趣味幻立方——三阶素数幻立方

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-8-27 15:32
4733        2153        293
1583        2939        2657
863        2087        4229

其实，钟老师的三阶幻立方的模板，是制作一般幻立方的，不是用来制作素数幻立方的。
制作素数幻立方，要选择一枚素数幻立方为模板。把模板幻立方的所有元素，从小到大排出一个三阶初始幻立阵，然后，分析这些数据之间的差，然后，把我们搜索的素数互补数对，仿葫芦画瓢，排成与模幻立阵类似的初始方阵，再编号，对号入座。
在排初始方阵的时候，不合适的素数就扔掉，一条思路排不成功，再换一个思路，也不要一定按照模板的差，主要是行差，列差，竖差，斜差之间的关系及相同差的若干个素数的位置。

yangchuanju

探索素数幻立方（节录）
作者  钟明  牛国良 李抗强
      中国幻方协会副主席，江苏蔡宜文老先生曾经连续创下连续素数幻方的多项世界纪录，而声名鹊起，可惜天妒英才，老先生与世长辞了，是幻方界的一大损失。
素数幻方的研究尚且十分复杂，更何况素数幻立方，素数幻立方的制作在世界上是十分罕见的，制作起来是十分艰难的，迄今为止，日本的Akio Suzuki in   于1977制作了第一款3阶素数幻立方，见图（一）
同年Akio Suzuki又 制作了第二款3阶素数幻立方，见图（二）

第一枚3阶素数幻立方        　        第二枚3阶素数幻立方
第一层        　        第一层
263        2309        2087        　        2153        929        227
2129        107        2423        　        839        947        1523
2267        2243        149        　        317        1433        1559
第二层        　        第二层
1439        1487        1733        　        509        1607        1193
1847        1553        1259        　        1787        1103        419
1373        1619        1667        　        1013        599        1697
第三层        　        第三层
2957        863        839        　        647        773        1889
683        2999        977        　        683        1259        1367
1019        797        2843        　        1979        1277        53
（一）        　        （二）
……

许多年过去了，素数幻立方的研究没有任何进展，直到2010年，笔者用Johnson制作的4阶中心对称素数幻立方通过层层加框法得到了6阶素数幻立方和8阶素数幻立方，并刊登在哈维的网站上和《中国幻方》第八期。
见http://members.shaw.ca/hdhcubes/cube_prime.htm
2011年的11月，我与牛国良先生开始合作。
我们先从3阶素数幻立方着手，根据制作3阶素数幻立方满足的素数数列条件计算数列
设行距为d,列距为h竖距为k可以得到数列      
a        a+d        a+2d
a+h        a+h+d        a+h+2d
a+2h        a+2h+d        a+2h+2d
　        　        　
a+k        a+k+d        a+k+2d
a+k+h        a+k+h+d        a+k+h+2d
a+k+2h        a+k+2h+d        a+k+2h+2d
　        　        　
a+2k        a+2k+d        a+2k+2d
a+2k+h        a+2k+h+d        a+2k+h+2d
a+2k+2h        a+2k+2h+d        a+2k+2h+2d
我们随意的代入一个3阶幻立方可以得到3阶广义幻立方的字母公式
    3阶素数幻立方的字母公式
第一层
a+2k+h+2d        a+d        a+k+2h
a+k        a+2k+2h+2d        a+h+d
a+2h+d        a+k+h        a+2k+2d
第二层
a+k+d        a+2k+2h        a+h+2d
a+2h+2d        a+k+h+d        a+2k
a+2k+h        a+2d        a+k+2h+d
第三层
a+2h        a+k+h+2d        a+2k+d
a+2k+h+d        a        a+k+2h+2d
a+k+2d        a+2k+2h+d        a+h
根据制作3阶素数幻立方满足的素数数列条件我们分五步走：
    第一步：计算长度等于3的素数等差数列，我们知道，当公差
    d1=2*3=6；
    d2=2*3*5=30；
    d3=2*3*5*7=210；
    d4=2*3*5*7*11=2310；
    d5=2*3*5*7*11*13=30030；
    d6=2*3*5*7*11*13*17=510510
………………………………………………
    dp=2*3*5*7*11*13*17*……*p(p为素数)
    dp表示从2开始的连续素数的积
    当公差为dpk时，素数等差数列比较多，记录公差相同的且最多的等差数列并记为A。
第二歩：计算A中长度等于3的素数等差素数数列的首项，记录公差相同的且最多的等差数列并记为B
第三歩：计算B中长度等于3的素数等差数列的首项，记录下所有的数列并记为C
第四步：整理数列看是否存在相同的素数，如果存在相同的素数，则删去该数列，经判定，当不存在重复素数时该数列有效。
第五步：将有效的素数数列带入字母公式可得3阶素数幻立方。

