本原勾股方程

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-4-28 08:09
求：\(2x^2 - 3y^2=2\) 的通解公式，

\[\{x,y\}=\{\left\lceil \frac{1}{2} \left(5+2 \sqrt{6}\right)^{n-1}\right\rceil,\left\lfloor \frac{\left(5+2 \sqrt{6}\right)^{n-1}}{\sqrt{6}}\right\rfloor\}\]

蔡家雄

等差勾股方程

设 \(p\) 的素因子均为 \(8k -1\) 型 或是 \(8k+1\) 型，

且 \(a\) 与 \(p\) 互素，

则 \(a^2+(a+p)^2=c^2\) 是 本原勾股方程。

若 \(p\) 有 \(t\) 个不同的素因子，

则 \(a^2+(a+p)^2=c^2\) 有 \(2^t\) 组通项公式。


求 \(a^2+(a+p)^2=c^2\) 的本原勾股数通项公式

设 \(x , y\) 为正整数，且 \(x < y\) ，且 \(x\) 与 \(y\) 互素，

求 \(Abs[y^2 - x^2 - 2*x*y] =p\) 的最小 \(2^t\) 组正整数解，

设 \(x_1 , y_1\) 表示 每组的最小正整数解，

设 \(R_1=x_1 , R_2=y_1 ,  R_{n+2}= 2*R_{n+1}+R_n\) , 得 \(2^t\) 组\(R_n\)数列，

设 \(v , u\) 是 \(R_n\) 数列中连续的两项，

则 \((u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2 \)

是 两直角边相差\(p\) 的本原勾股数。


由 \((y^2 - x^2)^2+(2xy)^2=(y^2+x^2)^2\) ,

设 \(x , y\) 为正整数，且 \(x < y\)，且 \(x\) 与 \(y\) 互素，

求 \(Abs[y^2 - x^2 - 2xy] =2023\) 的 \(2^2\) 组 \(( x , y )\) 的通解公式，

即 两直角边相差 \(2023\) 的本原勾股方程的通解公式。

\(v , u\) 是 \(A_{n}=\frac{(64 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(v , u\) 是 \(B_{n}=\frac{(88 - 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 + 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(v , u\) 是 \(C_{n}=\frac{(64 + 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 - 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

\(v , u\) 是 \(D_{n}=\frac{(88 + 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 - 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，

则 \((u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2 \)

是 两直角边相差\(2023\) 的本原勾股数。

cz1

！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！