存在任意长度的素数差的等比数列且公比为任意正整数及其倒数

白新岭

素数式排列        素7余        素11余        素13余        素17余        素19余
0        0        0        0        0        0
30        2        8        4        13        11
210        0        1        2        6        1
1290        2        3        3        15        17
7770        0        4        9        1        18
46650        2        10        6        2        5
279930         0        2        1        8        3
1679610         2        9        10        10        10
10077690         0        7        12        5        14
60466170         2        6        11        9        0
362797050         0        0        5        16        11
2176782330         2        8        8        7        1
13060694010         0        1        0        4        17
78364164090         2        3        4        3        18
470184984570         0        4        2        14        5
2821109907450         2        10        3        12        3
16926659444730         0        2        9        0        10
101559956668410         2        9        6        13        14
609359740010490         0        7        1        6        0
总是最少一个余数不会出现。
素7余        素11余        素13余        素17余        素19余
0        0        0        0        0
2        1        1        1        1
        2        2        2        3
少        3        3        3        5
1        4        4        4        10
3        6        5        5        11
4        7        6        6        14
5        8        8        7        17
6        9        9        8        18
        10        10        9       
                11        10        少
        少5        12        12        2
                        13        4
                少7        14        6
                        15        7
                        16        8
                                9
                        少11        12
                                13
                                15
                                16

白新岭

素数一阶差分构成的等比数列，模素数P后，最少剩下一个剩余类。对于素数7来说，只是余数0,2交替；5个剩余类不会出现；素数11，余数5不出现；素数13，余数7不会出现；素数17，余数11不会出现；而素数19，则有10个剩余类不出现，占到完全剩余系的一半以上；从这些实际个例上看，任何素数P为模，等比数列中最少剩余一个剩余类永远不会出现，所以素数一阶差分构成的等比数列，项数n的值可以任意大（只要是一个指定的正整数，这样的素数序列就存在）。公比是正整数或者其倒数（整数1也可以）。首项有可选性（即不能为任意正整数）。

白新岭

前后素数差        累计差值        实例
0        0        46679
30        30        46709
180        210        46889
1080        1290        47969
6480        7770        54449
38880        46650        93329
233280        279930        326609
1399680        1679610        1726289
8398080        10077690        10124369
50388480        60466170        60512849
素a
60512849
112157519
189245153
210131549
270227263
313366931
这是素数一阶差分构成的等比数列（n=9），k=10，末尾的一个素数。

白新岭

素a10
512462429
前后素数差        累计差值        实例
0        0        149665379
30        30        149665409
180        210        149665589
1080        1290        149666669
6480        7770        149673149
38880        46650        149712029
233280        279930        149945309
1399680        1679610        151344989
8398080        10077690        159743069
50388480        60466170        210131549
302330880        362797050        512462429
这是素数一阶差分构成的等比数列（n=10），k=11，末尾的一个素数。

白新岭

这种素数一阶差分构成的等比数列，可以任意长。首项30，公比6.

yangchuanju

白新岭 发表于 2021-1-28 16:06
前后素数差        累计差值        实例
0        0        46679
30        30        46709

白新岭老师已经把公比等于6的10级和11级素数的尾素数公布（粘贴）于本博客的第113和114楼；                                               
感觉到数量上与我发贺贴中的数量不对，于是我“翻箱倒柜”，查阅了数个文件夹，                                               
最终找到了我根据白老师的9级剩余45素数计算的草稿文件，并进行了重算、核对；                                               
将白老师的尾数还原，发现他的首数只有1个在原先45个9级剩余素数中（11级的那个，第5个），                                               
再对老师的6组数字分解质因数，只有第5组全是素数。                                               
重复检验我的分解数据，仍然是正确的。                                               
现将我的计算草稿整理公布，请老师复核！                                               
6个10级、2个11级公比等于6的素数级数：                                               
级数        1#        2#        3#        4#        5#        6#
1        11329027         28609433         148384231         322930471         149665379         364439587
2        11329057         28609463         148384261         322930501         149665409         364439617
3        11329237         28609643         148384441         322930681         149665589         364439797
4        11330317         28610723         148385521         322931761         149666669         364440877
5        11336797         28617203         148392001         322938241         149673149         364447357
6        11375677         28656083         148430881         322977121         149712029         364486237
7        11608957         28889363         148664161         323210401         149945309         364719517
8        13008637         30289043         150063841         324610081         151344989         366119197
9        21406717         38687123         158461921         333008161         159743069         374517277
10        71795197         89075603         208850401         383396641         210131549         424905757
11        ————        ————        ————        ————        512462429         727236637
9级剩余号数        9         10         24         40         25         43

