[原创]k生素数群的数量公式

费尔马1

yangchuanju老师您好:
这些日子学生我非常感谢您的，因为你很重视我的题目，您解题也累了！就休息一下吧！
我的反证法证明有关素数的命题，学生我认为是正确的，您看看，我顶的帖子《程氏学生再论欧老前辈》最近无人回复了！原因是什么呢？要我看，就是因为没有人能回答我的问题①②③

yangchuanju

总算明白了一点
白新岭老师从1280楼开始，先后贴出了三元一次、四元一次不定方程，其三元一次不定方程是x+y+z=2n-1，四元一次不定方程是x+y+z+s=N，两个不定方程的系数都是1，解的要求是与30互素的正整数。
三元一次不定方程的常数项2n-1为奇数，三个与30 互素的奇数相加为奇数；四元一次不定方程的常数项是偶数，四个与30互素的奇数相加是偶数。
本来这是两个非常简单的不定方程，由于我不熟悉不定方程，现从网上搜索一点不定方程的知识，也是一知半解。尽管白新岭老师一再提醒，我还是不理解。
1280楼开头老师即交代：
“用模30的互质数求x+y+z=2n+1的解组。n为正整数。
一周        二周        三周c        三周之和2a
0        30        9        39
1        13        12        26
0        18        18        36
0        36        3        39
3        13        10        26
0        30        9        39
3        36        0        39
6        12        6        24
0        36        3        39
9        30        0        39
10        13        3        26
3        36        0        39
18        18        0        36
12        13        1        26
9        30        0        39
一周与三周互为倒序，二周自对称。”
前三列数字是什么？如何得来？老师没有明讲。我花了好几天总算明白了，并亲手求出了这三列数字。它们分别是用3个互素数1,7,11,13,17,19,23,29相加能够得到1,3,5……29；31……59；61……89的特解的组数。
接下来，表中的t=2、t=3、t=4三列数字又是什么？怎么得来？
奇数        t=2        t=3        t=4
1        30        99        207
3        16        57        124
5        18        72        162
7        36        111        225
9        22        67        138
11        30        99        207
13        45        126        246
15        30        78        150
17        36        111        225
19        57        144        270
21        43        102        187
23        45        126        246
25        72        162        288
27        49        112        201
29        57        144        270
我一直迷惑不解，直到今天才明白。
t=2、t=3、t=4三列数字分别是用3个互素数1,7,11,……59、1,7,11,……89、1,7,11,……119相加能够得到31……59、61……89、91……119的特解的组数。
由于三个加数不相同，所以同是二周（31-59）的特解个数是不同的，前一组的三个加数是1,7,11，……29；后一组的三个加数是1,7,11，……59。
上述各种工况下的特解组数，白老师是用公式直接计算的，我是列表逐个计算的。

yangchuanju

下面是用3个1-90中的与30互素数和表示的1-270中的奇数特解数表：
奇数        个数        奇数        个数        奇数        个数
1        0        91        207        181        144
3        1        93        121        183        112
5        0        95        162        185        162
7        0        97        225        187        126
9        3        99        129        189        102
11        0        101        207        191        144
13        3        103        237        193        111
15        6        105        132        195        78
17        0        107        225        197        126
19        9        109        243        199        99
21        10        111        157        201        67
23        3        113        237        203        111
25        18        115        234        205        72
27        12        117        165        207        57
29        9        119        243        209        99
31        30        121        264        211        57
33        16        123        169        213        49
35        18        125        234        215        72
37        36        127        270        217        45
39        22        129        169        219        43
41        30        131        264        221        57
43        45        133        270        223        36
45        30        135        156        225        30
47        36        137        270        227        45
49        57        139        264        229        30
51        43        141        169        231        22
53        45        143        270        233        36
55        72        145        234        235        18
57        49        147        169        237        16
59        57        149        264        239        30
61        99        151        243        241        9
63        57        153        165        243        12
65        72        155        234        245        18
67        111        157        237        247        3
69        67        159        157        249        10
71        99        161        243        251        9
73        126        163        225        253        0
75        78        165        132        255        6
77        111        167        237        257        3
79        144        169        207        259        0
81        102        171        129        261        3
83        126        173        225        263        0
85        162        175        162        265        0
87        112        177        121        267        1
89        144        179        207        269        0
合计        2270        ——        9284        ——        2270
不对之处请老师指正！

