[讨论] 这是一个集合悖论吗？？？

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2011/05/14 09:52pm 第 2 次编辑]

量变到质变，于是乎就不再是自然数了。叫APB数好了。
令 P(n) 为命题 【n 是无穷大自然数】， E = {n ∈N： P(n) 为真} （即E是无穷大自然数全体）
如果 E 非空， 由 119 楼， E 含有最小元 M. 显然 M ≠ 1
于是 有某 m ∈N 使得 M = m +1.
有 M 的最小性， m 不是‘无穷大自然数’， 于是 M = m + 1 不是无穷大自然数， 这与 M 的取法矛盾。 可见  E 非空 必然导致矛盾。 所以 E 是空集， 即不存在无穷大自然数。
===============================================================
现在来证明 119 楼的定理：
设 E 是 N 的非空子集， 如果E 没有最小元， 令 S = {m ∈N： m 不在E 中}， 那么 0， 不在 E 中， 否则 E 有最小元 0 了。 于是 0 ∈S. 假定 n ∈ S, 那么 n 不在 E 中。 由于E 没有最小元，n+1 也不能属于 E （否则 E 就有最小元 n+1 了） ， 这表明 n+1  n ∈ S. 根据 peano 公理5， S = N， 从而 E 是空集。此为矛盾。可见 【N 的非空子集必有最小元】。
现在反过来由 【N 的非空子集必有最小元】推出 peano 公理5 （如果 S 是 N 的子集， 0 ∈ S， 且 (n ∈ S ==> n+1 ∈ S), 这 S = N ）：
如果所论 S ≠ N, 那么 E = {m ∈N: m 不属于 S} 非空。 于是有最小元 k. 既然 0 ∈ S， &#160;k ≠ 0. 即 k 是某自然数 n 后继： k = n+1， 于是 n (< k) 不属于 E 即 n ∈ S. 但由 S 的性质， n+1 必属于 S 从而 k = n+1 ∈ S。 这与 k 是 E 的元素矛盾。这个矛盾表明 &#160;S ≠ N 不成立， 即 S = N。 &#160; 证毕。

elimqiu

超穷数理论包括序数和基数理论。属于集合论的重要部分。APB先生的想法，可以从序数理论得到很多已有的成果作参考。不过正像APB自己意识到的那样，量变导致质变，极限序数是一种质变。所以通俗地说，自然数趋于无穷就不再是自然数了。

APB先生

看过了121和122楼的贴文，感觉一时消化不出个所以然来，慢慢消化着；也看过关于超限数理论的书，也忘光了。但是我认为：越是高深复杂的理论，越容易产生问题和错误；且还不容易察觉或发现。对于 2+3=6 和 2+3=5 ，人们一眼就可以看出 2+3=6 是错的， 2+3=5 是对的；而对于 (1+2^3^4)+(2+3^4^5)= ?,就很难一眼看出等于多少是对，等于多少是错。我认为：
无论过去，现在和将来，无论康托尔，elimqiu 和其他任何人的任何高深理论，都永远推翻或否定不了如下事实：如果确定写在小数点“.”左侧的数为自然大数，写在小数点“.”右侧的数为自然小数的话，则任何一个确定的自然小数 0.abcde……k…… 都可以按照我一楼的反写方式写为一个确定的自然大数 ……k……edcba.0，并都可以成立它们的一一对应：
                    0.abcde……k…… ←→……k……edcba.0
                     ……k……edcba.0←→0.abcde……k……
（abcde……k 中的 10 个英文字母各自代表十进制中的 0,1,2,3，……，9之一）
因此证明了自然大数与自然小数是元素一样多的二个无穷集，它们要么都可数，要么都不可数；
进而证明了康托尔的百年集合论存在重大错误。集合论认为：（0，1）的全体实数不可数，不可与全体自然数一一对应；而事实是完全可以一一对应。全体小数共包含：有限小数，无限循环小数和无限不循环小数；与此对应的是全体自然数共包括：有限自然数，无限循环自然数和无限不循环自然数。

elimqiu

下面引用由APB先生在 2011/05/06 08:25pm 发表的内容：
何以证明 ……3333.0 没有任何意义？ ……3333.0 毕竟是小数 0.3333……经过某种转换后所得到的惟一与之对应的正整数。

