“现代数学三大难题之三”－－构造非李明波实数

波浪

下面引用由elimqiu在 2009/09/14 02:28am 发表的内容：
人们常常因为用词不当而把自己忽悠了：先说两点间的距离，再忘记它们之间有一个严严实实的线段。

    数轴和上面的实数点之间，若用糖葫芦做比喻要更为贴切些，山楂可以无限稠密，但是它们之间应该有距离，否则就无法体现出两实数之间只有三种关系了：小于、等于、大于。

elimqiu

波浪：
对陆教授的帖子，是否可以这样理解：
   1.经典的标准分析的实数域中，无穷大其实只是趋势；但在非标准分析的超实数域中，无穷大可以看做是特殊的实数（超实数）。
   2.经典的标准分析中的无穷大，其实是不知不觉地透支性地提前使用了超实数，因为经典的标准分析中，没有一个实数可以和无穷大对应，所以它所说的无限小数是缺乏理论基础的或者说是不存在。
el:
其实波浪的‘理论基础’或‘存在’的概念本身就是非理论的。先撇开波浪的结论不说，看看波浪对‘理论基础’及对‘存在’这些概念怎么理解再说。
  现在波浪先生是非透支性地，正式地带大家进入了非标准的数系中了。（下面我们会看到这不会给出‘李明波实数’含所有经典意义下的实数的结果。）我们来看看这个数系是否解决波浪的责疑
    “每个自然数的大小都是有限的，但自然数的个数是无穷多的。
     因为这样一来我们数到哪一个自然数时，使它们的数量成为无穷多了呢？”
谁在数 0,1,2,…,Ω-k,…,Ω-3，Ω-2，Ω-1，Ω，Ω+1，… 这个‘序列’时会从某有限数后接着数到‘无穷大自然数’？所以‘李明波数数怪论’不会因为引入Ω而止息。于是按照波浪的逻辑，新的数系就‘没有理论基础’？

波浪：
   3.“李明波数阵”其实也是如此，也透支性地使用了超实数理论中的无穷大，只是李明波当时不知道非标准分析的内容而已。把 n 写成 0,1,2,3,… ，Ω-3，Ω-2，Ω-1，Ω，Ω+1，Ω+2，Ω+3，…… 不就行了。
   4.这样一来，“李明波数阵”中，就会有第 … ，Ω-3，Ω-2，Ω-1，Ω，Ω+1，Ω+2，Ω+3，… 行，也就可以名正言顺地含有无限小数，从而含有全部实数。
el:
波浪的‘名正言顺’其实是忽悠自己而已。言可不那么顺啊：
波浪能不能给大家看看他的数阵的第几行含有著名的 0.33333…?
不错，Ω是带来了大量新东西，不过那里面到底会有什么我们可以看得很清楚。例如第Ω-k行我们有
0，10^(k-Ω),2*10^(k-Ω),3*10^(k-Ω),…
波浪不妨告诉大家k取何值的时候我们可以远远地看到城楼上向激动的群众挥手的0.33333…？
严格的说Ω给波浪带来的全是彻头彻尾的超实数，所以引入Ω给波浪带来的不是他期望的含全体经典实数的‘李明波数阵’。
简单地说Ω对波浪的理论不奏效。

elimqiu

下面引用由波浪在 2009/09/14 08:56pm 发表的内容：
    数轴和上面的实数点之间，若用糖葫芦做比喻要更为贴切些，山楂可以无限稠密，但是它们之间应该有距离，否则就无法体现出两实数之间只有三种关系了：小于、等于、大于。

拿糖葫芦作作不恰当的比喻也就罢了，可不要在逻辑上天真烂漫到顽童（见上图）那样。实数的序关系的三歧性并不导致“象山楂那样的相邻实数点的存在”，换句话说，实数毕竟不是山楂，距离再小的二相异实数之间还会有实数。它们之间不是空空如也的缝隙而是严严实实的一个线段。

elimqiu

陆教授介绍的超实数系本身是自洽的。不过那是在经典实数系上的扩充，不是在有限小数基础上的扩充。波浪先生一定有能力证明
1。（十进）有限小数全体连数域都不是。
2。即使引入Ω，李明波数阵还构不成数域。
数域不过是让四则运算得以畅通的数系而已。这点搞不定就没法往前走了。

jzkyllcjl

李明波提出的问题值得数学界研究！两年前，有人向我介绍说:李明波证明了0.333……=1/3!我看李明波没有证明这个问题!是不是这样?请李明波回答!

