存在任意长度的素数差的等比数列且公比为任意正整数及其倒数

白新岭

素a8
5322521
首项        n值        q^(n-1)        素数差        累计
210        1        1        210        210
210        2        2        420        630
210        3        4        840        1470
210        4        8        1680        3150
210        5        16        3360        6510
210        6        32        6720        13230
210        7        64        13440        26670
210        8        128        26880        53550
210        9        256        53760        107310
第一个列出的数据是以210为首项，公比为2的，n=9的等比数列，k生素数中的k=10.

白新岭

素b8
155081
927743
1842079
3881837
4086151
5268761
10569281
14434753
15846163
22506833
39864443
42886709
44351051
46284307
48576019
58367873
58674113
77782427
113405069
135690767
174875231
185608453
189449681
192251909
200762917
229557683
240290509
288467941
337111519
397039673
公比为2，首项为210.  n=8，k=9.

张帅勋iess

能请老师帮忙看一下我的帖子关于哥猜的推断过程哪里有问题吗？

yangchuanju

间距a,2a,a2,2a2和a2a型的素数串                                       
（一）a=4：                                       
存在无穷多对间隙等于4的表兄弟素数；                                       
存在无穷多组间隙等于2和4的三生素数；                                       
存在无穷多组间隙等于4和2的三生素数；                                       
存在无穷多组间隙等于2,4,2的四生素数；                                       
存在无穷多组间隙等于4,2,4的四生素数。                                       
（二）a=10：                                       
存在无穷多组间隙等于10的二生素数。                                       
若间隙等于10的2个素数之间允许存在其它素数，可成为跨距10的四生素数或三生素数，                                       
最小的跨距10的四生素数是7,11,13,17；最小的跨距10的三生素数是19,23,29。                                       
若间隙等于10的2个素数之间没有其它素数，最小的素数对是139和149，其次是181,241……。                                       
存在间隙等于2和10的连续三生素数，最小的是137,139,149、179,181,191……；                                       
存在间隙等于10和2的连续三生素数，最小的是181,193,193、337,347,349……；                                       
存在间隙等于2、10和2的连续四生素数，最小的是137,139,149,151、179,181,191,193……；                                       
存在间隙等于10、2和10的连续四生素数，最小的是409,419,421,431、1039,1049,1051,1061……；                                       
（三）a=100：                                       
存在无穷多组间隙等于100的二生素数。若二素数之间允许有其它素数，数量众多，容易找到，下面只考虑二素数之间无其它素数的状况。                                       
存在间隙等于100的相邻素数，最小的是396733和396833；                                       
存在间隙等于2和100的连续三生素数，最小的几个三生素数的首素数是；                                       
838247        5723897        2784371        4359401        6242261        6429221
9812609        10172219                               
存在间隙等于100和2的连续三生素数，最小的几个三生素数的首素数是；                                       
838249        5723899        1313467        1655707        3595489        5211109
5528287        7662517        9162367        9389827        9918421       
存在间隙等于2+100+2的连续四生素数，最小的2个四生素数的首素数是；                                       
838247        5723897                               
存在间隙等于100+2+100的连续四生素数，最小的5组连续四生素数是；                                       
1655707        1655807        1655809        1655909               
4359301        4359401        4359403        4359505               
5528287        5528387        5528389        5528489               
5723899        5723999        5724001        5724101               
6242161        6242261        6242263        6242365               
（四）a=1000：                                       
存在间隙等于1000的二生素数。若二素数之间允许有其它素数，则数量众多容易找到；若二素数之间无其它素数的则找到它较难。                                       
存在间隙等于1000的相邻素数，最小的是；                                       
   Gap  Cls Discvrer Year  Merit Digts  Following the prime                                       
  1000  CNC Be.Nyman 2001  26.47    17  25595249272424341                                       
  1000  CNC Be.Nyman 2001  26.39    17  28629011113073167                                       
  1000  CNC Be.Nyman 2001  26.32    17  31823517013736431                                       
  1000  CNC Be.Nyman 2002  26.24    17  35470670320988593                                       
  1000  CNC Be.Nyman 2002  26.23    17  36135250678096117                                       
  1000  CNC Be.Nyman 2002  26.21    17  36882315435317557                                       
  1000  CNC Be.Nyman 2002  26.16    17  39958674936070063                                       
  1000  CNC Be.Nyman 2002  26.13    17  41944157573468467                                       
  1000  CNC Be.Nyman 2002  26.07    17  45323711805720487                                       
  1000  CNC Be.Nyman 2002  26.04    17  47534032897345081                                       
  1000  CNC Be.Nyman 2002  26.04    17  47804057785446727                                       
肯定存在间隙等于2和1000的连续三生素数，最小的尚不清楚；                                       
肯定存在间隙等于1000和2的连续三生素数，最小的尚不清楚；                                       
也肯定存在间隙等于2、1000和2的连续四生素数，存在间隙等于1000、2和1000的连续四生素数。                                       
肯定存在间隙等于2000的相邻素数，最小的尚不清楚，可能要三十几位数。                                       
                                       
