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春风晚霞 坚持的等式1=0.999……是错误的。事实上，现行的《初等代数研究》教科书上册 87页提出了“称十进小数α=a0.a1a2……an…… 为实数[10]”的定义是概念混淆的定义。 事实上，这个定义中说的十进小数是以有尽位十进小数为项的无穷数列的简写，这个无穷数列是以自然数n为变数的无穷数列性质的变数而不是定数。
具体讲来，无尽小数有无尽循环与无尽不循环小数两种， 前者是从除不尽的分数得到的针对误差界数列{1/10^n}不足近似值的无穷数列，例如对除不尽的分数1/3, 由于1被3除永远除不尽，只能逐步得到针对误差界数列{1/10^n}不足近似值的无穷数列 0.3，0.33，0.333，……这个数列可以简写为0.333……，并称它为无尽循环小数，它的趋向性极限值才是分数1/3,但它本身永远小于1/3,不等于1/3，现行教科书的等式 0.333……=1/3 是把“趋向看做到达”的概念混淆性的错误等式。 对于无尽不混还小数存在与此类似的概念混淆，例如无理数√2 表示的对2的平方根，具有永远算不到底的性质，这个开方运算只能逐步得到：针对误差界数列{1/10^n}不足近似值的无穷数列1.4，1.41，1.414，……，这个数列可以简写为1.41421356……，这个数列的趋向性极限才是√2，但这个无尽不循环小数永远不等于√2。同理√3的无尽小数表达式1.732……永远不等于√3 ，它只是√3 的不足近似值无穷数列1.7，1.73，1.732，……的简写。总合起来，笔者称有理数与无理数都是理想实数，无尽小数为对应理想实数的针对误差界数列{1/10^n}全能不足近似值的无穷数列的简写；再根据“无穷无有穷尽、无有终了的事实”、无尽小数都具有永远算不到底、写不到底的性质，所以，对除不尽的分数与无理数都需要提出十进小数近似表达式。
对于圆周率π，它也是一个理想实数，它表示直径为1的圆周长。根据“直与曲的对立统一法则”可以将 将圆周等分为为6×2^m 等分之后，使用三角函数公式与半角公式算出的内接、外切多边形周长的数列，首先当m=0时，将圆周等分六等分，每一等分对应圆心角为60度 ，使用半角正弦、正切数值，得到圆内接、外切正六边形周长的准确到 的数字都是3。当m增大时，就会得到圆周率的准确到位数增多的十进小数近似值，例如，取m=18,,即将圆周分为1572864等分，计算出半圆心角正弦、正切后，得到圆内接、外切正六边形周长的准确到1/10^10 的数字都是3.1415926535 ；电子计算机问世以后，法国人计算到50万位数字，茅以升在《十万个为什么》中指出“50万位小数完了吗？没完。永远算不完的，这是个‘无尽’”的数啊！”，这说明：这个全能不足近似值的无穷数列具有永远算不到底的性质，但这个数列可以可以写作：3.1，3.14，3.141，……的以十进小数为项的康托尔实数定义中的基本数列；虽然这个数列可以叫做无尽不循环小数，但它是数列性质的变数，它不能等于 π，它的趋向性极限才是圆周率π 。这种叙述就消除了布劳威尔反例，改善了实数理论。 |
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发表于 2022-4-9 10:14
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