[讨论] 这是一个集合悖论吗？？？

APB先生

下面引用由门外汉在 2011/05/14 08:12am 发表的内容：
ＡＰＢ先生要证明无穷大整数的存在性，这种做法没有什么好反对的。
给点建议：（１）：证明无穷大整数与皮亚诺公理是相容的。这是最佳的方案
（２）：如果证明不了（１），就推翻皮亚诺公理。这是其次的方案。
　...

感谢门外汉给出的建议。

elimqiu

提到和理会还是不同的。peano 公理导致每个自然数都是有限的。不理会这点就说无限不循环小数对应于无穷大自然数，后者还是peano 意义下的自然数。

APB先生

peano 公理导致了：每一个确定的自然数 a 都只有一个确定的后续数 a+1，每一个确定的自然数 a+1 都只有一个确定的后续数 a+2，每一个确定的自然数 a+2 都只有一个确定的后续数 a+3，……，综上所述，对于每一个确定的自然数 a 我们都可以有无限多个确定的后续数 a+1+1+1+……， 因此都可以使每一个确定的有限的自然数 a 变化为（或增大为）一个确定的趋向无限大的自然数。这是从 peano 公理中推导出来的一条无需证明的新公理。

elimqiu

这东西虽不是无人不晓，但也算是常识。只是这东西并不导致极限的差异，因此就是有这种无穷大，也只有一个而已。并不能对应如此众多的无尽小数。其实只有逻辑上的不可救药，才认为后继运算会导致无穷大自然数个例：没有一次后继运算导致无穷大自然数。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
后继运算在‘达到/进入’无穷以前，已经把所有自然数都遍历了。

门外汉

下面引用由APB先生在 2011/05/14 03:01pm 发表的内容：
peano 公理导致了：每一个确定的自然数 a 都只有一个确定的后续数 a+1，每一个确定的自然数 a+1 都只有一个确定的后续数 a+2，每一个确定的自然数 a+2 都只有一个确定的后续数 a+3，……，综上所述，对于每一个确定的自然数 a 我们都可以有无限多个确定的后续数 a+1+1+1+……， 因此都可以使每一个确定的有限的自然数 a 变化为（或增大为）一个确定的趋向无限大的自然数。这是从 peano 公理中推导出来的一条无需证明的新公理。

你所说的“确定的趋向无限大的自然数”恰恰是不确定的，因为在全部的自然数之中，你无法确定这个“无限大自然数”究竟是哪一个。
实际上，全体自然数之中任何一个自然数如果被确定为是“无限大自然数”，都会导致矛盾。

APB先生

无限次的后续运算使每一个确定的自然数 a 都可以变为趋于无穷大的无尽自然大数，（从我一楼的反写方式可以直观看到），这恰好与无尽自然小数一一对应！个数相等！；因此证明了（0,1）的全体实数与自然数列一一对应，都是可数的；证明了康托尔集合论存在重大错误。

APB先生

你所说的“你所说的“确定的趋向无限大的自然数”恰恰是不确定的”恰恰是不确定的！因为：每一个自然数 a 经过无限次的后续运算后，趋向无限大是确定的，绝对的事实，难道会使 a 趋向无限小吗？

门外汉

下面引用由APB先生在 2011/05/14 05:12pm 发表的内容：
你所说的“你所说的“确定的趋向无限大的自然数”恰恰是不确定的”恰恰是不确定的！因为：每一个自然数 a 经过无限次的后续运算后，趋向无限大是确定的，绝对的事实，难道会使 a 趋向无限小吗？

你所说的“趋向于无限大”显然是指“趋向于无限大自然数”，而你对于“无限大自然数”并没有给出严格的定义，这个“无限大自然数”只是你头脑中的一个直觉的产物。
说得直观一点：如果你的无限大自然数是Ｍ，那么Ｍ－１是无限大自然数吗？
如果你说Ｍ－１是有限大的自然数，这显然是说不通的。
但是如果你说Ｍ－１也是无限大自然数，则根据皮亚诺公理，可以推导出所有的自然数全都是无限大自然数，这显然也是说不通的。

elimqiu

peano 公理第五条的等价定理：
如果 P 是关于自然数的命题， E = { n ∈N: P(n) 真} 非空， 则 E 有最小元。
利用这个定理可以证明没有无穷大自然数。

APB先生

答楼上：
   而利用 peano 公理的后续方法，完全可以使楼上认可的每一个有限大的自然数 N 全部趋向无限大：N+1+1+1+1+……，即 N→∞，因此产生一个从量变到质变的过程，使得没有趋向无限大的自然数变为趋向无限大的自然数，N 也不过是一个可以不断变大的确定肯定或断定指定为一个变数而已；这些都是客观事实。
况且任何事物都是对立统一的，一分为二的；如果不存在无限大自然数，也就不存在有限大自然数了；这和存在有限小数，就存在无限小数是一个道理。只承认有男，而不承认有女，只承认有矛，不承认有盾，……，是不是很荒谬滑稽？