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楼主: 白新岭

[原创]k生素数群的数量公式

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 楼主| 发表于 2021-1-30 20:36 | 显示全部楼层
从这里可以看出,除了主项(2次项),还有一次项对结果影响也较大,常数项随着t的增大倒是可以忽略不计。再就是,多元的,合成方法要除一个阶乘数,如果是m个元素相加,则要除一个(m-1)!,它是在元素个数的基础上减1,二元线性不定方程的正整数解,公式是一次项表达式,而且除(2-1)!的值,是除1,所以大家不会注意到。在我的签名中,那个除(m-1)!就是这样产生的。
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 楼主| 发表于 2021-1-30 20:38 | 显示全部楼层
有兴趣的网友可以代入公式求一下,试一试,编个程序验证一下,如有错误请告知。(我想她不会错)。
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 楼主| 发表于 2021-1-30 20:45 | 显示全部楼层
2n-1        →→        t        →→        值
3001        →→        101        →→        196050
3003        →→        101        →→        130201
3005        →→        101        →→        180000
3007        →→        101        →→        196650
3009        →→        101        →→        130603
3011        →→        101        →→        196050
3013        →→        101        →→        197253
3015        →→        101        →→        121206
3017        →→        101        →→        196650
3019        →→        101        →→        197859
3021        →→        101        →→        132010
3023        →→        101        →→        197253
3025        →→        101        →→        183618
3027        →→        101        →→        132412
3029        →→        101        →→        197859
这是2n-1等于第一列值时,在x+y+z=2n-1的正整数解组数。x,y,z取30的互质数。
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 楼主| 发表于 2021-1-31 14:14 | 显示全部楼层
at^3        bt^2        ct        d        标准形式        表示式        表示式
a        b        c        d        ⑴        占位        占位
8a        4b        2c        d        ⑵        占位        占位
27a        9b        3c        d        ⑶        占位        占位
64a        16b        4c        d        ⑷        占位        占位
占位        4b        6c        7d        ⑴*8-⑵        ⑸        占位
占位        18b        24c        26d        ⑴*27-⑶        ⑹        占位
占位        48b        60c        63d        ⑴*64-⑷        ⑺        占位
占位        9b        12c        13d        ⑴*27-⑶        ⑹/2        ⑻
占位        16b        20c        21d        ⑴*64-⑷        ⑺/3        ⑼
占位        占位        6c        11d        ⑸*9-⑻*4        ⑽        占位
占位        占位        4c        7d        ⑸*4-⑼        ii        占位
占位        占位        占位        d        ⑽*2-ii*3        i2        占位
这是用待定系数法,求符合条件的正整数解组数,线性不定方程x+y+z+s=n,变量取值是模30的互质数。
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 楼主| 发表于 2021-1-31 16:22 | 显示全部楼层
at^3        bt^2        ct        d        标准形式        表示式        表示式
a        b        c        d        ⑴        占位        占位
8a        4b        2c        d        ⑵        占位        占位
27a        9b        3c        d        ⑶        占位        占位
64a        16b        4c        d        ⑷        占位        占位
占位        4b        6c        7d        ⑴*8-⑵        ⑸        占位
占位        18b        24c        26d        ⑴*27-⑶        ⑹        占位
占位        48b        60c        63d        ⑴*64-⑷        ⑺        占位
占位        9b        12c        13d        ⑴*27-⑶        ⑹/2        ⑻
占位        16b        20c        21d        ⑴*64-⑷        ⑺/3        ⑼
占位        占位        6c        11d        ⑸*9-⑻*4        ⑽        占位
占位        占位        4c        7d        ⑸*4-⑼        ii        占位
占位        占位        占位        d        ⑽*2-ii*3        i2        占位
占位        占位        逐步        返回        既得        占位        占位
占位        占位        占位        把d代入ii        c=(ii-7d)/4        占位        占位
占位        占位        占位        把d,c代入⑸        b=(⑸-6c-7d)/4        占位        占位
占位        占位        把dcb代        入⑴        a=⑴-d-c-b        占位        占位
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 楼主| 发表于 2021-1-31 16:23 | 显示全部楼层
偶数        1周        2周        3周        4周        ⑸        ⑹        ⑺        ⑻        ⑼        ⑽        ii
2        0        80        464        1407        -80        -464        -1407        -232        -469        208        149
4        1        48        356        1180        -40        -329        -1116        -164.5        -372        298        212
6        0        60        480        1566        -60        -480        -1566        -240        -522        420        282