间隙等于10000的相邻素数，间隙等于2和10000，10000和2的连续三生素数也应该存在，但尚无人发现；                                       
间隙等于2、10000和2，10000、2和10000的连续四生素数，至今可能尚无人研究或涉及。                                       

yangchuanju

这些大间隙是怎么形成的
二素数间隙可以是任意偶数，可以无穷大。
素数阶乘前后存在较大的间隙，设q是p的前一个素数，一般的在2*3*5*……*p±1前后存在q-1个整数不是素数，间隙为q-2。
例在2*3*5-1=30-1之前有5个整数28,27,26,25,24不是素数，间隙是6=29-23；
在2*3*5+1=30+1之后有5个整数32,33,34,35,36不是素数，间隙是6=37-31；这里的6=7-1，7是素数5的下一个素数。
但是更多的素数大间隙确不到某素数阶乘就提前出现了。

偶数2最早出现在孪生素数3和5之间；
偶数4最早出现在表兄弟素数7和11之间；
偶数6最早出现在素数23和29之间，29+1=30是素数5的阶乘30。
偶数8最早出现在素数89和97之间，在91=30*3+1之后的92,93,94,95,96都不是素数，加上90=30*3，91=7*13，故形成间隙8。
偶数10最早出现在素数139和149之间，在149=30*5-1之前的148,147,146,145,144都不是素数，加上143=11*13，142=2*71，141=3*27，140=2*70，故形成间隙10。
偶数12最早出现在素数199和211之间，在209=2*3*5*7-1之前有正常间隙10，加上209=11*19、210不是素数，从而形成间隙12。
偶数14最早出现在素数113和127之间，在120=30*4前后各有正常间隙6，加上119,120,121不是素数，从而形成间隙14（=6*2+3-1）。
间隙14出现时比间隙10和12都要早一些。

间隙100出现在396733和396833之间，先对二素数及中间各数进行分解，从中可以得到：
二素数中间的99个整数中没有210的倍数，但有3个30的倍数。
30的倍数前后至少各有2个间隙6，加上30k±1不是素数，则30k处间隙各是12，总12*3=36。
再细看，以这3个30的倍数为中心的31个数字中都没有一个素数，总计就有31*3-2=91个数字不是素数了。
再加上前后还有一些数字也不是素数，故总间隙达到了100。

再对有间隙210的20831323-20831533素数对及中间各数进行分解，从中可以看到：
在20831323-20831533之间有1个210的倍数20831370和7个30的倍数数，
在210的倍数20831370前后至少各有间隙10，但在7个以30为中心相距15的各数中均无素数并连在一起，
（其中第1个30倍数数前16数字不是素数，第7个30倍数数后12数字不是素数，）故总间隙达到了210。
例第1个30倍数20831340前1的20831339，前7的20831333，前11的20831327虽不能被2、3、5除尽，但它们分别是389、37、11的倍数；
后1的20831341是17的倍数，前7的20831347是283的倍数，后11的20831351是101的倍数，后13的20831353是19的倍数。
第1个素数20831323模30余13，第2个素数20831533模30余17，成为一对素数对。
第1个30的倍数20831340后17的20831357=2333*8929，后19的20831359=1223*17033都是半素数，不然的话，20831323之后的间隙就降为34或36了。

白新岭

yangchuanju 发表于 2021-2-1 08:42
这些大间隙是怎么形成的
二素数间隙可以是任意偶数，可以无穷大。
素数阶乘前后存在较大的间隙，设q是p的 ...

