一题 \(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\) 多解

ysr

蔡家雄 发表于 2025-3-27 12:56
求 \(x^2 - 338*y^2= -1\) 的正整数解，，

x=239  y=13
x=54608393  y=2970305

5.375

Treenewbee

ysr 发表于 2025-3-27 22:30
x=239  y=13
x=54608393  y=2970305

\[x_n=\left\lfloor \frac{1}{2} \left(169 \sqrt{2}-239\right) \left(80782 \sqrt{2}+114243\right)^n\right\rfloor\]

Treenewbee

ysr 发表于 2025-3-27 22:30
x=239  y=13
x=54608393  y=2970305

\[y_n=\left\lceil \frac{\left(169 \sqrt{2}-239\right) \left(80782 \sqrt{2}+114243\right)^n}{2 \sqrt{338}}\right\rceil\]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-28 08:31
求 \(x^2 - 2738*y^2= -1\) 的正整数解，，

\[x_n=\left\lfloor \frac{1}{2} \left(6625109 \sqrt{2}-9369319\right) \left(124145519261542 \sqrt{2}+175568277047523\right)^n\right\rfloor\]

ysr

蔡家雄 发表于 2025-3-28 00:31
求 \(x^2 - 2738*y^2= -1\) 的正整数解，，

x=9369319  y=179057

5.394531

蔡家雄

A031396 数据 无4k+3 的素因子，此方程 存在 正整数解，

A031396 Numbers m such that Pell equation x^2 - m*y^2 = -1 is soluble.

2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, 101, 106, 109, 113, 122, 125, 130, 137, 145, 149,

157, 170, 173, 181, 185, 193, 197, 202, 218, 226, 229, 233, 241, 250, 257, 265, 269, 274, 277, 281, 290, 293, 298 , ...

A031397 数据 无4k+3 的素因子，此方程 存在 正整数解，

A031397 Nonsquarefree m such that Pell equation x^2 - m*y^2 = -1 is soluble.

50, 125, 250, 325, 338, 425, 845, 925, 1025, 1250, 1325, 1445, 1450, 1525, 1625, 1682, 1825, 1850, 2050, 2125, 2197, 2425,

2725, 2738, 2825, 2873, 2890, 3050, 3125, 3250, 3425, 3625, 3725, 3925, 4250, 4325, 4394, 4625, 4825, 4901, 4913 , ...

这表明：m=2*13^2=338 有解，，m=2*37^2=2738 有解，，

这表明：m=13*13*13=2197 有解，，m=17*17*17=4913 有解，，

ysr

蔡家雄 发表于 2025-3-28 10:52
同时有解现象，同时无解现象，

若 \(x^2 - (2*17)*y^2= -1\) 无解，则 \(x^2 - (2*17^2)*y^2= -1\) 无解 ...

x^2-74y^2=-1有解
x=43  y=5
x=318157  y=36985

0.539062秒是1000 0000 内的解

x^2-2738y^2=-1有解：
x=9369319  y=179057

5.40625秒是10000 0000 内的解

蔡家雄

若 \(4k+1\) 和 \(4k+1+2^{2t+1}\) 都是质数，其中 \(t>=1\) ，

则 \(x^2 - (4k+1)(4k+1+2^{2t+1})*y^2= -1\) 必有正整数解，，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2025-3-30 07:54
求 \(x^2 - (65*73)*y^2= -1\) 的正整数解，，

\[x_n=\left\lfloor \frac{1}{2} \left(2525 \sqrt{4745}-173932\right) \left(878356600 \sqrt{4745}+60504681249\right)^n\right\rfloor\]

\[y_n=\left\lceil \frac{\left(2525 \sqrt{4745}-173932\right) \left(878356600 \sqrt{4745}+60504681249\right)^n}{2 \sqrt{4745}}\right\rceil\]

蔡家雄

虽然 \(x^2 - 13^2*17*y^2= -1\) 有 正整数解，，

但是 \(x^2 - 13*17^2*y^2= -1\) 无 正整数解，，