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ysr 发表于 2023-5-9 23:15
这三种类型的佩尔方程很容易找到最小解，其他类型的呢？我再看看吧 待研究啊！

这个图片中有一个错误:2，N^2+2型的，ab＝√(A(A-2))/2，落了一个√A.

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除了图片中的3个类型，还有如下一个类型是可以确定和证明的：
第四类： 对于标准方程 x^2-Ay^2=1
若A为N^2-1型的数，则x=√（A+1) ，  y=1 .
这是可以证明的，因为A+1 开方是整数，x和y的值代入原方程是成立的，等式两边相等的。

还有其他类型待研究，感觉很有规律，没有得到证明，很有趣，有待研究和证明。

ysr

又搞出俩类型的佩尔方程的最小解公式，并用定理推导和证明了一下。
如下图片中的俩解是成立的，但公式是复杂的。  

ysr

我的公式当A＝N^2-4或A＝N^2+4时，若N为偶数是会漏掉最小解，而得到了第二个解，
由第二个解推回去第一个解的方法是不好弄的，所以，可以用朋友的公式，如下图片是蔡家雄的公式，
我验证了一下是正确的 ，不知道人家怎么推导出来的反正都是有道理的。
其他类型我还无法确定，有待研究和证明啊！

朋友的公式，如下图:

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Private Sub Command1_Click()
Dim a, b, c
a = 233
b = 1
Do While Val(b) < Val(a)
m = (a + b) ^ 2 + a ^ 2
n = (a + b) ^ 2 + b ^ 2
m1 = Sqr(m)
n1 = Sqr(n)
q1 = m - Int(m1) ^ 2
q2 = n - Int(n1) ^ 2

If InStr(m1, ".") = 0 Or InStr(n1, ".") = 0 Then
s = s & "a=" & a & " b=" & b & "  m=" & m & "  n=" & n & "  √m=" & m1 & "  √n=" & n1 & vbCrLf
s = s & " q1/2=" & q1 / 2 & "   q2/2=" & q2 / 2 & vbCrLf
s1 = s1 + 1
Else
s = s
End If

b = b + 1
Loop
If Val(s1) > 0 Then
Text1 = s
Else
Text1 = "a=" & a & "  wu jie"
End If

End Sub

Private Sub Command2_Click()
Text1 = ""

End Sub

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a=233 b=75  m=149153  n=100489  √m=386.203314330677  √n=317
q=c^2+a^2-b^2=149153   √q=386.203314330677
代码如下：

Private Sub Command1_Click()
Dim a, b, c
a = 233
b = 1
Do While Val(b) < Val(a)
m = (a + b) ^ 2 + a ^ 2
n = (a + b) ^ 2 + b ^ 2
m1 = Sqr(m)
n1 = Sqr(n)
q1 = m - Int(m1) ^ 2
q2 = n - Int(n1) ^ 2
c = n1
q = c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2
If InStr(m1, ".") = 0 Or InStr(n1, ".") = 0 Then
s = s & "a=" & a & " b=" & b & "  m=" & m & "  n=" & n & "  √m=" & m1 & "  √n=" & n1 & vbCrLf
s = s & " q=c^2+a^2-b^2=" & q & "   √q=" & Sqr(q) & vbCrLf
s1 = s1 + 1
Else
s = s
End If

b = b + 1
Loop
If Val(s1) > 0 Then
Text1 = s
Else
Text1 = "a=" & a & "  wu jie"
End If

End Sub

Private Sub Command2_Click()
Text1 = ""

End Sub

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149153居然是个素数，233-75=158=2*79.

如果此法找出来的素数概率高，不失为一种好方法。

ysr

100489=317*317，而317是一个素数。

这俩多项式是很有趣的。

ysr

求证:a^2+2ab+2b^2和a^2+2ab+2a^2不能同时为完全平方数。

证:
若a＞b，不妨令a^2+2ab+2b^2=c^2(c∈N+)，则存在一个（不一定是唯一）正整数r，使得2a^2+2ab+b^2 =(c+r)^2。
则必须r^2+2cr=a^2-b^2，因为(c+r)^2-c^2=r^2+2cr,而a^2+2ab+2a^2-（a^2+2ab+2b^2）=a^2-b^2。整理该等式就得到：r^2+2cr+b^2-a^2=0。
令a＝b+k，则b^2-a^2＝-2bk-k^2.方程变为r^2+2cr-2bk-k^2＝0.
只要证明该方程无整数解就可以了。也就是证明在c不等于b或者c大于b的情况下c^2+2bk+k^2＝m^2无整数解，就是证明有且只有c＝b的情况下才有整数解。

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也就是求证:5b^2+4bk+k^2,和5b^2+6bk+2k^2不能同时为完全平方数。