yangchuanju

根据以上制作步骤，我们得到了3枚3阶素数幻立方。其中有两枚是同尾素数幻立方。

探索素数幻立方（二）
第一枚
第一层
3276509        2492879        1875569
1824749        3301919        2518289
2543699        1850159        3251099
　第二层
2522909        1905599        3216449
3241859        2548319        1854779
1880189        3191039        2573729
　第三层
1845539        3246479        2552939
2578349        1794719        3271889
3221069        2603759        1820129

第二枚
第一层
6724021        7655173        12203119
7657483        12198499        6726331
12200809        6728641        7652863
第二层
9789613        7934239        8858461
7929619        8860771        9791923
8863081        9787303        7931929
第三层
10068679        10992901        5520733
10995211        5523043        10064059
5518423        10066369        10997521

第三枚
第一层
118163        4411013        8761463
4441043        8701403        148193
8731433        178223        4380983
第二层
8693033        197423        4400183
137363        4430213        8723063
4460243        8663003        167393
第三层
4479443        8682203        128993
8712233        159023        4419383
98963        4449413        8742263

yangchuanju

我们根据第一枚三阶素数幻立方层层加框，通过手工操作分别制作出了5阶、7阶、9阶、11阶、13阶、15阶同心素数幻立方。
在计算这些数列时，我们得到了上万个3阶素数幻方，其中存在满足如下品质的3阶素数幻方
3个3阶素数幻方相加合成的3阶素数幻方

　        A        　        　        B        　        　        C        　        　        D=A+B+C        　
18133        12763        18913        21283        15913        22063        35381        30011        36161        74797        58687        77137
17383        16603        15823        20533        19753        18973        34631        33851        33071        72547        70207        67867
14293        20443        15073        17443        23593        18223        31541        37691        32321        63277        81727        65617
像这样的相加素数幻方还有许多。

yangchuanju

3阶幻方和幻立方的编制条件

3阶幻方又称九宫格，是古代中国人发明创造的，将1-9这九个整数排在一个3*3的正方形棋盘中，使其3行、3列、2条对角线上的3数和都等于15。
九宫格只有一种，但通过旋转、镜像可得8种不同的变形体。

用不连续整数也可以编制成3阶幻方，通常只要这9个整数是等差的即可。
退一步用3个等差的3数组，3个数组也等差（两个等差数值不一样）的9个数也能编制出一个（广义的）3阶幻方：
9数关系是：a,a+b,a+2b;a+3b+c,a+4b+c,a+5b+c;a+6b+2c,a+7b+2c,a+8b+2c

3阶幻立方是用27个整数排成的3*3*3立方体，其9行、9列、9竖和4条体对角线上的3数之和都相等，
进一步立方体的3个中截面上的对角线3数和也都相等；
该立方体有31或37条连续上的3数和都相等。

最简单的3阶幻立方可用27个等差整数编制（2参数——首数+1差或中心数+1差）；
退一步可用3个等差9级数组编制，但3组数字之间也是等差的（3参数——中心数+2差）；
再退一步可用9个等差3级数组编制，9组数字之间又分成3小组，3小组之间等差；每小组的3数之间也要等差（4参数——中心数+3差）。