在每组之间，都含有3或5因子（奇数位置）：一个是（30m+1，30m+7）之间，再就是（30m+23，30m+29）之间，每组中有两个奇数位置，其中一个含素数3因子，另一个含素数5因子，知道永远，即它们之间无素数（除了m=0时的第一组）。往后一样，在（210m+1，210m+11）之间，再就是（210m+199，210m+209）之间，所以在以素数乘积为周期只能，首尾两端就是没有素数出现的一个区间段，区间段跨度不大于下一个素数（接着要出现在连乘积中的素数）。

yangchuanju

如何根据某个k级等比级数求下一个k级等比级数和k+1级等比级数                                                               

本帖推导过程中有错误，原文已删除！

yangchuanju

如何根据某个k级等比级数求下一个k级等比级数和k+1级等比级数                                                       

（一）已经求得19427是邻距2,4,8,……256的最小的9级等比级数，                                                       
如何找到下一个邻距相同的9级等比级数？                                                       
扩大搜索基数当然可以，但基数可能要扩大10倍，100倍，……，此法显得有些笨。                                                       
有没有简捷方法？                                                       

（1）先看间距表达式0,2,6,14……（邻距0,2,4,8……）模3,5,7……的余数表：                                                       
邻距        间距        3        5        7        11        13        17
0        0        0        0        0        0        0        0
2        2        2        2        2        2        2        2
4        6        0        1        6        6        6        6
8        14        2        4        0        3        1        14
16        30        0        0        2        8        4        13
32        62        2        2        6        7        10        11
64        126        0        1        0        5        9        7
128        254        2        4        2        1        7        16
256        510        0        0        6        4        3        0
512        1022        2        2        0        10        8        2
1024        2046        0        1        2        0        5        6
2048        4094        2        4        6        2        12        14
4096        8190        0        0        0        6        0        13
8192        16382        2        2        2        3        2        11
16384        32766        0        1        6        8        6        7
32768        65534        2        4        0        7        1        16
65536        131070        0        0        2        5        4        0
131072        262142        2        2        6        1        10        2
262144        524286        0        1        0        4        9        6
524288        1048574        2        4        2        10        7        14
1048576        2097150        0        0        6        0        3        13

（2）当用与30互素的互素数表达邻距2,4,8……的k生素数时，首数只能是17。                                                       
已知第一个公比等于2的9级等比级数的首素数19427模210余107，不是余17，                                                       
再看以107为首数的互素数表达式107,109,113,121……模3,5,7……的余数表：                                                       
邻距        间距        3        5        7        11        13        17
107        107        2        2        2        8        3        5
109        109        1        4        4        10        5        7
111        113        2        3        1        3        9        11
115        121        1        1        2        0        4        2
123        137        2        2        4        5        7        1
139        169        1        4        1        4        0        16
171        233        2        3        2        2        12        12
235        361        1        1        4        9        10        4
363        617        2        2        1        1        6        5
619        1129        1        4        2        7        11        7
1131        2153        2        3        4        8        8        11
2155        4201        1        1        1        10        2        2
4203        8297        2        2        2        3        3        1
8299        16489        1        4        4        0        5        16
16491        32873        2        3        1        5        9        12
32875        65641        1        1        2        4        4        4
65643        131177        2        2        4        2        7        5
131179        262249        1        4        1        9        0        7
262251        524393        2        3        2        1        12        11
524395        1048681        1        1        4        7        10        2
1048683        2097257        2        2        1        8        6        1

首数是107的邻距2,4,8……的等比级数模3,5,7没有余数0出现；模11,13,19都有余数0出现，但余数种类数都比11,13,19少1，模17也无余数0，余数种类数为17-1的二分之一；                                                                       
模11的余数缺6，模13的余数缺1，模19的余数缺10，模17的余数缺0、3、6、8、9、10、13、14、15；                                                                       
扩大素数的范围要么余数种类数少1，要么余数种类数是p-1的某个约数，缺的更多。                                                                       

