[原创]超越复数的三元数-从复平面到三维数空间

俞根强

下面引用由  伐木道人  在 2008/08/05 05:27pm 发表的内容：
大家好：
    必须指出：在N维数空间，只需定义，相同的单位元乘积为-1，而不同的单位元乘积为0，这样，就可以将数系推广至高维空间了。
     其中模r与辐角θ的意义不变。

应该还有其它三元数的构造方法的。
以类比方式来说的话，这个方法象空心的球壳，而哈米顿方式象实心的球。

zwp

[这个贴子最后由zwp在 2008/12/10 08:56pm 第 2 次编辑]

呵呵，放弃模律，所以出现了三维数（其实，放弃模律后，每个经过x的平面可以重新构成数系哈密顿已经介绍过了）！
有个叫夏新民的与你相反，他放弃了交换律，令ij=-ij，放弃交换律的三元数也和球坐标有很好的联系！
复平面能把速度通量（流量）和速度环积分（速度环量、涡通量）结合起来，这和向量代数明显不同；而且，其解析函数积分与路径无关的性质很好的反应了物理、化学状态及有势力的特点！
不知道你和夏老师的三元数，在放弃一些性质而恢复哈密顿当初的梦想后；哪个三元数能推广复平面的解析函数，特别是其积分与路径无关的性质推广到到三维数系！----------------我是搞流体力学的，在看到复平面解析函数的特点时，也想到了把平面解析函数通过“扩充数域”扩展到三维解析函数，用三维解析函数表示空间有势力；而且，无独有偶，我想到的三维数也是除了直角坐标外还和球坐标有联系！
至于说什么解方程，什么非线性方程性质才是数域必须满足的；我不敢苟同！如果一个n维数系（特别是三维对空间---定常问题、四维数系对时空--非定常问题）在处理物理问题上有更为简洁、有效的效果（如通量和环量的统一等；空间有势力表示成空间解析函数等；状态量表示成四维解析函数等），那么这个数系就应该有物理意义！
不要因为我是搞力学的就鄙视我的上述看法，其实追述历史；数学家和力学家基本就是一致的！很大一部分数学家就是为了解决力学和物理问题，深入研究数学的；那个夏老师也是搞力学的，他的三元数也发表了！而我的基于三元数系解析函数等尚没有成型，或许会采用你或夏老师中一个人定义的三元数系统，或许会重新定义一个三元数！
目前流形还没有扩充到复数领域，或许扩充后，不用放弃什么律，而且也能很好的满足很多物理意义并实现很多物理上的简洁运算！（邱成桐不是说过吗？未来的数学领域很可能不是基于定量而是基于流形）！

zwp

补充一句，真是无独有偶，我和夏老师也想到了用指数形式和三角形式表示三元数-----因为他本来就是复数数域的扩充嘛！

伐木道人

楼上的朋友你好！
    你说的夏老师是湖北武汉化工学院机械工程学院的夏新念老师而不是夏新民，我曾想与夏老师联系一下，但夏老师没有给我回信，他的论文发表于2004年，在论文中用的是纯代数的方法，没有涉及到三元数的三角形式，所谓学无先后，达者为师，我也很想认识一下夏老师，这个三角形式是我作了大量的数学实验后得出的几何形式，哈密顿并没有发现这个秘密！更不要谈什么解决三元数开方、乘方和三元数函数了，关于三元数的最新进展情况，有天下无毒史先生帮忙我已发表在百度数学吧和我的百度空间了，有时间你可以去看看，据我了解，哈密顿是不承认有三元数理论的，他坚持新数系必须满足模律和结合律，又怎么可能发现三元数理论呢？充其量他曾验证过，定义i*j=0不能满足模律，所以不存在三元数系，你上述的发言是没有充分证据的，可否请您将你的证据全文发表在数学中国网站上？作为一个学者，首先发言要严谨。
    关于三元数理论，当然在国内不止一人在研究，如河南平顶山工学院的屈鹏展教授、山东赵录老师、湖北夏新念老师、以及首先引用我论文的上海陆元鸿教授等等，不过，大家的理论各有本质的不同，我都看过他们的论文，屈老师我也熟悉，陆教授德高望重，都是我尊敬的前辈，我也希望大家能在一起经常互相交流。
    你的看法是很有道理的，数学家当然和物理学家密不可分，不过，三元数的三角形式并非和球坐标全然相同，你再研究研究！他们取值范围不同，几何意义有一定区别。
     在三维空间，三元数p3=a+bi+cj=r[cosθ+sinθ(icosφ+jsinφ)]  
　　　在四维空间，四元数p4=a+bi+cj+dk=r[cosθ+sinθ(icosφ1+jcosφ2+kcosφ3)]  
在N维空间，
N元数pn=a0+a1i1+a2i2+.......+an-1in-1=r[cosθ+sinθ(i1cosφ1+i2cosφ2+i3cosφ3+......+in-1cosφn-1)],其中，in×in=-1,in×im=0,n≠m.
   代数学基本定理可以自然推广至N维空间！一般地，在N维空间，一元N次代数方程依然可以保证至少有一根（或至少有N个根），这是非常有趣的一件事情！  