elimqiu

下面引用由jzkyllcjl在 2009/09/14 10:00pm 发表的内容：
李明波提出的问题值得数学界研究！两年前，有人向我介绍说:李明波证明了0.333……=1/3!我看李明波没有证明这个问题!是不是这样?请李明波回答!

数学界也当研究jzkyllcjl。对后者主要是看看返祖现象的遗传能力和扩散能力。

波浪

[这个贴子最后由波浪在 2009/09/15 10:00am 第 3 次编辑]

    对有关无穷的讨论，总是会有纷争，因为人们毕竟不能实实在在地给出一个无穷大量。
    1.我们是否该把 1/3 = 0.333… 当成公理？
    2.我们是否该把以下无穷数列中含有 1/3 当成公理？否则 1/3 的 10 进制无限小数是怎样得来的？
       0.3，0.33，0.333，…
       （第1项中含有1个3，第2项中含有2个3，第3项中含有3个3，…，第n项中含有n个3，…； n = 0,1,2,3,… ，Ω-3，Ω-2，Ω-1，Ω，Ω+1，Ω+2，Ω+3，…）
     
   

ygq的马甲

1.我们是否该把 1/3 = 0.333… 当成公理？

不需要的
实际上，“相容性 ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ”这个术语，已经可以保证了，
即 【极限】理论与其它理论是互相满足“相容性 ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ”[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

具体地来说，1/3 可以展开成级数和，0.333… 收敛于 1/3

jzkyllcjl

欢迎你们讨论0.33……的问题！但我不会常来！

elimqiu

波浪： 1.我们是否该把 1/3 = 0.333… 当成公理？ el: 这个等式是经典无尽小数的定义的逻辑结果。这个定义也导致 1/7=0.142857142857… √2 = 1.4142135623730951… 2.我们是否该把以下无穷数列中含有 1/3 当成公理？否则 1/3 的 10 进制无限小数是怎样得来的？ el: 给定 x > 0, 设 x = A0.A1A2A3…， {An} 待定。取A0为1/3的整数部分，假定 A0,…,Ak 已经确定，且 0<=x - A0.A1…Ak< 1/10^k, 取整数 A(k+1) 使 0<=A(k+1)<10 使 0<=x - A0.A1… Ak A(k+1)< 1/10^(k+1) 易见这样的A(k+1)存在唯一。于是由归纳法，{An} 唯一确定且 x = A0.A1A2A3… 特别地令 x = 1/3 就有 An = 3, n = 1,2,3,…, 1/3 = 0.333333… 无尽小数就是这样来的。 当然波浪要是仔细想一下就知道序列 0.3,0.33,0.333,… 中根本不会有无尽小数0.333333… 不然的话就请波浪指出那个项的项数。我再来指出这会导致什么样的矛盾。 注意 {0,1,2,3,… ，Ω-3，Ω-2，Ω-1，Ω，Ω+1，Ω+2，Ω+3，…} 是可数的。但不存在一一对应 f:{0,1,2,…} →{0,1,2,3,… ，Ω-3，Ω-2，Ω-1，Ω，Ω+1，Ω+2，Ω+3，…} 使得 f 保序。 [保序的意思是 m < n ←→ f(m) < f(n)] 即任何这两个集合的一一对应都不保序。麻烦哪。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=- 波浪似乎不清楚经典实数理论和一般的数学公理系统。很多这里在商榷的东西如果明白有关的公理和定义后就不再值得讨论了。 非标准分析也许更适合波浪的风格。不过非标准数系可不是可数的啊。要不要看看陆教授的意见？