夏道行在为康托帮倒忙

数学小不点

从这种对应，发现了无限集合对应的特殊性，康托尔最终才抽象出的定义，从不同的对应方法，剩余的元素可多，可少，但至少有一种可以一一对应上，这是康托尔最终得出的结论，而只要存在一种这样的一一对应关系，康托尔就可以建立他的基数理论，这才是最重要的！玩数学就是玩的定义和公理，本来我以为你真的了解，原来是这样。

elimqiu

下面引用由数学小不点在 2010/10/24 00:12am 发表的内容：
从这种对应，发现了无限集合对应的特殊性，康托尔最终才抽象出的定义，从不同的对应方法，剩余的元素可多，可少，但至少有一种可以一一对应上，这是康托尔最终得出的结论，而只要存在一种这样的一一对应关系，康 ...

一一对应是一个等价关系。加上Cantor-Bernstein 定理及选择公理。就可以建立自洽的，与有限计数兼容的基数理论。你什么时候悟出这点我不知道。你处处表现出的混乱倒是很引人注目么。我们从zhaolu48的质疑的根据谈起，你现在跑到哪里去了？ 再追问你一句：zhaolu48的质疑的根据荒谬与否？
如果zhaolu48 认为不存在无穷集合，那么他就不要扯什么可说不可数，全体偶数之类的东西了。倒也省事。他是如此省油的灯？ 你呢？ 一个具体的问题扯到哪里了自己也不清楚了吧？
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原来是怎样？ 怎么说话这么不清楚？ 从一开始到现在，你说说看我哪里出尔反尔了？ 哪里有矛盾了？ 哪里表现出不知道具体的一一对应不唯一了？

数学小不点

康托尔发表集合论是1873年左右，而选择公理是1908年才由策梅洛做出的，没有这个公理，康托尔的集合论就不完备。当时，康托尔理论缺少这个公理，但既然是公理，别人也未见得一定接受。我早说过，必须承认康托尔的定义和选择公理，才能自洽成一个体系。但定义和公理的选择有自由性，不允许别人质疑这不是不是好的办法，zhaolu老师喜欢自己再探索探索，这也没有什么坏处。当初反对他的人，如法国的庞加莱与德国的克莱因、韦尔以及柏林学派的克罗内克等俱赫赫有名，他的好友施瓦泽也因他的集合论而与其断交，这些人中有经验主义、半经验主义、直觉主义、构造主义等学派，反对的观点也并非一无是处，在基础大战中，构成了一个反康托尔的联合阵营，如果没有后来的希尔伯特支持，很难说他的理论最终结果如何。即使如此，我认为也不好说他的理论就没有被其他更好的理论取代的可能。真理从来就有两个面孔，自由探讨，自由讨论，这仍然是必要的。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
网上探讨，你何必过分认真，我提出潜无穷供大家娱乐一下，省的大家再探讨个不停不是更好？

awei

[color=#0000FF]有意思的两位先生，呵呵！为什么zhaolu对康托尔的理论有异议？我觉得还是要找到问题的根源。是我们的逻辑出现问题吗？自洽性不可改变。那么改变只有是数学。难道我们在一开始时就已经埋下了矛盾的根源了吗？什么是自然数？还是用语言文字抽象笼统的去阐释吗？什么是0?什么是1？是1个点还是1条线段还是1个苹果？爱因斯坦是我比较崇拜的一位大师，他在物理中提出时间的相（xiāng）对性原理，也就是相位对应性原理，尽管有些东东我不是很明白。我个人认为在数学中很有必要知道什么叫做相位对应性原理。一个坐在运动着的汽车上的人相（xiàng）对于汽车总是静止的，可是马路上站立的人会认为那个人是运动。一个人的左边会被对面站立的人认为是右边。可数无穷集合与其无穷真子集一一对应时，必须遵守的原则是自然数列是唯一的，不可能有两列不同的自然数列。即不可能有两个不同的可数无穷集合。如同物理中的光速不变原则。
   可数无穷集合与其无穷真子集的比较，如同钟表盘面上的时针和分针在12点重合，经过12小时候然后再回到0点。
    如果站在空间的角度，参照钟表盘面，时针转的圈数少（无穷真子集），分针转的圈数多（可数无穷集合）。如果参照时间，时针和分针都是经历过12小时。
    参照空间（即钟表盘面）的自然数有穷论，和参照时间的自然数无穷论，两大数系----钟形数系和计时数系，相互兼容，即相互矛盾有相互依存，矛和盾都是进攻敌人的武器，就看你怎么用了。不推翻逻辑自洽性的前提下，只有自圆其说，说服自己是一种成熟，数学也不例外。因此数学的相（xiāng）对性原理，是一种包容的理论。在研究无穷领域时同时强调空间和时间的存在性和兼容性。合理运用的逻辑思维及方法，化解人们在无穷领域的矛盾。
    elimqiu 老师说的钟型理论恐怕还不是很成熟，否则也就不会有那么多人唇枪舌战了，呵呵！

数学小不点

实际上，zhaolu是想不到偶数与自身的对应，必剩奇数这种情况的，这是我自己的思路，康托尔以定义的形式不允许这类情况出现，但如果zhaolu坚持认为，这类情况可以出现，更一般的，甚至取2n─9n，此时筛法过后，可以剩余元素更多，甚至要多少有多少，对应结束后，剩余的元素数目可以也是无穷，此时就必须反对康托尔的自由选择一一对应的定义了，否则不同的对应方式，出现的结果不确定，这不是我的观点，是俄国数学家提出的。所以，我才跟你说：数学到最后，其实成了信仰问题，承认定义跟信仰真理，意义差不多。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
awei 看来是个善于思考的人，这矛盾的根源其实在于承认实无穷，高斯就认为无穷个元素的集合其实是不可能构造完成的，世界上的集合都是有限的元素才能构造完成，如果有无限个元素，则实际的过程永远在构造之中，从无穷中，人们可以得出多种互相矛盾的结论，所以才有这么多的著名数学家批评康托尔异想天开。

awei

下面引用由数学小不点在 2010/10/24 01:17am 发表的内容：
实际上，zhaolu是想不到偶数与自身的对应，必剩奇数这种情况的，这是我自己的思路，康托尔以定义的形式不允许这类情况出现，但如果zhaolu坚持认为，这类情况可以出现，更一般的，甚至取2n─9n，此时筛法过后，可 ...

