 2       Har(N)= 2.49      hΔ(N)=-.377
  N= 12          D(N)= 1       Har(N)= 5.132     hΔ(N)= 1.566 ——最大相对误差
  N= 14          D(N)= 2       Har(N)= 2.654     hΔ(N)=-.337
  N= 16          D(N)= 2       Har(N)= 2.748     hΔ(N)=-.313
  N= 18          D(N)= 2       Har(N)= 5.69      hΔ(N)= .423
  N= 20          D(N)= 2       Har(N)= 2.942     hΔ(N)=-.264
  N= 22          D(N)= 3       Har(N)= 3.04      hΔ(N)=-.493
  N= 24          D(N)= 3       Har(N)= 6.275     hΔ(N)= .046
  N= 26          D(N)= 3       Har(N)= 3.234     hΔ(N)=-.461
  N= 28          D(N)= 2       Har(N)= 3.33      hΔ(N)=-.167
  N= 30          D(N)= 3       Har(N)= 9.131     hΔ(N)= .522
  N= 32          D(N)= 2       Har(N)= 3.518     hΔ(N)=-.121
  N= 34          D(N)= 4       Har(N)= 3.61      hΔ(N)=-.549 ————最小相对误差
  N= 36          D(N)= 4       Har(N)= 7.403     hΔ(N)=-.075
  N= 38          D(N)= 2       Har(N)= 3.792     hΔ(N)=-.052

由于小偶数区域哈李计算式的计算值相对误差分布范围正负跨度大，而偶数大一些时则基本处于负值，比如8002-10000时：
M=[ 8002 , 8500 ]     R= 89   n= 250   hμ=-.187  hσχ= .097  hΔmin=-.309   hΔmax=-.062
M=[ 8502 , 9000 ]     R= 89   n= 250   hμ=-.207  hσχ= .032  hΔmin=-.282   hΔmax=-.082
M=[ 9002 , 9500 ]     R= 97   n= 250   hμ=-.212  hσχ= .027  hΔmin=-.311   hΔmax=-.127
M=[ 9502 , 10000 ]    R= 97   n= 250   hμ=-.216  hσχ= .032  hΔmin=-.314   hΔmax=-.021
-----------------------------------------------------------------------------------
M=[ 0 , 10000 ]       r= 97   n= 1000  hμ=-.21    hσχ= .033  hΔmin=-.314  hΔmax=-.021

故我的基于哈李公式改进的素对计算式  Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2 对于小偶数作用不大（会使得正相对误差值更大），最好使用在1000以上的偶数，尤其是百万以上的偶数的素对数量的计算，具有比较高的精度。

重生888@

祝贺愚工先生在使用同因子偶数概念！这样比较，能发现规律！