……3333.0 毕竟是小数 0.3333……经过某种转换后所得到的惟一与之对应的表达式.这个表达式并不表示一个正整数。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
123楼的对应没有错。错的是‘无限小数对应正整数’，以及基于它的推论。

APB先生

一个无限小数对应一个无限整数，一个无限循环小数对应一个无限循环整数，一个无限不循环小数对应一个无限不循环整数。……3333.0 代表一个无限循环整数，它对应的无限循环小数是 0.3333……：
                     ……3333.0 ←→ 0.3333……

elimqiu

这种‘无限整数’不是数：既不能比大小，又不能参与运算。
这种‘无限整数’更不满足 peano 公理， 因此它们不是自然数。 自然数集合的可数性与这种东西全体的不可数性相容得很好。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
参见
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=12049&start=24&#35;30

APB先生

下面引用由elimqiu在 2011/05/16 01:51pm 发表的内容：
这种‘无限整数’不是数：既不能比大小，又不能参与运算。
这种‘无限整数’更不满足 peano 公理， 因此它们不是自然数。 自然数集合的可数性与这种东西全体的不可数性相容得很好。

这种无限整数是与无限小数一一对应的！无限小数能比大小，无限整数就也能比大小；无限小数能参与运算，无限整数就也能参与运算！况且，判定二个无限集的大小，是根据二个无限集的全部元素是否可以一一对应？而与集内元素的大小和能否参与运算无关。无限整数就是 peano 公理的无限后续数，因此它们都是自然数。全体自然数集合与（0,1）的全体小数集合的元素一一对应的很好。因此它们都是可数的。

elimqiu

下面引用由APB先生在 2011/05/16 09:34pm 发表的内容：
这种无限整数是与无限小数一一对应的！无限小数能比大小，无限整数就也能比大小；无限小数能参与运算，无限整数就也能参与运算！况且，判定二个无限集的大小，是根据二个无限集的全部元素是否可以一一对应？而与集内元素的大小和能否参与运算无关。无限整数就是 peano 公理的无限后续数，因此它们都是自然数。全体自然数集合与（0,1）的全体小数集合的元素一一对应的很好。因此它们都是可数的。

你的一一对应并不保序保运算。换言之，小数的运算，序关系和这种‘无穷大整数’能不能有自洽的运算，大小关系没有逻辑关系。事实上，正如我们已经发现的那样，没有本法将有限整数的运算，序关系相容地推广到无穷整数上去。所以拿小数说事无效。
既然这种‘无穷大整数’不是自然数，他们与(0,1)一一对应并不表示(0,1)跟自然数全体一一对应。所以谈 (0,1)的‘可数性’没有根据。

APB先生

我的一一对应是保序的，是良序的；全体自然数集合的小元素对应（0,1）全体小数集合的大元素，全体自然数集合的大元素对应（0,1）全体小数集合的小元素，……。如果拿小数说事无效，则早在100年前康托尔拿 (0,1) 说不可数性，说连续统早已无效了。
按照“两分法”，自然数列{1，2，3，……}可以分为有限自然数列{1，2，3，……，N}和无限自然数列{1，2，3，……，N，……}；在有限自然数列{1，2，3，……，N}中有最小元 1 ，存在最大元 N ；在无限自然数列{1，2，3，……，N，……}中存在最小元 1 ，但不存在最大元。在无限自然数列{1，2，3，……，N，……}中，无论其全体元素的个数即基数变得多么多，也无论其每一个元素 N 的绝对值变得多么大，{1，2，3，……，N，……}中元素还是自然数。我所谓“量变到质变”，是指 N 的绝对值可以从小变大，可以从有限大的变化到无限大。

elimqiu

下面引用由APB先生在 2011/05/17 07:07am 发表的内容：
我的一一对应是保序的，是良序的；全体自然数集合的小元素对应（0,1）全体小数集合的大元素，全体自然数集合的大元素对应（0,1）全体小数集合的小元素，……。如果拿小数说事无效，则早在100年前康托尔拿 (0,1)  ...

何以见得呢？一厢情愿罢了。