[color=#0000FF]我觉得也不是信仰问题，还是要经过论证和形象再现的，一个理论的诞生离不了牢固的根基。两种互相矛盾的理论也应该是依存关系，不能一个打压一个，矛和盾都是用来打打敌人的，不是用来自残的。尤其是自然数的有穷观点，讲出来几乎和数学白痴差不多。这种理论还有发展吗？找不到比光速快的运动方式，和不承认自然数的有穷，两种现象绝不是偶然出现在这个时代的，连陆教授都整天都围着无穷转圈圈，没办法，不大胆没有想象力，我是农民无所谓，呵呵

elimqiu

下面引用由数学小不点在 2010/10/24 00:53am 发表的内容：
康托尔发表集合论是1873年左右，而选择公理是1908年才由策梅洛做出的，没有这个公理，康托尔的集合论就不完备。当时，康托尔理论缺少这个公理，但既然是公理，别人也未见得一定接受。我早说过，必须承认康托尔的 ...

你还是说不清zhaolu48的混乱，这事情只有一点可以解释，你也一起逻辑混乱。
康托的朴素集合论的更大漏洞是无限制地依赖概括原则。不过zhaolu48的质疑及论说根本不在这种水平上。他就是没有办法接受无限集可以和其无限真子集有一一对应。给他看这个对应也接受不了。你呢，也没有好多少：基本上还在使用整体等于部分这种混乱语言么。
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在可数无穷的水平上，可以不用选择公理证明Bernstein定理。你和zhaolu48居然在这种水平就转不过弯来了。

elimqiu

下面引用由数学小不点在 2010/10/24 01:17am 发表的内容：
实际上，zhaolu是想不到偶数与自身的对应，必剩奇数这种情况的，这是我自己的思路，康托尔以定义的形式不允许这类情况出现，但如果zhaolu坚持认为，这类情况可以出现，更一般的，甚至取2n─9n，此时筛法过后，可以剩余元素更多，甚至要多少有多少，对应结束后，剩余的元素数目可以也是无穷，此时就必须反对康托尔的自由选择一一对应的定义了，否则不同的对应方式，出现的结果不确定，这不是我的观点，是俄国数学家提出的。所以，我才跟你说：数学到最后，其实成了信仰问题，承认定义跟信仰真理，意义差不多。

很难相信这是有现代数学训练的人的论说。不管你号称这种东西是出于俄国还是德国。你能不能用数理逻辑，或者至少用数学语言，把你的观点讲清楚？
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你说数学就是玩定义公理，但骨子里你的混乱就在于你有两个‘个数相等’的定义：一个是一一对应，另一个是单射不是满射的一个例子就表明‘个数不等’（或每个单射必须都是满射才表明二集合的元素的个数相等）。也就是说，你在两个不等价的定义中瞎混。

数学小不点

zhaolu并不混乱，他只是回到原点，重新开始了集合论之争，你不过教书多年，潜移默化中想当然的接受了康托尔的集合论观点，其中的争执分歧，你并没有深刻感受，不同观点可以共存，数学的发展并不遵循什么逻辑法则，逻辑只是成熟作品的一种表达方式，主要还是看解决的实际数学问题能力。你说服不了zhaolu的，就像康托尔说服不了克罗内克一样，那就由他去好了，我无所谓。awei 应该明白，自然数当然是无穷的，问题是自然数作为一个集合使用时有些麻烦，如同物理上有一种无穷是：一个物体可以无限细分，此时，当然有极限；另一种情况是有无穷多的物体，此时就是一个实无穷的概念了，此时物体的总重量发散，想多大就多大，这两种无穷本质不同。 elimqiu ，你为什么非要zhaolu接受这种部分与总体的一一对应关系呢？他不接受又如何，难道天会塌下来？这就怪了。他不愿意接受，愿意再继续探讨一下，那是他的自由，他不接受康托尔的定义，完全可以不承认康托尔的理论，这也没什么，各有所见罢了。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
我说信仰，其实是说，数学从定义公理开始研究，如果不接受一种定义和公理，则这种理论就不存在了，不知你明白吗？所以，这门科学，信则有，不信则无，这是不是信仰问题？比如最简单的1+1=2，这是数学上高度抽象后的结论，你如果反问他：一筐土豆与一筐芝麻相加，是否等于两筐？此时隐含了你 不承认数学的抽象性定义，而具体化一个生活模型，则此时数学结论就不对了。

elimqiu

下面引用由数学小不点在 2010/10/24 02:10am 发表的内容：
zhaolu并不混乱，他只是回到原点，重新开始了集合论之争，你不过教书多年，潜移默化中想当然的接受了康托尔的集合论观点，其中的争执分歧，你并没有深刻感受，不同观点可以共存，数学的发展并不遵循什么逻辑法则 ...

当然了。你这么说也没错。你是跟他一样混乱么。你的所有论说有一个共同的特点：不能来硬的，好好论证你的结论。所以你充其量也就是在扯蛋。

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我再问你一遍：
f(n) = n/2 是全体正偶数到全体正整数的一一对应与否？
这么一个明确的问题你答不出来？