yangchuanju

白新岭老师在1280-1281楼根据其它方法求得的在第2,3,4周（30-60-90-120）中用3个与30互素的互素数之和表示的三元一次不定方程x+y+z=1,3,5,……29的特解个数，代入公式a*t^2+b*t+c=“特解个数”，得到了对应的系数a,b,c；意图利用该公式计算第5,6……周，常数项2n-1等于31,33,35……时三元一次不定方程x+y+z=2n-1特解组数。
帖子中没有给出公式的来历，只在1285楼给出了周期t=101，2n-1=3001,3003……3029时的特解个数196050,130201……197859。t值太大，没法验证；出于对此公式的正确性有怀疑的想法便想找几个小t验证一下。
代入《用3个1-90中的与30互素数和表示的1-270中的奇数特解数表》和《用3个1-120中的与30互素数和表示的1-360中的奇数特解数表》中的数据验证不正确。
此后又将我的“特解数表”扩大到“用3个1-150中的与30互素数和表示的1-450中的奇数特解数”和“用3个1-180中的与30互素数和表示的1-540中的奇数特解数”，分别摘其中的第5周期（常数项121-129）、第6周期（常数项151-179）数据，与利用公式a*t^2+b*t+c计算的个数相同。
小范围验证，利用公式计算的特解个数正确！

yangchuanju

附：用3个1-180中的与30互素数和表示的1-540中的奇数特解数表：
奇数        个数        奇数        个数        奇数        个数
1        0        91        207        181        765
3        1        93        124        183        478
5        0        95        162        185        648
7        0        97        225        187        801
9        3        99        138        189        498
11        0        101        207        191        765
13        3        103        246        193        831
15        6        105        150        195        492
17        0        107        225        197        801
19        9        109        270        199        855
21        10        111        187        201        568
23        3        113        246        203        831
25        18        115        288        205        828
27        12        117        201        207        588
29        9        119        270        209        855
31        30        121        354        211        939
33        16        123        217        213        604
35        18        125        288        215        828
37        36        127        378        217        963
39        22        129        235        219        616
41        30        131        354        221        939
43        45        133        405        223        981
45        30        135        246        225        588
47        36        137        378        227        963
49        57        139        435        229        993
51        43        141        298        231        658
53        45        143        405        233        981
55        72        145        450        235        936
57        49        147        316        237        670
59        57        149        435        239        993
61        99        151        540        241        1035
63        57        153        336        243        678
65        72        155        450        245        936
67        111        157        570        247        1047
69        67        159        358        249        682
71        99        161        540        251        1035
73        126        163        603        253        1053
75        78        165        366        255        636
77        111        167        570        257        1047
79        144        169        639        259        1053
81        102        171        435        261        696
83        126        173        603        263        1053
85        162        175        648        265        972
87        112        177        457        267        700
89        144        179        639        269        1053
合计        2270        合计        16094        合计        36932
常数项（奇数）等于271-539时的特解个数与常数项等于269--1时呈倒排时相等，从略。

白新岭

yangchuanju 发表于 2021-2-6 07:40
白新岭老师在1280-1281楼根据其它方法求得的在第2,3,4周（30-60-90-120）中用3个与30互素的互素数之和表示 ...

不过几天的时间，yangchuanju先生已经进入状态，并取得巨达进步。这种学习速度已经非常惊人了。我在数年反复摸索中找到问题的解答方案的。

yangchuanju

在对白新岭老师的三元一次不定方程x+y+z=2n-1进行复核以后，昨又对老师的四元一次不定方程x+y+z+s=2n进行了复核。
四元一次不定方程解的条件仍然限制为与30互素的正整数，不用列出解的具体组成，只求出解的组数即可。
经对1286—1290楼各贴复核，帖子中的数据正确，但有个别用词错误，如1289楼中的“第四周”应为“d”；帖子有重复或部分重复，如1286、1287两贴，实际上就是一贴，把1286贴的最后一行移到1287贴后删除1286贴即可。又1289贴本应在1288贴的右部，只因为版面的问题被迫分成两贴。

