推翻数学大厦的蚂蚁问题

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-19 06:21
elim先生，
       你证明过【对一切n, 1/n 不等于0，所以当趋于无穷时，1/n 也不等于0】吗？在127数 ...

先生认为 【当 n趋于无穷时，1/n = 0】与 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\) 是一个意思．
我认为 \(\small\dfrac{1}{n}\to 0\;(n\to\infty)\) 与\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\) 是一个意思，但不认可 \(\small\dfrac{1}{n}= 0\;(n\to\infty)\)
这种说法．先生认为趋于无穷的n不是正整数了，其倒数可以是0了，而且这叫讲理，我不在乎．也不以为然．

非零无穷小不是实数，因为不满足阿基米德性．

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-19 14:24
先生认为 【当 n趋于无穷时，1/n = 0】与 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\) 是一个意思 ...

       拜托先生先审察127楼的帖子，烦您指出我对无穷大(∞)及n→∞的认知。也请先生审察命题：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)，则n→∞时\(\tfrac{1}{n}=0\)是不是同义反复！为方便先生审察，春风晚霞把127楼帖文附后：

【附】127楼帖文

二、Weierstrass 的ε—N极限定义语境正是现代《数学分析》语境
       现代《数学分析》不可避免要对无穷大(∞)和极限展开讨论。因为在人类的数学实践中，离开极限方法是根本不可能完成对有关无穷计算和论证。如用有限范围内的求和方法计算无穷级数的和，必然遭遇曹俊云先生所说的“写不到底、算不到底”的尴尬。
       1、无穷的概念
       菲赫金哥尔茨《微积分学教程》是这样定义无穷大的：
     【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大（参见菲赫全哥尔茨《微积分学教程》四卷八册版笫一卷，第一分册P37页；及其《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)
       不难看出无穷大是相对于预先给定的任意大数E>0的集合，\(\{n｜n>N_E，n∈N\}\). 为应用方便我们把这个集合记为\(\mathbb{N}_∞\)。根据E的任意性和皮亚诺公理（Peano axioms)，我们不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)。
       2、n→∞的诠释
       因为∞是一个集合概念，所以n和∞的关系只能是n∈\(\mathbb{N}_∞\)(即n→∞)和\(n\notin\mathbb{N}_∞\)\(即(n\nrightarrow ∞)\)两种情况。
      3、自然数集\(N=\{n｜n≤N_E，n∈N\}\)\(\bigcup\)\(\{n｜n>N_E，n∈N\}\)（\(N_E\)与预先给定的任意大的数E相关。该命题本帖证明从略)
      4、Weierstrass 的ε—N数列极限定义，
       【定义:】对于数列\(\{a_n\}\)和常数a，如果对于每一个预先给定的任意小的正数 ε，总存在自然数\(N_ε\)，当n>\(N_ε\)时，恒有| \(a_n- a\) |＜ε，则称常a为数列\(\{a_n\}\)的极限.记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\).(参见同济大学《高等数学》第七版P20页)。
       随例1：证明常数列\(\{a_n\}\)\(通项a_n=a(a为常数)\)的极限\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\).
       【证明】：因为对任给的ε>0，存在N=1，当n>N时恒有|\(a_n\)-a |=| a-a |=0<ε. 所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)。【证毕】
       随例2、证明数列\(\{\tfrac{1}{n}\}\)的极限是0 .
      【证明】：对任意预先给定的、无论怎样小的ε>0，存在\(N_ε\)=\([\tfrac{1}{ε}]+1\)，当n>\(N_ε\)时，恒有｜\(\tfrac{1}{n}-0\)｜=\(\tfrac{1}{n}\)<\(\tfrac{1}{[\tfrac{1}{ε}]+1}\)<\(\tfrac{1}{\tfrac{1}{ε}}\)=ε. 所以数列\(\{\tfrac{1}{n}\}\)的极限是0. 即\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)【证毕】。

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-19 12:59
拜托先生先审察127楼的帖子，烦您指出我对无穷大(∞)及n→∞的认知。也请先生审察命题：若\(\di ...

