推翻数学大厦的蚂蚁问题

mathmatical

春风晚霞老师:
取序列极限定义，在柯朗的微积分分析教程里找的到，该书在柯西，老魏之后。
另外也欢迎谢灵芝，朋友回来，

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-17 23:35
先生虽然“高、大、上”地讲了很多，春风唤霞反而越听越糊涂了。恕春风晚霞岁迈昏庸，请先生明 ...

恕我直言，先生对Weierstrass 的极限定义，即\(\varepsilon-N\) 定义的理解本来就很糊涂。
请先生自行检验两件事：
(1) \(\{\frac{1}{n}\}\) 是在 Weierstrass 的意义下收敛到 \(0\) 的序列。
(2) \(\{\frac{1}{n}\}\)  没有一项等于 0。
这就是 \(\{\frac{1}{n}\}\) 在标准分析语境下成为的徐氏可达的反例的充分理由。

我不确定先生对以下两大认知的看法：
(1) 数学是没有物理时间的，"当\(n\to\infty\)时" 根本不是合法的数学语句 (合式公式）
     如果没有一个确定的 n 满足"当\(n\to\infty\)时"，那么 \(a_n= a\) 无意义，是胡扯.

(2) 不存在对一切 \(\varepsilon > 0\) 均有效的公用 \(N=N_{\varepsilon}\). 除非 \(N=\infty\).

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2023-12-19 00:43
我看的无穷大量定义是菲赫金哥尔茨《数学分析原理》是1964年北京第8次印刷，第一卷第一分册的第45页，其 ...

       我使用的无穷大量定义的书是菲赫金哥尔茨《数学分析原理》(两卷版）是1979年北京第10次印刷，第一卷第一分册的第59页，《微积分学教程》(四卷八册版)1980年2月第10次印刷。其中说道“我们在这里所讨论的是这样的变量，……”。不是你说的 {P59页及其《微积分学教程》第一卷第一分册P37页)。先生大概是把赫金哥尔茨的《数学分析原理》和《微积分学教程》搞混淆了吧？你还发现所引内容有什么遗漏吗？两书对无穷大量的定义下边都有波纹曲线，以区别定义语言和非定义描述的区别，先生找出我对画有波纹线部分文字有遗漏和增添吗？否则何来“断章取义”、“叙述片面”之说？！

jzkyllcjl

春风晚霞；我看的是1964年 9月北京第8次印刷的人民出版社《微积分学教程》（修订版）45页写出的“这矛盾便证明了 我们的命题 27 无穷大量（或成简称为无穷大），在某种意义上是与无穷小量相反的。……”接着的轮中指出“如同在无穷小的情形一样 ，……我们这里所讨论的是这样的变量，……”这说明：无穷大量与其趋向性极限《“广义的数》±∞”不同；你混淆了这两个概念。，

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2023-12-19 06:18
春风晚霞；我看的是1964年 9月北京第8次印刷的人民出版社《微积分学教程》（修订版）45页写出的“这矛盾便 ...

曹老头：
       菲赫金哥尔茨关于无穷大的定义是用加波纹着重号表述出来的。在波纹着重号之外的东西实在太多。我引用菲赫金哥尔茨关于无穷大的定义。只要没改动波纹着重号上边的任一字符，都不叫混淆了什么，更不是什么断章取义。倒是先生地引用，从来都没有一句完整的话（包括你引用马哲语录也是如此)，所以请先生自重！

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-19 02:14
恕我直言，先生对Weierstrass 的极限定义，即\(\varepsilon-N\) 定义的理解本来就很糊涂。
请先生自行 ...

elim先生：
      春风晚霞虽然岁迈年高，但并不糊涂。所以对Weierstrass 的极限定义，即ε—N定义的理解还是很清醒的。
      一、极限可达思想的提出
       极限可达思想是徐利治先生提出的(参见徐利治《论无限》\(P_{22—25}\)页之〔关于极限可达到情形的讨论）。当然徐利治先生是根据他的双相无穷观(即潜实无穷辩证统一的观点)来诠释极限可达性的。
       为维护现行实数理论的严肃性，为回复曹俊云先生“n只能趋近无穷，但永远达不到无穷，所以\(\frac{1}{n}\)永远不等0”认知；为批驳范秀山先生：“对于函数y=\(\frac{1}{x}\)来说，y有极限值是0，记作\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{x}=0\). 无论在任何情况下，分式\(\tfrac{1}{x}\)也不可能为0. 即\(\tfrac{1}{x}≠0\). ”(参见范秀山《数学唯物论》P30页，极限罪状的第三条“出尔反尔、两面三刀”）的错误思想。春风晚霞根据徐利治先生的极限可达思想，提出了命题：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(x)=A\)，则当x→∞时，\(fx)=A\) 。严格地讲，这个命题的题设和结论是同义反复。但这样表达，也确实可以避免曹氏、范氏“趋“向性(趋近但不等于)极限”的错误认知。