（3）对于等比2的9级素数级数，加减若干个210，它的各项模3,5,7的余数均不改变，                                                                       
假定下一个等比2的9级素数级数比19472大210n倍，只要求得n即可。（两级数的差也可能是30n，但此处不是）                                                                       
这样的话，要比将搜索范围直接扩大的计算量减少许多（210以内有40多个素数，减少为只计算1个）。                                                                       
加数        19427        19429        19433        19441        19457        19489        19553        19681        19937
210        19637        19639        19643        19651        19667        19699        19763        19891        20147
420        19847        19849        19853        19861        19877        19909        19973        20101        20357
630        20057        20059        20063        20071        20087        20119        20183        20311        20567
840        20267        20269        20273        20281        20297        20329        20393        20521        20777
1050        20477        20479        20483        20491        20507        20539        20603        20731        20987
1260        20687        20689        20693        20701        20717        20749        20813        20941        21197
1470        20897        20899        20903        20911        20927        20959        21023        21151        21407
1427790        1447217        1447219        1447223        1447231        1447247        1447279        1447343        1447471        1447727
但即使这样，也要计算到n=6799才能找到下一组9级等比级数（首素数1447217，摘自白新岭计算数据）。                                                                       
如果计算过程中稍有差错，肯定要漏掉的！                                                                       

笔者试图用解不定方程组的方法求解下一组9级等比级数，但经分析该法理论错误，不可用。
按解不定方程组的方法，求得的是模11,13,19,17余数中均不含0的工况，但对已知的2个9级等比级数验证显示,10级或10级以后是含有余数0的，
用解不定方程组的方法求不出所要级数。据此还只能老老实实地累加！

（二）已经求得19427是邻距2,4,8,……256的最小的9级等比级数，
如何找到下一级邻距2,4,8……512的10级等比级数？
最直接的方法仍然是扩大基数，但如果你已经求得了较多的9级级数，不妨在第9个素数后加上512，
看一看哪个是素数，从此立即断定那个就是10级等比级数了！
类似于《间距a,2a,a2,2a2和a2a型的素数串》帖子中在已知几十个间距100的素数对小素数之前减2，大素数之后加2，再从中寻找邻距2+100和邻距100+2的三生素数，邻距2+100+2的四生素数那样。

yangchuanju

如何根据某个k级等比级数求下一个k级等比级数和k+1级等比级数                                                       

（一）已经求得19427是邻距2,4,8,……256的最小的9级等比级数，                                                       
如何找到下一个邻距相同的9级等比级数？                                                       
扩大搜索基数当然可以，但基数可能要扩大10倍，100倍，……，此法显得有些笨。                                                       
有没有简捷方法？                                                       

（1）先看间距表达式0,2,6,14……（邻距0,2,4,8……）模3,5,7……的余数表：                                                       
邻距        间距        3        5        7        11        13        17
0        0        0        0        0        0        0        0
2        2        2        2        2        2        2        2
4        6        0        1        6        6        6        6
8        14        2        4        0        3        1        14
16        30        0        0        2        8        4        13
32        62        2        2        6        7        10        11
64        126        0        1        0        5        9        7
128        254        2        4        2        1        7        16
256        510        0        0        6        4        3        0
512        1022        2        2        0        10        8        2
1024        2046        0        1        2        0        5        6
2048        4094        2        4        6        2        12        14
4096        8190        0        0        0        6        0        13
8192        16382        2        2        2        3        2        11
16384        32766        0        1        6        8        6        7
32768        65534        2        4        0        7        1        16
65536        131070        0        0        2        5        4        0
131072        262142        2        2        6        1        10        2
262144        524286        0        1        0        4        9        6
524288        1048574        2        4        2        10        7        14
1048576        2097150        0        0        6        0        3        13

（2）当用与30互素的互素数表达邻距2,4,8……的k生素数时，首数只能是17。                                                       
已知第一个公比等于2的9级等比级数的首素数19427模210余107，不是余17，                                                       
再看以107为首数的互素数表达式107,109,113,121……模3,5,7……的余数表：                                                       
邻距        间距        3        5        7        11        13        17
107        107        2        2        2        8        3        5
109        109        1        4        4        10        5        7
111        113        2        3        1        3        9        11
115        121        1        1        2        0        4        2
123        137        2        2        4        5        7        1
139        169        1        4        1        4        0        16
171        233        2        3        2        2        12        12
235        361        1        1        4        9        10        4
363        617        2        2        1        1        6        5
619        1129        1        4        2        7        11        7
1131        2153        2        3        4        8        8        11
2155        4201        1        1        1        10        2        2
4203        8297        2        2        2        3        3        1
8299        16489        1        4        4        0        5        16
16491        32873        2        3        1        5        9        12
32875        65641        1        1        2        4        4        4
65643        131177        2        2        4        2        7        5
131179        262249        1        4        1        9        0        7
262251        524393        2        3        2        1        12        11
524395        1048681        1        1        4        7        10        2
1048683        2097257        2        2        1        8        6        1