仿《用3个1-30中的与30互素数和表示的1-90中的奇数特解数表》等6张表，重做了4张《用4个1-30中的与30互素数和表示的1-120中的偶数特解数表》、《用4个1-60中的与30互素数和表示的1-240中的偶数特解数表》、《用4个1-90中的与30互素数和表示的1-360中的偶数特解数表》、《用4个1-120中的与30互素数和表示的1-480中的偶数特解数表》，以下分别贴出。

yangchuanju

用4个1-30中的与30互素数和表示的1-120中的偶数特解数表：                                                       
偶数        个数        偶数        个数        偶数        个数        偶数        个数
2        0        32        80        62        144        92        31
4        1        34        44        64        170        94        40
6        0        36        60        66        240        96        6
8        0        38        124        68        111        98        20
10        4        40        60        70        180        100        16
12        0        42        120        72        186        102        0
14        4        44        161        74        80        104        10
16        10        46        80        76        161        106        4
18        0        48        186        78        120        108        0
20        16        50        180        80        60        110        4
22        20        52        111        82        124        112        0
24        6        54        240        84        60        114        0
26        40        56        170        86        44        116        1
28        31        58        144        88        80        118        0
30        24        60        264        90        24        120        0
合计        156        合计        2024        合计        1784        合计        132

yangchuanju

用4个1-60中的与30互素数和表示的1-240中的偶数特解数表：                                                       
偶数        个数        偶数        个数        偶数        个数        偶数        个数
2        0        62        464        122        1308        182        268
4        1        64        352        124        1357        184        330
6        0        66        480        126        1704        186        264
8        0        68        607        128        1242        188        191
10        4        70        444        130        1388        190        244
12        0        72        666        132        1596        192        186
14        4        74        748        134        1168        194        120
16        10        76        541        136        1312        196        177
18        0        78        864        138        1464        198        120
20        16        80        876        140        1112        200        76
22        20        82        688        142        1208        202        124
24        6        84        1056        144        1326        204        60
26        40        86        964        146        988        206        48
28        31        88        842        148        1087        208        80
30        24        90        1224        150        1224        210        24
32        80        92        1087        152        842        212        31
34        48        94        988        154        964        214        40
36        60        96        1326        156        1056        216        6
38        124        98        1208        158        688        218        20
40        76        100        1112        160        876        220        16
42        120        102        1464        162        864        222        0
44        177        104        1312        164        541        224        10
46        120        106        1168        166        748        226        4
48        186        108        1596        168        666        228        0
50        244        110        1388        170        444        230        4
52        191        112        1242        172        607        232        0
54        264        114        1704        174        480        234        0
56        330        116        1357        176        352        236        1
58        268        118        1308        178        464        238        0
60        360        120        1776        180        360        240        0
合计        2804        合计        30852        合计        29436        合计        2444

yangchuanju

用4个1-90中的与30互素数和表示的1-360中的偶数特解数表：                                       
偶数        个数        偶数        个数        偶数        个数
2        0        62        464        122        2844
4        1        64        356        124        2583
6        0        66        480        126        3384
8        0        68        607        128        3174
10        4        70        460        130        2900
12        0        72        666        132        3780
14        4        74        764        134        3492
16        10        76        581        136        3096
18        0        78        864        138        4176
20        16        80        940        140        3800
22        20        82        768        142        3396
24        6        84        1080        144        4554
26        40        86        1124        146        3924
28        31        88        966        148        3693
30        24        90        1320        150        4920
32        80        92        1407        152        4134
34        48        94        1176        154        3972
36        60        96        1566        156        5040
38        124        98        1704        158        4332
40        76        100        1400        160        4244
42        120        102        1944        162        5256
44        177        104        2004        164        4503
46        120        106        1608        166        4296
48        186        108        2340        168        5454
50        244        110        2300        170        4676
52        191        112        1926        172        4413
54        264        114        2736        174        5616
56        330        116        2517        176        4584
58        268        118        2256        178        4512
60        360        120        3120        180        5784
合计        2804        合计        41444        合计        124532
常数项（偶数）等于182-358时的特解个数与常数项等于178--2时呈倒排时相等，从略。                                       
常数项180时的解的个数是5784，为对称中心；常数项等于0和360时解的个数都是0。