8        0        124        607        1704        -124        -607        -1704        -303.5        -568        98        72
10        4        76        460        1416        -44        -352        -1160        -176        -386.6666667        308        210.6666667
12        0        120        666        1944        -120        -666        -1944        -333        -648        252        168
14        4        177        764        2020        -145        -656        -1764        -328        -588        7        8
16        10        120        581        1648        -40        -311        -1008        -155.5        -336        262        176
18        0        186        864        2340        -186        -864        -2340        -432        -780        54        36
20        16        244        940        2364        -116        -508        -1340        -254        -446.6666667        -28        -17.33333333
22        20        191        768        2006        -31        -228        -726        -114        -242        177        118
24        6        264        1080        2760        -216        -918        -2376        -459        -792        -108        -72
26        40        330        1124        2677        -10        -44        -117        -22        -39        -2        -1
28        31        268        966        2380        -20        -129        -396        -64.5        -132        78        52
30        24        360        1320        3216        -168        -672        -1680        -336        -560        -168        -112
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 楼主| 发表于 2021-1-31 16:24 | 显示全部楼层
i2=d        c        b        a        6c        6b        6a        第四周        比对
-31        91.5        -103        42.5        549        -618        255        31        0
-40        123        -124.5        42.5        738        -747        255        40        0
-6        81        -126        51        486        -756        306        6        0
-20        53        -75.5        42.5        318        -453        255        20        0
-16        80.66666667        -104        43.33333333        484        -624        260        16        0
0        42        -93        51        252        -558        306        0        0
-10        19.5        -48        42.5        117        -288        255        10        0
-4        51        -79.5        42.5        306        -477        255        4        0
0        9        -60        51        54        -360        306        0        0
-4        2.666666667        -26        43.33333333        16        -156        260        4        -5.68434E-14
0        29.5        -52        42.5        177        -312        255        0        0
0        -18        -27        51        -108        -162        306        0        0
-1        1.5        -3        42.5        9        -18        255        1        0
0        13        -24.5        42.5        78        -147        255        0        0
0        -28        0        52        -168        0        312        0        0
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 楼主| 发表于 2021-1-31 16:35 | 显示全部楼层
上楼是x+y+z+s=2n在模30的互质数中的求解组公式中的系数:at^3+bt^2+ct+d,第一列是常数项的值,6c,6b,6a所在列是系数*6的值,周期t=int((2n+28)/30)。把t代入公式,对应着取系数a,b,c,d即构成求解组公式,共计15类偶数有解(15类奇数无解)。从这里可以获得,m元的线性不定方程的正整数解组,求解公式中的系数*(m-1)!,是整数,且最高项的系数容易获得。常数项是末周的解数。首尾两端系数易得。
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 楼主| 发表于 2021-2-1 08:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 白新岭 于 2021-2-1 08:25 编辑

对于线性不定方程的正整数解的问题:\(X_1\)+\(X_2\)+\(X_3\)+\(X_4\)+\(X_5\)+\(X_6\)+......+\(X_m\)=N,
我们可以用高中学过的排列组合学来解决。用插入挡板法,对于排列好的一组物体(可以是任何的实物,比方用乒乓球),共计N个物体,现在我们拿来m-1个挡板,这N个物体之间有N-1个空隙,我们把这m-1块挡板放到N-1个空隙中去,就把这N个物体分成了m块区域,有前后顺序的m块区域,安前后顺序分别对应着\(X_i\),正好对应着每个未知数,所以这种放挡板的方法数就是线性不定方程正整数的解组数。即为:\(C_{N-1}^{m-1}\).
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 楼主| 发表于 2021-2-1 08:36 | 显示全部楼层
白新岭 发表于 2021-1-31 16:35
上楼是x+y+z+s=2n在模30的互质数中的求解组公式中的系数:at^3+bt^2+ct+d,第一列是常数项的值,6c,6b,6a ...

再就是我们可以通过置换群来解释除(m-1)!的原因。
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