审查什么啊，徐氏达到的陈述根本没有对应的英文。在英文里只有 \(\frac{1}{n}\) tends (goes) to \(0\) as \(n\) goes to \(\infty\).

所以徐氏达到的陈述的徐氏解读就是 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=a\), 而你更乐见 \(a_n=a (n\to\infty)\), 喜欢去掉 \(\lim\) 号，
这种省略导致你和青山，jzkyllcjl  没完没了的争吵。大多数人厌烦这种说法，觉得又含糊又容易误导。所以扬弃了之。你不以为然，我不在乎。

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-19 23:21
审查什么啊，徐氏达到的陈述根本没有对应的英文。在英文了只有 \(\frac{1}{n}\) tens (goes) to \(0\) as ...

那就算了吧，您认同范曹的观点，我反对范曹的观点。既然您我各持己见，我看确实没有必要争论下去。“春雨如膏，滋生万物，农夫喜其润泽，行人恶其泥泞；秋月如镜，普照四方，佳人喜其玩赏，盗贼恨其光辉。”众议相悖，何碍春雨、秋月乎？至于我与范氏的争执莫完莫了，难道这也是我的错？您与曹老头争执的时间就有完有了了吗？

elim

对么，徐氏可达被扬弃，总有道理的。方言，粗口层次的东西。去掉一身轻。不去掉也 ok.

只要不是说存在无穷多 n 使 \(a_n = \displaystyle\lim_{k\to\infty}a_k\) 就好。

jzkyllcjl

我看了菲赫金哥尔茨《微积分学教程》一卷一分册37页23 整序变量的极限，其中说道："lim n→∞  xn=a, ,……，我们也说变量xn趋于a".
根据这个定义，就有无穷数列An=数列∑1/2^i (i从1到n)=（2^n-1）/2^n 趋向于1，但由于自然数n永远达不到∞,,所以，这个An永远达不到1。这个事实是形式逻辑推翻不了的。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2023-12-20 00:41
我看了菲赫金哥尔茨《微积分学教程》一卷一分册37页23 整序变量的极限，其中说道："lim n→∞  xn=a, ,…… ...

曹老头;
       请你用画图软件，在一像限内画出函数\(y=\tfrac{1}{2^x}\)图像，看看是不是一定要等到x→∞时，曲线\(y=\tfrac{1}{2^x}\)才与x轴重合？看看是不是存在无穷多个K使\(\displaystyle\lim_{k \to \infty}\tfrac{1}{2^k}=0\)成立！

elim

\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}=\lim_{m\to\infty}(1-\frac{1}{2^m})=1\) 是 jzkyllcjl 推翻不了的。
同理 \(0.999\ldots = 0.\dot 9=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{9}{10^n}=\lim_{m\to\infty}(1-10^{-m})=1\)
也是 jzkyllcjl 推翻不了的-

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-20 00:13
对么，徐氏可达被扬弃，总有道理的。方言，粗口层次的东西。去掉一身轻。不去掉也 ok.

只要不是说存在无 ...

elim先生
     请您用绘图软件，在一像限内画出函数\(y=\tfrac{1}{100^{20x}}\)图像，看看是不是一定要等到x→∞时，曲线\(y=\tfrac{1}{100^{20x}}\)才与x轴重合？看看是不是存在无穷多个K使\(\displaystyle\lim_{k \to \infty}\tfrac{1}{100^{20k}}=0\)成立！由此请先生斟酌是否扬弃徐氏可达！

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2023-12-20 02:04
elim先生
     请您用绘图软件，在一像限内画出函数\(y=\tfrac{1}{100^{20x}}\)图像，看看是不是一定 ...

春风晚霞：y=1/100^20k 永远不等于0，它只能随着k的无限增大，二接近于0