数学题:挑战

天山草

红树先生，我猜一下哈，我想您可能有些基础的数学知识还没有学到，如果你刚上初中，就需要好好打一下基础，不要把时间浪费在网上，可能对你是得不偿失的。但是，如果你是上班族，或是像我一样是个退休老头，那就没有什么关系了，您尽可以随兴趣在这个网站里放松一下。
以上意见，仅供参考哈。

红树

四边形是怎么找到吗？

jzkyllcjl

红树 发表于 2017-4-17 01:19
四边形是怎么找到吗？

大概，你已经验证了陆教授的结果，提问题好。
对于陆教授的等腰梯形的得出， 我想可以使用代数方程方法找到。首先设周长与面积、对角线为三个已知数，分别记作 L、S，M再设梯形上、下底与高分别为未知数x,y，z, 得满足 不等式x<y的三元方程组的三个方程
x+y+2√[(1/4)*(y-x)^2+z^2]=L  （x+y）z=2S.  M=√[(1/4)*(y+x)^2+z^2]  L=x+y+2√[M^2-XY] 这是实质上只有2个方程三个未知数的方程组，它有不定解。你只要试着找出 满足两个方程的li6个实数 L,S，M，,x,y,z 就可以了。
究竟如何？ 你问陆教授与天仙草。  

luyuanhong

红树 发表于 2017-4-17 09:19
四边形是怎么找到吗？

这个反例是怎样找到的？

我受到天山草所举例子的启发，先作出了上面的那一个梯形。

上面梯形两条对角线夹角 120°，对角线的长度为 2+4=6 ，梯形的周长为 10√3 。

再考虑作下面另一个梯形，下面梯形两条对角线夹角 60°，对角线长度也都是 6 。

对角线被交点分为两段，我设上面一段长度为 3-x ，下面一段长度为 3+x 。

由于对角线与梯形上下底构成正三角形，所以梯形上底为 3-x ，下底为 3+x 。

下面梯形的周长，要求与上面梯形的周长相同，等于 10√3 。周长减去上底、下底，

得到两腰长度之和为 10√3-(2-x)-(3+x)=10√3-6 ，一腰长度为 5√3-3 。

再由余弦定理，可得方程：  (3-x)^2+(3+x)^2+(3-x)(3+x)=(5√3-3)^2 。

解这个方程，可得 x=√(57-30√3) 。这样，就得到了下面梯形的两段对角线长度：

一段长度为 3-x=3-√(57-30√3) ，另一段长度为 3+x=3+√(57-30√3) 。

红树

天山草 发表于 2017-4-16 22:06
两个四边形都是等腰梯形，各边长的具体数据如下图。是否二者对角线之和相等？是否二者周长相等？是否二者面 ...

对角线的和不相等

红树

天山草 发表于 2017-4-16 22:06
两个四边形都是等腰梯形，各边长的具体数据如下图。是否二者对角线之和相等？是否二者周长相等？是否二者面 ...

两个四边形对角线的和不相等
2
3.04878606158766775689724047643794690342691202819336240251052832021181020477596482101496159539

红树

挑战，，，挑战，，，挑战，，，

天山草

红树问：四边形是如何找到的？这个问题才是提到了点上。看下图：

ABCD 是一个任意的平行四边形，P 是其内部任意一个点。连接 PA，PB，PC，PD，平行四边形就被分成了四个三角形。四个三角形的面积有一个关系，就是上、下两个的面积之和总是等于左、右的面积之和。因此，如果把上面那个三角形复制并移到下边，使DC与AB重合，那么四边形 PAQB 的面积正好等于 ABCD 面积的一半；PAQB 的对角线，一条是 AB，另一条 PQ=DA。这就是说 PAQB 两条对角线之和即是 ABCD 的两边之和。最后，由于 QA=PD，QB=PC，所以 PAQB 的周长为 m=PA+PB+PC+PD，也就是等于 P 点到平行四边形各顶点的距离之和。
      由上面的分析可知，只要能在 ABCD 内部找到另一个点 P1（ P1 不能是 P 的关于 ABCD 的中心对称点）使得 P1A+P1B+P1C+P1D 等于 m，就可以得到另一个形状不同于 PAQB 的另一个四边形：这两个四边形具有相同的面积、相同的对角线之和、相同的周长。

      

     那么另外的 P1 点是否存在呢？陆教授给出了 P1 点的轨迹图（不同的封闭曲线表示不同的 P 点位置）：



     为了使这两个不同形状的四边形参数尽量简单，选择 ABCD 是菱形，并且其中一条对角线长等于边长；P 点选在短对角线上，P1 点选在长对角线上。这样，得到的两个四边形都将是等腰梯形。



     接下来可以选取 P 点在 OD 的中点，列方程求出 P1 的位置。

太阳

天山草 发表于 2017-4-16 22:06
两个四边形都是等腰梯形，各边长的具体数据如下图。是否二者对角线之和相等？是否二者周长相等？是否二者面 ...

两个四边形对角线和不相等

太阳