春风晚霞

       二、Weierstrass 的ε—N极限定义语境正是现代《数学分析》语境
       现代《数学分析》不可避免要对无穷大(∞)和极限展开讨论。因为在人类的数学实践中，离开极限方法是根本不可能完成对有关无穷计算和论证。如用有限范围内的求和方法计算无穷级数的和，必然遭遇曹俊云先生所说的“写不到底、算不到底”的尴尬。
       1、无穷的概念
       菲赫金哥尔茨《微积分学教程》是这样定义无穷大的：
     【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大（参见菲赫全哥尔茨《微积分学教程》四卷八册版笫一卷，第一分册P37页；及其《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)
       不难看出无穷大是相对于预先给定的任意大数E>0的集合，\(\{n｜n>N_E，n∈N\}\). 为应用方便我们把这个集合记为\(\mathbb{N}_∞\)。根据E的任意性和皮亚诺公理（Peano axioms)，我们不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)。
       2、n→∞的诠释
       因为∞是一个集合概念，所以n和∞的关系只能是n∈\(\mathbb{N}_∞\)(即n→∞)和\(n\notin\mathbb{N}_∞\)\(即(\nrightarrow ∞)\)两种情况。
      3、自然数集\(N=\{n｜n≤N_E，n∈N\}\)\(\bigcup\)\(\{n｜n>N_E，n∈N\}\)（E为预先给定的，无论总样尢的正数，\(N_E\)与E有关。该式证明本帖从略)
      4、Weierstrass 的ε—N数列极限定义，
       【定义:】对于数列\(\{a_n\}\)和常数a，如果对于每一个预先给定的任意小的正数 ε，总存在自然数\(N_ε\)，当n>\(N_ε\)时，恒有| \(a_n- a\) |＜ε，则称常a为数列\(\{a_n\}\)的极限.记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\).(参见同济大学《高等数学》第七版P20页)。
       随例1：证明常数列\(\{a_n\}\)\(通项a_n=a(a为常数)\)的极限lim_{n \to \infty}a_n=a\).
       【证明】：因为对任给的ε>0，存在N=1，当n>N时恒有|\(a_n\)-a |=| a-a |=0<ε. 所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)。【证毕】
       随例2、证明数列\(\{\tfrac{1}{n}\}\)的极限是0 .
      【证明】：对任意预先给定的、无论怎样小的ε>0，存在\(N_ε\)=\([\tfrac{1}{ε}+1\)，当n>\(N_ε\)时，恒有｜\(\tfrac{1}{n}-0\)｜=\(\tfrac{1}{n}\)<\(\tfrac{1}{[\tfrac{1}{ε}]+1}\)<\(\tfrac{1}{\tfrac{1}{ε}}\)=ε. 所以数列\(\{\tfrac{1}{n}\}\)的极限是0. 即\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)【证毕】。
   

春风晚霞

       三、序列\(\{\tfrac{1}{n}\}\)不是徐氏可达的反例
    【证明】因为由于\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)(参见随例2，已知)，所以\(\forall ε>0，\exists N_ε\)使得当n>\(N_ε\)时，|\(\tfrac{1}{n}\)-0｜=\(\tfrac{1}{n}\)<ε恒成立。于是自然数集N=\(\{ n|n≤N_ε\}\)\(\bigcup\)\(\{ n|n>N_ε\}\).所以\(\{a_n\}\)的通项可表述为:
\(\qquad\) \(a_n=\begin{cases}
\tfrac{1}{n}\quad n∈\{n｜n≤N_ε，n∈N \} &(1)\\0\quad n∈\{n｜n>N_ε，n∈N \} &(2)
\end{cases}\).于是我们有:\(\qquad\) \(a_n=\begin{cases}
\tfrac{1}{n}\quad n\nrightarrow ∞ &(1)\\0\quad n→∞ &(2)
\end{cases}\).
       所以命题:若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)，则n→∞时\(\tfrac{1}{n}=0\)成立。故徐氏可达对数列\(\{\tfrac{1}{n}\}\)成立。
       elim先生认为【在数列\(\{\tfrac{1}{n}\}\)没有一项等于 0】这是错误的，事实上根据前面的随例1知，当n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N \}\)时存在无限多个n(至于你们找不找得出来，与徐氏何干？)使\(\tfrac{1}{n}=0\). 所以elim先生所说的【 {1/n}在标准分析语境下成为的徐氏可达的反例】是没有道理的。

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-19 01:47
三、序列\(\{\tfrac{1}{n}\}\)不是徐氏可达的反例
    【证明】因为由于\(\displaystyle\lim_{n \t ...

当 n 趋于无穷时，1/n 趋于0. 但没有 n 使  1/n=0.  

先生认为怎样就怎样吧．总之徐氏可达在这个世纪及将来不会出现在分析书著中了．
起码可以说，徐氏可达这种提法具有误导性，因而被扬弃了．

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-19 12:43
当 n 趋于无穷时，1/n 趋于0. 但没有 n 使  1/n=0.  

先生认为怎样就怎样吧．总之徐氏可达在这个世 ...

elim先生，
       你证明过【对一切n, 1/n 不等于0，所以当趋于无穷时，1/n 也不等于0】吗？在127数随例2的证明过程中，如ε取民间数学爱好者口中的无穷小小数α，那么存在\(N_ε\)=\(\tfrac{1}{α}\)，当n>\(N_ε\)时恒有\(\tfrac{1}{n}\)<α，请问先生，比无穷小小数还要小的正数存在吗？如果不存在，那么\(\tfrac{1}{n}\)等于多少？先生看来也和范氏、曹氏一样，也有当n→∞时，\(\tfrac{1}{n}\)趋向于0但不等于0。倒不是春风晚霞【要么胡塗，要么把等于和趋于视为等使人价．要么就是不讲理了】，而是先生的认知也像范氏、曹氏一样，总是停留在柯西的极限趋向说层面，根本就不在意ε—N定义中ε的二重(即任意性，和确定性)。elim先生，你讲理了吗？