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恩格斯在《反杜林论》中文1970年12月版19页讲过：“形而上学的思维方式，虽然在相当广泛的、各依对象的性质而大小不同的领域中是正当的，甚至是必要的，可是它每一次迟早要达到一个界限，一超过这个界限，它就要变成片面的、狭隘的、抽象的，并且陷入不可解决的矛盾”；在《自然辩证法》中文59年版228页讲道：“数学家……。他们忘记了，全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想像的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。” Elim使用吃狗屎的骂人做法，是他无理的表现。
恩格斯虽然没有研究过康托儿与ZFC公理集合论，但恩格斯的这些论述，对这些问题的研究有指导意义。事实上，无穷集合都是使用趋向性极限方法提出的想象性事物，无穷数列的趋向性极限值具有数列不可达到的性质，无穷集合都具有不可构造完毕的性质，康托儿的“无穷集合是完成了的实无穷集合”的说法，就是推到极端的做法，最后导致了连续统假设的大难题与三分律反例、分球奇论、海涅定理的反例，从而走向使数学理论不能成立的反面。至于无穷集合是不是存在的问题，还需要指出，从建立数学理论来讲，需要提出这些按照一定法则变化的趋向性质的想象性质的无穷集合，从而可以提出理想函数与公式；但根据无穷集合无法构造完毕与现实数量的测不准性质，在解决实际应用问题时，必须使用有限集合替换无穷集合，还需要知道有限集合的元素个数可以增大，即使对撒哈拉沙漠的沙子个数，也可以使用自然数表示。事实上，人们可以在近似方法下，算出沙漠的体积与重量，可以查出一克重沙子的个数，从而得到沙漠的粗略的自然数个数。在理想函数与公式应用时，需要根据具体问题的情况，使用自变数与函数值的足够准近似对应关系。总之，具体问题需要具体研究；深入研究、唯物辩证法下的辩证研究是解决问题的根本方法，形而上学、形式逻辑方法的使用是有界限的，超过了界限就不可用。
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发表于 2019-8-6 17:07