    况且，三元数的三角形式直观的描述了物理空间中星体绕中心天体的运行情况，你再看看下面的数学形式：三元数p3=a+bi+cj=r[cosωt+sinωt(icosφ+jsinφ)],这里 φ可以表示星体的轨道倾角，ω可以指角速度，t可以指时间，当然上述式子在星体的运行轨道为椭圆时可以变形为：p3=acosωt+bsinωt(icosφ+jsinφ),这里a,b指椭圆的长短轴，三元数理论是有应用价值的，用这种方式表示行星轨道，当轨道有一个旋转角度时，乘以一个旋转因子就可以了，非常简单！  
    对于实系数的幂级数，满足结合律是不成问题，这不会影响我们研究三元数函数和幂级数，显然，三维空间中，我们可以看到，在一个圆盘上收敛的幂级数，现在想当然的在一个圆球内收敛了！对于先乘方，再与系数乘，这样的代数运算总是可以得出确定的结果的，我们这里需要与非线性代数方程组打交道，不过，由新数系理论不难得出结论，此类方程组是至少有N个实数解的，这在实代数几何领域是极有意义的！
    楼上的朋友，请你再看看原论文中对数学史的介绍，哈密顿先生的疏忽之处，论文中说的非常明白，他认为不满足模律定律的数系是不可接受的，而且对定义i*j=0大有疑问，对结合律的不满足也不愿接受，所以，他无法发现三元数乃至N元数的统一的三角形式，从而无法处理一个三元数（N元数亦可）的乘方与开方，更不要说解决三元数函数的问题了，给出三元数完善的运算规律更是无从谈起，怎么能说我们探讨的三元数（推广至N元数亦可）就是他的四元数呢？  
    实际上，为了逻辑上的叙述方便，作者介绍了哈密顿先生的研究过程，而真实的三元数的发现过程并不是这样，而是源于作者首先坚信代数和几何以及数学基础的统一性，作者在做了大量的数学实验后，才猜想得出了统一的三角形式，这是这个理论的关键，而并非是首先源于哈密顿的启发，最后成文时，没有数学史的介绍，文章显得不够丰满，这才又查找资料，向大家简单介绍了数系的研究梗概，毕竟当初发表这篇论文是为了角逐初数会大奖，考虑到读者多是中学老师和中学生，作者才增加了一部分详细的论述与评论。  
     我想，我们可以成为朋友的，我也很喜欢力学，牛顿不就是首先是一个数学家，然后才是一个物理学家吗？不过，数学史上哈密顿根本是没有找到三元数的，他只是做了很多尝试，最终只找到了四元数，这是不争的事实，请你再看看数学史吧。

   

伐木道人

    补充一句：不是放弃模律，而是正确指出三元数在什么样的条件下才能满足模律，新数系理论找到了三元数满足模律和结合律的条件，这才是最主要的！

zwp

[这个贴子最后由zwp在 2008/12/10 11:37pm 第 1 次编辑]

呵呵，我的发言一可能没看懂！我是说你放弃了必须在整个空间（你所定义的整个三元数域）满足模律这个性质，从而实现了三元数系---从新拾起了哈密顿当年的理想！
至于我说哈密顿发现了的，是从上面的发言中抄来的（哈密顿的原文我是没有查到的，不过从你和其他人的介绍看，他似乎试过ij=0这个定义；而且，我说的是也仅仅是他发现了过x轴的平面满足模律这个性质！）而什么哈密顿发现了三元数的三角形式、指数形式和球坐标意义之类的话我可没有说过；我说的是我（而不是哈密顿）想到的三元数也有这些性质！
至于我想到的三元数，纯粹是从解析函数的力学意义上推广扩充来的！我的三元数是刚想到不久的，原来我并本不知道是否有人研究和定义过没有；所以查了很多文献，最终才查到了你和夏老师，还有你说的屈老师等的（我发现我想到的什么指数意义、三角意义和球坐标意义等，你们都已经发表过了；不知道空间解析函数是不是你们也已经想到过了？发表了？），*****目前我的论文还没有成型，可能采取你或者夏老师关于三元数的定义，也可能采取其他几个人的定义，也可能自己重新定义一个三元数！或许可能放弃定量的第三元，去扩充流形到复数领域！********
注意******中间这段话！

伐木道人

    现代数学一个特点就是以几何的观点来研究代数，对迷人的某一类非线性代数方程组现在发现可以作出定性和定量的研究，这毕竟是代数学家的一个永不放弃的梦想。所以，我对这个理论的下一步想从这里下手。

zwp

还有，我可没说过什么三元数和球坐标是一致的，他至少把直角坐标和球坐标统一了，而且还有很多和直角坐标和球坐标不同的性质（比如：复平面就是直角坐标和极坐标的统一，而且通量和环量的统一运算是直角坐标和极坐标实现不了的；其扩充和推广自然不会简单的和什么球坐标空间一样）！
其实，因为你和夏老师都先我几年想到了这个三元数（尽管我想到三维解析函数的一个多月后才查到其实你们几年前就各自发表了自己的三元数，而且满足了指数形式和三角形式以及把直角坐标和球坐标统一并扩充，只是不知道你们是否扩充了解析函数的性质积分及变量与路径无关的性质到三维）！所以，我在扩充解析函数到三维的时候，你们的论文就是重要的源头参考文献，我可能还有好多东西要问你们呢，你到好，先在没看懂我的帖子情况下就把我批了一通！

zwp

[这个贴子最后由zwp在 2008/12/10 11:38pm 第 1 次编辑]

我看你最好联系到夏老师，我再联系你和夏老师，不单从数学角度着手，也开始我的想法，把空间有势力和各种势（重力势能、电动势等等）表示成三元数的“三维解析函数”！

伐木道人

严格来说：有文献表明哈密顿确实试过ij=0这个定义，发现不满足模律，他就放弃了进一步的研究，他并未发现过x轴的平面满足模律这个性质，这是我独立发现的结论，他并不清楚分成许多的平面后会得出什么样的结论。