证明：1^2+2^2+…+x^2=N^2有且仅有一个整解。

任在深

蒙氏的方法！

moranhuishou

下面引用由liudan在 2011/09/16 08:07pm 发表的内容：
moranhuishou 先生：
你好！
请教一个问题。对于：
N^2 = x^2 + y^2，
若 x 不是整数，则 N 是整数么？

若 x 不是整数， N 应该也可以是整数也可以不是整数。

任在深

[这个贴子最后由任在深在 2011/09/16 09:02pm 第 1 次编辑]

下面引用由liudan在 2011/09/16 08:09pm 发表的内容：
“蒙氏的方法！”
————————————————
任在深 先生：
你好！
...

   完全可以不是整数！
       但是目前仅此一例！
      1²+2²+，，，+Y²= Y(Y+1)(2Y+1)/6=N²
    即
        Y/6=A²，Y+1=B²,2Y+1=C²
    所以
        （1） Y=6A²,  A=1,2,3,,, 用穷谒法分别把 1，2，3，，，代入（1）式：
      1.A=1,
        Y=6
        Y+1=6+1=7
       2Y+1=12+1=13
      2.A=2
        Y=6*4=24
        Y+1=24+1=25=5²
        2Y+1=48+1=49=7²
   因此 A²=2²,B²=5²,C²=7² 符合题意！
                              X(X+1)(2X+1)   6*2²*5²*7²
   即 1²+2²+，，，+（Y-1）²+Y²=--------------=---------- =(2*5*7)²=70²=N²
                                    6            6
   令 X²=1²+2²+,,,+(Y-1)²
          _____   _______    ____
  则  X=√N²-Y² =√70²-24² =√4324 ,显然X不是整数！
  
    验算  X²+Y²=N²
           ____
        (√4324)²+24²=4324+576=4900=70².
  证毕。
   

moranhuishou

下面引用由liudan在 2011/09/16 08:32pm 发表的内容：
“若 x 不是整数， N 应该也可以是整数也可以不是整数。”
感谢！
再请教一个问题。对于：
N^2 = x^2 + y^2，
...

三个未知数是等价的:
若其中一个不是整数，另一个是整数，则第三个也可以是整数也可以不是整数.

moranhuishou

为了真理，欢迎继续质疑。

尚九天

下面引用由moranhuishou在 2011/09/17 11:06am 发表的内容：
为了真理，欢迎继续质疑。

有胆识！   (“子龙浑身皆是胆也！”---- 刘备)

moranhuishou

下面引用由尚九天在 2011/09/18 04:07pm 发表的内容：
有胆识！   (“子龙浑身皆是胆也！”---- 刘备)

谢谢！
因为同样是世界难题，不能厚彼薄此，所以也和前面的一样，谁能将此证明推翻悬赏九万元（因为不太著名，少点哈）！

尚九天

下面引用由moranhuishou在 2011/09/18 04:13pm 发表的内容：
谢谢！
因为同样是世界难题，不能厚彼薄此，所以也和前面的一样，谁能将此证明推翻

悬赏九万元                   （因为不太著名，少点哈）！

不少不少，绝对不少，要是买桃，这辈子吃不了。

moranhuishou

[这个贴子最后由moranhuishou在 2011/09/18 10:22pm 第 2 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2011/09/16 11:07am 发表的内容：
题  求满足方程 y^2-2xy-x^2(x-1)＝0 的所有的非负整数解。
   已知这个方程有下列两组解：x＝0 ，y＝0 和 x＝4 ，y＝12 。
解  下面我模仿 moranhuishou 的做法和说法：
   问题就变成了分解这个方程 y^2-2xy-x^2(x-1)＝0 ，分解式就是：
   （y+x)（y-3x)＝0　
这就是方程的分解式，这个分解式是唯一的，即不可能再有另外的不同的分解式存在了。
你可以这样简单的分析：
所谓分解式，就是必须满足方程的所有解的方程式，所以首先就必须满足已知解
例如 x＝0 , x＝4 时的解，而这个分解式就满足已知解。
假如还有另外的不同的分解式存在，那么它首先就不能满足已知解，也就是它不能满足所有解，
所以，这个另外的分解式是不可能存在的！
   请问 moranhuishou ：上面这样做法和说法是否正确？
   是不是就可以推导出这个方程只有这两组解，没有其他解了？

下面引用由moranhuishou在 2011/09/16 02:09pm 发表的内容：
以子之矛攻子之盾——我也觉得这确实是个很好的辩论方法，事实上陆先生的这个质疑也确实比前面那几个要“给力”的多，看来陆先生是下了点功夫的——因为我看了好一会儿——不过还好，终于还是看出点端倪来了，先 ...

关于陆教授的这个质疑帖子，我上面的回复有点简单了，现在补充如下：

“这个方程 y^2-2xy-x^2(x-1)＝0 ，
分解式就是：
（y+x)（y-3x)＝0　”
这句话是没有根据的，因为由x＝4 ，y＝12 并不能就推出这个结果。
应为：   
方程
y^2-2xy-x^2(x-1)＝0
当
a+b=2x
ab= -x^2(x-1)
方程有整解。
很显然，x若是平方数则x-1可以分解，设x=n^2
则a+b=2n^2
ab= -n^2*n^2(n^2-1) = -n^2*n^2(n+1)(n-1)
a=(n+1) n^2
b=-(n-1) n^2
方程的分解式为
[y-(n+1)n^2][y+(n-1)n^2]=0

moranhuishou

[color=#A52A2A] 重要说明：
首页4楼的证明综合各方质疑意见，做了重要的完善修改，已剔除了所有的“瓜田李下”，使证明更加简捷清晰，现敬呈各位老师审阅。
在此一并向所有参予讨论网友表示衷心致谢！