\(\Large[0,1] \textbf{不可数无法推翻的证明}\)

APB先生

elim 发表于 2024-8-8 23:41
\([0,1]\) 是不可数无穷集: 首先它是无穷集:\(\;\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}^+\}\subset[0,1]\);
其 ...

       [0, 1] 的任一小数都可与 1 对应；其余的任一小数都可与 2 对应；再其余的任一小数都可与 3 对应；……  ；直至最后一个小数可与一个无穷大自然数对应；因此 [0, 1] 可数 ！！

elim

APB先生 发表于 2024-8-9 05:24
[0, 1] 的任一小数都可与 1 对应；其余的任一小数都可与 2 对应；再其余的任一小数都可与 3 对应 ...

这相当于对[0,1]的数编号．你需要证明每个实数都得到了编号．你以为你这种逐一编号的作法这辈子能完成？

APB先生

elim 发表于 2024-8-10 00:13
本贴旨在介绍另一种连续统不可数的证明途径：\(|\mathbb{N}|=\aleph_0 < \aleph=2^{\aleph_0}=|\mathbb{R}| ...

       你需要证明哪一个实数不能得到编号 ？？

elim

APB先生 发表于 2024-8-9 17:38
你需要证明哪一个实数不能得到编号 ？？

就是主贴里找出的那个实数。

elim

\([0,1]\)与\(\mathbb{N}^+=\{1,2,3,…\}\)对等是指存在定义在\(\mathbb{N}^+\)上，值域为\([0,1]\)的函数\(f(n)\)使\(f(m)\ne f(n)\;(m\ne n)\),且对任意\(x\in [0,1]\)均有某\(n\)使\(f(n)=x\)．即\(f\)既是单射又是满射．记\(f(n)=a_n\), 则\([0,1]\)与\(\mathbb{N}^+\)对等(一一对应)等价于\( [0,1]\)的元素可排成不重不漏的序列\(a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots\).
主贴否证了这样的序列\(\{a_n\}\)的存在性．因此\([0,1]\)在现行数学的意义下是不可数的．

认为连续统可数的人必然在可数，连续统或自然数集的认识上与现行数学不同．这意味着他们否定的不是现行数学意义上的\([0,1]\)不可数定理，而是他们误读的东西．所以发表的文章在数学界一般不会有反响：既然谈的不是一回事，那就无关痛痒．既然解释较繁又未必有效，那就保持箴默．

康托研究基数问题的目的是什么？基础理论对微积分有什么重要应用？可惜本论坛没多少人知道．

elim

本贴旨在介绍另一种连续统不可数的证明途径：\(|\mathbb{N}|=\aleph_0 < \aleph=2^{\aleph_0}=|\mathbb{R}|\)
连续统的基数等于自然数集的幂集的基数！这是一个比简单的连续统不可数定理更强的结果.
令 \(\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)=\{A\in\{B,B^c\}:\;B\subset\mathbb{N},\;0< |B|\in\mathbb{N}_+\}\) 易见 \(\mathscr{L}(\mathbb{N_+})\) 可数。
\(\quad\)\(\bigg(A\mapsto \displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}_+}2^n\chi_A(n) \) 是\(\mathbb{N}_+\)的有限子集到\(\mathbb{N}\) 的单射.\(\bigg)\)
令 \(C_0 =  \displaystyle\{{\small\sum_{k=1}^\infty\frac{\chi_A(k)}{2^k}}\mid A\in\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)\},\;C=[0,1)-C_0\)
\(\quad\)对 \(\alpha\in C,\;\;a_k=\lfloor 2^k\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\alpha\rfloor,\;(k=1,2,3,\ldots)\),
\(\quad\)由 \(2^{n-1}\alpha=\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor+\beta\) 得 \(\lfloor 2^k\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\alpha\rfloor=\lfloor 2\beta\rfloor\in\{0,1\}\)
\(\quad\)且 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{2^{n}}=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m\big(\frac{\lfloor 2^n\alpha\rfloor}{2^n}-\frac{\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor}{2^{n-1}}\big)\)
\(\qquad\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\lfloor 2^n\alpha\rfloor}{2^n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2^n\alpha-(2^n\alpha-\lfloor 2^n\alpha\rfloor) }{2^n} = \alpha\)
\(\therefore\quad \alpha\in C\) 与 \(A=\{n\in\mathbb{N}_+:\;\lfloor 2^n\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor = 1\}\in\mathscr{P}(\mathbb{N}_+)-\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)\)
\(\qquad\)的关系是1-1对应.  故\(|\mathbb{R}|=|C|=|\mathscr{P}(\mathbb{N})-\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)|=|\mathscr{P}(\mathbb{N})|=2^{\aleph_0}>\aleph_0\)

APB先生

elim 发表于 2024-8-10 11:35
就是主贴里找出的那个实数。

       请把你找到的不可数的小数 \(\xi\) 用 0、小数点、和小数点后的数字一一写清楚，让大家检验一下你的伟大发现 ！！

李利浩

无限小数是不存在的，现行数学也无法用有限小数把伊利姆所给的数正确的表示出来。

elim

APB先生 发表于 2024-8-10 02:49
请把你找到的不可数的小数 \(\xi\) 用 0、小数点、和小数点后的数字一一写清楚，让大家检验一下你 ...

我找到的这个实数是建筑在有 \(\mathbb{N}_+\)到\([0,1]\)的1-1对应基础上的。
只要 APB 后生给出这个对应方式，我就给出主贴找出的无法编号的实数的小数表示。

elim

李利浩 发表于 2024-8-10 06:36
无限小数是不存在的，现行数学也无法用有限小数把伊利姆所给的数正确的表示出来。

定性地称 \(\mathbb{N}\) 到 \([0,1]\)的1-1 对应 \(n\mapsto x_n\) 存在。
就有主贴中定性地被这个对应遗漏的\(\xi\).

具体地给出双射  \(f: \mathbb{N}\to [0,1]\), 我就具体地给出 \(\xi\in [0,1]-f(\mathbb{N}_+)\) 的具体小数表达.