如3*3方阵0中的27数（缩小10倍就是基础27个连续自然数）、3*3方阵1、3*3方阵2都能编制成4款不同的3阶幻立方；
经旋转、镜像、对称、转置变换可得4*48种不同的变形体。
3*3方阵0               
10        100        190
20        110        200
30        120        210
40        130        220
50        140        230
60        150        240
70        160        250
80        170        260
90        180        270
3*3方阵1（方阵0的第1列减3，第3列加3）               
7        100        193
17        110        203
27        120        213
37        130        223
47        140        233
57        150        243
67        160        253
77        170        263
87        180        273
3*3方阵2.1（3*3方阵1的左上角3数各减2，右下角3数各加2）               
5        98        191
15        108        201
25        118        211
37        130        223
47        140        233
57        150        243
69        162        255
79        172        265
89        182        275

yangchuanju

不符合上述3条件的27个不同的整数能不能编制成3阶幻立方吗？
在编制3阶素数幻立方时常常连方阵2.1的条件也达不到，但用一些特殊方法确编制成了不少3阶幻立方，
它们是如何编制的？各个数字要达到的最低条件又是什么？

在3*3方阵2的第1行2、3数各减3，第9行2、3数各加3；左上角第2、3数各加3，左下角倒2、3数各减3，得3*3方阵5：
五变量3*3方阵5                                列差                行差               
5        95        188                90        93                       
18        108        201                90        93        13        13        13
28        118        211                90        93        10        10        10
37        130        223                93        93        9        12        12
47        140        233                93        93        10        10        10
57        150        243                93        93        10        10        10
69        162        252                93        90        12        12        9
79        172        262                93        90        10        10        10
92        185        275                93        90        13        13        13

以方阵5中的27个数字为基数，分别令它们中的4个数充当模板中的abcd，通过编程计算，共得22416个不同的3阶幻立方（包括变形体）。

用比方阵5稍稍宽松一点条件的3*3方阵3和3*3方阵4中的27数为基数可能得到更多一些的3阶幻立方：
3*3方阵2的左上角3数各减2，右下角3数各加2
五变量3*3方阵3                                列差                行差               
3        98        191                95        93                       
13        108        201                95        93        10        10        10
23        118        211                95        93        10        10        10
37        130        223                93        93        14        12        12
47        140        233                93        93        10        10        10
57        150        243                93        93        10        10        10
69        162        257                93        95        12        12        14
79        172        267                93        95        10        10        10
89        182        277                93        95        10        10        10

或者3*3方阵2的第1行3数各减3，第9行3数各加3                                                               
五变量3*3方阵4                                列差                行差               
2        95        188                93        93                       
15        108        201                93        93        13        13        13
25        118        211                93        93        10        10        10
37        130        223                93        93        12        12        12
47        140        233                93        93        10        10        10
57        150        243                93        93        10        10        10
69        162        255                93        93        12        12        12
79        172        265                93        93        10        10        10
92        185        278                93        93        13        13        13

yangchuanju

再者试验发现，只要27数上下对称，就能编制出一定数量的3阶幻立方，如用下列27数当基数：
3*3方阵6                                列差                行差               
49        130        155                81        25                       
62        134        161                72        27        13        4        6
74        137        168                63        31        12        3        7
85        139        176                54        37        11        2        8
95        140        185                45        45        10        1        9
104        141        195                37        54        9        1        10
112        143        206                31        63        8        2        11
119        146        218                27        72        7        3        12
125        150        231                25        81        6        4        13
140之前各数依次减少1,2,3,……13；之后各数依次增加1,2,3，……13。
或3*3方阵7                                列差                行差               
415        1389        1419                974        30                       
792        1394        1432                602        38        377        5        13
1025        1397        1453                372        56        233        3        21
1169        1399        1487                230        88        144        2        34
1258        1400        1542                142        142        89        1        55
1313        1401        1631                88        230        55        1        89
1347        1403        1775                56        372        34        2        144
1368        1406        2008                38        602        21        3        233
1381        1411        2385                30        974        13        5        377
1400之前各数依次减少1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377；
之后各数依次增加1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377。
将中心数140改为1400，是为了不出现负数，别无它意！