首数是107的邻距2,4,8……的等比级数模3,5,7没有余数0出现；模11,13,19都有余数0出现，但余数种类数都比11,13,19少1，模17也无余数0，余数种类数为17-1的二分之一；                                                                       
模11的余数缺6，模13的余数缺1，模19的余数缺10，模17的余数缺0、3、6、8、9、10、13、14、15；                                                                       
扩大素数的范围要么余数种类数少1，要么余数种类数是p-1的某个约数，缺的更多。                                                                       

（3）对于等比2的9级素数级数，加减若干个210，它的各项模3,5,7的余数均不改变，                                                                       
假定下一个等比2的9级素数级数比19472大210n倍，只要求得n即可。（两级数的差也可能是30n，但此处不是）                                                                       
这样的话，要比将搜索范围直接扩大的计算量减少许多（210以内有40多个素数，减少为只计算1个）。                                                                       
加数        19427        19429        19433        19441        19457        19489        19553        19681        19937
210        19637        19639        19643        19651        19667        19699        19763        19891        20147
420        19847        19849        19853        19861        19877        19909        19973        20101        20357
630        20057        20059        20063        20071        20087        20119        20183        20311        20567
840        20267        20269        20273        20281        20297        20329        20393        20521        20777
1050        20477        20479        20483        20491        20507        20539        20603        20731        20987
1260        20687        20689        20693        20701        20717        20749        20813        20941        21197
1470        20897        20899        20903        20911        20927        20959        21023        21151        21407
1427790        1447217        1447219        1447223        1447231        1447247        1447279        1447343        1447471        1447727
但即使这样，也要计算到n=6799才能找到下一组9级等比级数（首素数1447217，摘自白新岭计算数据）。                                                                       
如果计算过程中稍有差错，肯定要漏掉的！                                                                       

笔者试图用解不定方程组的方法求解下一组9级等比级数，但经分析该法理论错误，不可用。
按解不定方程组的方法，求得的是模11,13,19,17余数中均不含0的工况，但对已知的2个9级等比级数验证显示,10级或10级以后是含有余数0的，
用解不定方程组的方法求不出所要级数。据此还只能老老实实地累加！

（二）已经求得19427是邻距2,4,8,……256的最小的9级等比级数，
如何找到下一级邻距2,4,8……512的10级等比级数？
最直接的方法仍然是扩大基数，但如果你已经求得了较多的9级级数，不妨在第9个素数后加上512，
看一看哪个是素数，从此立即断定那个就是10级等比级数了！
类似于《间距a,2a,a2,2a2和a2a型的素数串》帖子中在已知几十个间距100的素数对小素数之前减2，大素数之后加2，再从中寻找邻距2+100和邻距100+2的三生素数，邻距2+100+2的四生素数那样。

yangchuanju

双最密四生素数构成的八生素数                                                               
四生素数11,13,17,19是最小的一组最密四生素数；                                                               
四生素数11,13,17,19加30得41,43,47,49不是四生素数级数，因为49不是素数。                                                               
有没有八生素数11,13,17,19,41,43,47,49？（可认为本八生素数是与30互素的互素数表达式）                                                               
已知上述8数模7的余数中没有余数2，有该类八生素数并且无穷多。                                                               
八生素数        11        13        17        19        41        43        47        49
模7余数        4        6        3        5        6        1        5        0
（1）若第4、第5两素数之间可有其它素数，则可用因数分解软件求取；                                                               
（2）若第4、第5两素数之间没有其它素数，则可根据大素数表中2-8素数差求取，或在（1）型八生素数基础上求取。                                                               
肯定（1）型的数量较多，（2）型的数量较少。                                                               
在前1万组最密四生素数基础上各加30，                                                               
共找到12组由双最密四生素数构成的跨距38的八生素数，其首素数是：                                                               
1        1006301                                                       
2        2594951                                                       
3        3919211                                                       
4        9600551                                                       
5        10531061                                                       
6        108816311                                                       
7        131445701                                                       
8        152370731                                                       
9        157131641                                                       
10        179028761                                                       
11        211950251                                                       
12        255352211                                                       
经对上述12组素数串检测，第4、第5素数之间有4组没有素数，                                                               
分别是第1,5,7,12组；                                                               
即2.5亿以内有4组由连续的双最密四生素数构成的八生素数：                                                               
首素数分别是：1006301,10531061,131445701,255352211。