yangchuanju

几种9-11级阶乘素数级数                               
已知等差素数阶数已达26级，但等比素数级数要低的多。                               
白新岭现已找到了公比等于6的10级素数级数6个，11级素数级数2个。                               
笔者在前2万素数的基础上分别加上整数阶乘和素数阶乘，从中都得到了9-11级素数级数。                               
（一）将2-17的阶乘作邻距依次加在前2万素数上经筛选得到一个9级素数级数，首素数是61979：                               
序号        阶乘        素数               
1        1        61979               
2        2        61981               
3        6        61987               
4        24        62011               
5        120        62131               
6        720        62851               
7        5040        67891               
8        40320        108211               
9        362880        471091               
（二）将2-17的阶乘作间距距依次加在前2万素数上经筛选得到一个9级素数级数，首素数是107：                               
序号        阶乘        素数               
1        1        107               
2        2        109               
3        6        113               
4        24        131               
5        120        227               
6        720        827               
7        5040        5147               
8        40320        40427               
9        362880        362987               
（三）将2#-43#的阶乘作邻距依次加在前2万素数上经筛选分别得到11、10、9级素数级数各1个，首素数依次是59、191、191459：                               
序号        素数阶乘        素数1        素数2        素数3
1        1        59        191        191459
2        2        61        193        191461
3        6        67        199        191467
4        30        97        229        191497
5        210        307        439        191707
6        2310        2617        2749        194017
7        30030        32647        32779        224047
8        510510        543157        543289        734557
9        9699690        10242847        10242979        10434247
10        223092870        233335717        233335849        ————
11        6469693230        6703028947        ————        ————
（四）将2#-43#的阶乘作间距依次加在前2万素数上经筛选分别得到11、10、9级素数级数1、0、3个，首素数依次是86351、41、881、13691：                               
序号        素数阶乘        素数1        素数2        素数3
1        1        86351        41        881
2        2        86353        43        883
3        6        86357        47        887
4        30        86381        71        911
5        210        86561        251        1091
6        2310        88661        2351        3191
7        30030        116381        30071        30911
8        510510        596861        510551        511391
9        9699690        9786041        9699731        9700571
10        223092870        223179221        ————        ————
11        6469693230        6469779581        ————        ————
不论是加整数阶乘还是素数阶乘都有数量众多的8级、7级、6级……素数级数，从略。                               

yangchuanju

几种多级等比素数级数                                               
（五）将2,4,8,16……作邻距依次加在前2万素数上经筛选分别得到9、8、7级素数级数1、1、2个，首素数依次是19427、1607、65837、97547：                                               
序号        2的幂数        素数1        素数2        素数3        素数4       
1        0        19427        1607        65837        97547       
2        2        19429        1609        65839        97549       
3        4        19433        1613        65843        97553       
4        8        19441        1621        65851        97561       
5        16        19457        1637        65867        97577       
6        32        19489        1669        65899        97609       
7        64        19553        1733        65963        97673       
8        128        19681        1861        ————        ————       
9        256        19937        ————        ————        ————       
白新岭先生的计算基数比22万大得多（1亿多一点），他从中找到了10级公比等于2及1/2的级数，
《数学研发论坛》mathe先生在更大数域内找到了11和13级公比等于2的素数级数，
一个11级首素数是153535525937（12位），二个13级首素数是29503289812427和31972295279927（14位）。
（六）将2,8,32,128……作间距依次加在前2万素数上经筛选分别得到9、8、7级素数级数1、4.4个，首素数依次是51479、6269、11831、133319、205949：4个7级的从略                                               
序号        2的幂数        素数1        素数2        素数3        素数4        素数5
1        0        51479        6269        11831        133319        205949
2        2        51481        6271        11833        133321        205951
3        8        51487        6277        11839        133327        205957
4        32        51511        6301        11863        133351        205981
5        128        51607        6397        11959        133447        206077
6        512        51991        6781        12343        133831        206461
7        2048        53527        8317        13879        135367        207997
8        8192        59671        14461        20023        141511        214141
9        32768        84247        ————        ————        ————        ————
（七）将4,16,64,256……作间距依次加在前2万素数上经筛选分别得到9、8、7级素数级数2、1、2个，首素数依次是163、15667、37、53593、142543：                                               
序号        2的幂数        素数1        素数2        素数3        素数4        素数5
1        0        163        15667        37        53593        142543
2        4        167        15671        41        53597        142547
3        16        179        15683        53        53609        142559
4        64        227        15731        101        53657        142607
5        256        419        15923        293        53849        142799
6        1024        1187        16691        1061        54617        143567
7        4096        4259        19763        4133        57689        146639
8        16384        16547        32051        16421        ————        ————
9        65536        65699        81203        ————        ————        ————
不论是公比是2还是4，都有数量众多的6级、5级……素数级数，从略。                                               

白新岭

素b8（k=9）
19937
1447727
39153977
素a7（k=8）
1861
19681
1447471
5757721
7947931
25723381
34116541
39153721
57981211
70293511
160876861
168139711
220069501
272824411
282540871
320009341
349186291
383776951
395325631
这是首项为2，公比为2的，素数一阶差分构成的等比数列的最末一个素数。

白新岭

首项选素数阶乘的，可以更能使n的值变大（在相同的基础数据上）。