[求助]请教陆老师和elimqiu老师：这道概率题应该如何来计算呢？

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/06/14 09:51am 发表的内容：
注意，我们研究的是“在标准分析中能否建立概率论公理化结构”，“在标准分析中能否构造
合理的随机试验”的问题。在标准分析中，无穷大量和无穷小量都不是数，所以不可能有无穷
多个体积无穷小的小球。事实上， ...

这是不是说，求等可能事件的概率，标准分析只能解决有限问题，非标准分析才能解决无限问题呢？

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/06/14 11:14am 发表的内容：
这是不是说，求等可能事件的概率，标准分析只能解决有限问题，非标准分析才能解决无限问题呢？

到现在还不知道转换定理意味着什么。如果你在标准分析里不能对无穷做什么，那么在非标准那里也一样。

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/06/14 04:50am 发表的内容：
到现在还不知道转换定理意味着什么。如果你在标准分析里不能对无穷做什么，那么在非标准那里也一样。

对于标准分析中的有限数 n ，通过转换定理，就可以转换为非标准分析中的超越数 Ω ，而这个 Ω ，在标准分析看来，那就是一个无穷大。
所以说，在标准分析里不能对无穷做什么，那么在非标准那里就不一样了，不能做变得能做了。

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/06/14 00:02pm 发表的内容：
对于标准分析中的有限数 n ，通过转换定理，就可以转换为非标准分析中的超越数 Ω ，而这个 Ω ，在标准分析看来，那就是一个无穷大。
所以说，在标准分析里不能对无穷做什么，那么在非标准那里就不一样了，不能 ...

就知道你没搞懂转换定理么。

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/06/14 05:05am 发表的内容：
就知道你没搞懂转换定理么。

如果在标准分析里不能做的事情，在非标准仍然不能做，那么，非标准分析有何用处？

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/06/14 00:16pm 发表的内容：
如果在标准分析里不能做的事情，在非标准仍然不能做，那么，非标准分析有何用处？

是没有什么必要。不过饭食的口味不同，对只关心进食的营养能量的人才无所谓。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/06/14 03:19pm 第 2 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/06/14 00:16pm 发表的内容：
如果在标准分析里不能做的事情，在非标准仍然不能做，那么，非标准分析有何用处？

    非标准分析的意义，不在于它能推出与标准分析相反的结论（这是不可能的），
或解决标准分析不能解决的问题（这也是不可能的），而是在于：它能简化标准分析
的证明，使得证明更简单、更容易想到、更容易理解。
    例如，标准分析微积分中的“ε-N”“ε-δ” 语言的证明，对初学微积分的学生
来说，往往觉得非常困难，非常难以理解。而在非标准分析中，可以完全避免使用
繁琐难懂的“ε-N”“ε-δ”语言，使证明变得很直观、很容易理解。
   非标准分析还能使得标准分析中的概念变得更加直观、更加清晰。
   例如，微积分中的“一致连续”，在标准分析中是一个令人感到困惑、感到莫名其妙
的概念，学生们往往弄不清楚：“一致连续”与“连续”到底有什么区别？为什么有了
“连续”还不行，还要“一致连续”？而在非标准分析中，就非常清楚，非常简单：普通
的“连续”，就是只能保证在实数点上连续，而“一致连续”，就是不仅在实数点上连续，
而且在超实数点上也连续。
（  参看我在《数学中国》论坛发表的帖子：
       用“非标准分析”观点看连续和一致连续
      http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=10402 ）

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/06/14 05:24am 发表的内容：
是没有什么必要。不过饭食的口味不同，对只关心进食的营养能量的人才无所谓。

我认为非标准分析对于标准分析来说，不仅仅是口味的不同，而且增加了很多的营养能量。
也就是说，在标准分析中有许多模糊不清的地方，到了非标准分析这里，就会变得既清晰又明白，而且还非常准确。
比如对于“无穷”这个概念就是如此。

elimqiu

你情愿这样大家是知道的。你不清楚这两种分析不会导致本质的区别也是事实。
非标准多于标准的东西都是不可操作的。从这个意义上说，它也有它的缺点。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/06/14 03:11pm 发表的内容：
    非标准分析的意义，不在于它能推出与标准分析相反的结论（这是不可能的），
或解决标准分析不能解决的问题（这也是不可能的），而是在于：它能简化标准分析
的证明，使得证明更简单、更容易想到、更容易理解 ...

我认为非标准分析的意义，不仅能将标准分析中模糊不清的概念清晰化了，而且还能将标准分析中不确定的概念确定下来。
实际上，非标准分析还有一个更大的贡献就是，有了这个观念，就可以超越标准分析和非标准分析两个系统，解决原来不能解决的问题。
很明显的一个例子就是：
对于“从{1,2,3,…}中随机地取一个数，取到任何一个数的概率都相等，求取到数字 5 的概率”这样的问题，分别单纯地在标准分析和非标准分析中，都是不可解的。
但是，对于“从{1,2,3,…,n}（n>5）中随机地取一个数，取到任何一个数的概率都相等，求取到数字 5 的概率”这样的问题，在标准分析中却是可解的。因此，就可以运用转换原理（这个原理实际上是对两种分析系统的一个超越），转换成“从{1,2,3,…,Ω }中随机地取一个数，取到任何一个数的概率都相等，求取到数字 5 的概率”这样的一个非标准分析中的可解问题。
事实上，{1,2,3,…,Ω }和{1,2,3,…}并没有本质上的差别，只是表示形式的不同而已。
这就是说，原来不能解决的问题，在这里得到了圆满的解决。