对于方阵6，仅令a=49就得4530个3阶幻立方；
同样对于方阵7，仅令a=415,就得8258个3阶幻立方。

yangchuanju

用3*3方阵5编制的6款3阶幻立方（a=5,b=150,c=162)：                                                                               
5        150        265                204        88        128                211        182        27
162        172        86                64        140        216                194        108        118
253        98        69                152        192        76                15        130        275
                                                                               
5        150        265                217        75        128                198        195        27
162        185        73                51        140        229                207        95        118
253        85        82                152        205        63                15        130        275
                                                                               
5        150        265                220        72        128                195        198        27
162        188        70                48        140        232                210        92        118
253        82        85                152        208        60                15        130        275
                                                                               
5        150        265                233        59        128                182        211        27
162        201        57                35        140        245                223        79        118
253        69        98                152        221        47                15        130        275
                                                                               
5        150        265                243        49        128                172        221        27
162        211        47                25        140        255                233        69        118
253        59        108                152        231        37                15        130        275
                                                                               
5        150        265                255        37        128                160        233        27
162        223        35                13        140        267                245        57        118
253        47        120                152        243        25                15        130        275

yangchuanju

用3*3方阵6编制的6款3阶幻立方（a=49,b=95,c=125)：                                                                               
49        95        276                101        209        110                270        116        34
125        161        134                149        140        131                146        119        155
246        164        10                170        71        179                4        185        231
                                                                               
49        95        276                108        202        110                263        123        34
125        168        127                142        140        138                153        112        155
246        157        17                170        78        172                4        185        231
                                                                               
49        95        276                116        194        110                255        131        34
125        176        119                134        140        146                161        104        155
246        149        25                170        86        164                4        185        231
                                                                               
49        95        276                135        175        110                236        150        34
125        195        100                115        140        165                180        85        155
246        130        44                170        105        145                4        185        231
                                                                               
49        95        276                146        164        110                225        161        34
125        206        89                104        140        176                191        74        155
246        119        55                170        116        134                4        185        231
                                                                               
49        95        276                158        152        110                213        173        34
125        218        77                92        140        188                203        62        155
246        107        67                170        128        122                4        185        231

yangchuanju

用3*3方阵7编制的6款3阶幻立方（a=415,b=1025,c=1347)：                                                                               
415        1025        2760                991        2131        1078                2794        1044        362
1347        1419        1434                1487        1400        1313                1366        1381        1453
2438        1756        6                1722        669        1809                40        1775        2385
                                                                               
415        1025        2760                1004        2118        1078                2781        1057        362
1347        1432        1421                1474        1400        1326                1379        1368        1453
2438        1743        19                1722        682        1796                40        1775        2385
                                                                               
415        1025        2760                1059        2063        1078                2726        1112        362
1347        1487        1366                1419        1400        1381                1434        1313        1453
2438        1688        74                1722        737        1741                40        1775        2385
                                                                               
415        1025        2760                1114        2008        1078                2671        1167        362
1347        1542        1311                1364        1400        1436                1489        1258        1453
2438        1633        129                1722        792        1686                40        1775        2385
                                                                               
415        1025        2760                1203        1919        1078                2582        1256        362
1347        1631        1222                1275        1400        1525                1578        1169        1453
2438        1544        218                1722        881        1597                40        1775        2385
                                                                               
415        1025        2760                1580        1542        1078                2205        1633        362
1347        2008        845                898        1400        1902                1955        792        1453
2438        1167        595                1722        1258        1220                40        1775        2385