\(\Huge^\star\;\color{red}{{\min}\textbf{无穷序数}}\textbf{ = 1st极限序数}\)

春风晚霞

        elim 2025-11-17 07:13发帖称【以下是科普春霞吃屎成痴不识自然数的危害：据皮亚诺自然数定义及 Weierstrass 极限定义,lim n 不等于任何自然数.  因为皮亚诺公理仅对自然数成立, 滚驴的 皮亚诺公理对 lim n 仍成立的阵鸣是预设 lim n为自然数的循环论证.春霞老痴, 驴变程度日益飙升!哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈】
        为揭露elim吃屎成痴不识自然数的危害,现在我们根据Weierstrass 极限定义直接证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)、……\(\in\mathbb{N}\)!
        〖证明：〗根据Weierstrass极限定义：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(对\forall \epsilon>0\iff \exists\)正整数\(N_\epsilon\)\((=[\tfrac{1}{\epsilon}]+1)\),当\(n>N_{\epsilon}\)，有\(|x_n-a|<{\varepsilon}\)( Weierstrass 极限定义的符叫表示式参见同济大学《高等数学》第七版 上册P21页第24行)，特别的，令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=[\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)]+1)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\)\(\in\mathbb{N}\)
同理：
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=[\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)]+1)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n+1\)\(\in\mathbb{N}\)；
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=[\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)]+1)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n+1\)\(\in\mathbb{N}\);
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=[\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)]+1)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n+1\)\(\in\mathbb{N}\);
……
        elim根本就不懂什么是无穷？什么是趋向无穷？什么是自然数？当然也就不知道什么是无穷自然数？什么是超穷自然数了？！elim关于自然数和无穷的一切证明，都充满了赌场流氓、市场泼妇的气息。  elim数学上的成就是靠你骂出来的吗？

春风晚霞

        elim 2025-11-17 07:13发帖称【以下是科普春霞吃屎成痴不识自然数的危害：据皮亚诺自然数定义及 Weierstrass 极限定义,lim n 不等于任何自然数.  因为皮亚诺公理仅对自然数成立, 滚驴的 皮亚诺公理对 lim n 仍成立的阵鸣是预设 lim n为自然数的循环论证.春霞老痴, 驴变程度日益飙升!哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈】
        为揭露elim吃屎成痴不识自然数的危害,现在我们根据Weierstrass 极限定义直接证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)、……\(\in\mathbb{N}\)!
        〖证明：〗根据Weierstrass极限定义：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(对\forall \epsilon>0\iff \exists\)正整数\(N_\epsilon\)\((=[\tfrac{1}{\epsilon}]+1)\),当\(n>N_{\epsilon}\)，有\(|x_n-a|<{\varepsilon}\)( Weierstrass 极限定义的符叫表示式参见同济大学《高等数学》第七版 上册P21页第24行)，特别的，令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=[\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)]+1)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\)\(\in\mathbb{N}\)
同理：
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=[\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)]+1)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n+1\)\(\in\mathbb{N}\)；
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=[\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)]+1)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n+1\)\(\in\mathbb{N}\);
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=[\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)]+1)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n+1\)\(\in\mathbb{N}\);
……
        elim根本就不懂什么是无穷？什么是趋向无穷？什么是自然数？当然也就不知道什么是无穷自然数？什么是超穷自然数了？！elim关于自然数和无穷的一切证明，都充满了赌场流氓、市场泼妇的气息。  elim数学上的成就是靠你骂出来的吗？

春风晚霞

        elim于今日下午边续百余次发贴称【以下是科普春霞吃屎成痴不识自然数的危害：据皮亚诺自然数定义及 Weierstrass 极限定义,lim n不等于任何然数.因为皮亚诺公理仅对自然数成立。 滚驴的皮亚诺公理对 lim n仍成立的阵鸣是预设 lim n为自然数的循环论证.lim n非自然数, 减法无意义, 回滚做空腚里泡汤春霞老痴, 驴变程度日益飙升!哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈】
        为揭露elim借“科普”之名实施之实的反人类数学技俩。现分层次批驳于后：
        1、elim认为【据皮亚诺自然数定义及 Weierstrass 极限定义,lim n不等于任何然数.因为皮亚诺公理仅对自然数成立。】
        1）、根据Weierstrass 极限定义，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\mathbb{N}\)
〖证明：〗根据Weierstrass极限定义：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\iff\)\(对\forall \varepsilon>0，\)\(\exists\)正整数\(N_\varepsilon\)\((=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\),当\(n>N_{\varepsilon}\)，有\(|x_n-a|<{\varepsilon}\)( Weierstrass 极限定义的符叫表示式参见同济大学《高等数学》第七版 上册P21页第24行)。特别的，令\(\varepsilon=（\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)^{-1}\),则正整数（亦即自然数）\(N_\varepsilon\)\((=[\displaystyle\lim_{n \to \infty}n]\))=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\mathbb{N}\)〖证毕〗
        注意：自然数列是发散数列，并不妨碍\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是自然数。因整个证明只用了\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\to\infty\)这个性质，而这个性质洽为自然数列发散的必要条件。
        2）、皮亚诺公理对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)依然成立。
        〖 分析：〗\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)显然满足皮亚诺公理第1、3条。所以，根据满足皮亚诺 公理的数是自然数（即自然数的皮亚诺公理定义），所以需且只需证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)存在后继，并且其后继也是自然数。即只需证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\)\(\in\mathbb{N}\).
        〖证明:〗因为在现行数学中只有形如\(j\cdot\omega\)\((j\in\mathbb{N})\)的数才是极限序数。自然数集\(\mathbb{N}\)中只有0是极限序数，而j=1时（1\(\cdot\omega\)既是极限序数，也是最小超穷数。由于\(\omega\)j是极限序数，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\)\(\ne\omega\)，又因\(\omega\)后继是\(\omega+1\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1<\omega\),所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\in\mathbb{N}\),所以皮亚诺公理对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)成立！〖证毕〗
        2、elim说【皮亚诺公理对 lim n仍成立的阵鸣是预设 lim n为自然数的循环论证.】
试问学渣elim,2)证明中那步预设了lim n为自然数？又从那步开始【循环论证】的？其实你他妈的根本就不知道什么叫证明？也根本不知道如何对某个命题进行证明？在长达两年多对我的攻击和打压中你给出过一个像样的、严谨的证明吗？你有一个经得起严格推敲的帖子吗？你除了骂人，你有一张说理的帖子吗？真是无耻至极！
        3、elim的【lim n非自然数, 减法无意义】是伪命题
elim你凭什么说lim n非自然数?是因为lim n自是然数，你的【无穷交就是一种骤变】就要坍塌吗？是因为lim n自是然数，你的【\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=Sup\mathbb{N}\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=Max\mathbb｛N｝\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)大于\(\{n\}\)所有自然数、……】等谎言就要穿帮吗？elim你不是在反对春风晚霞，而是在反对威尔斯特拉斯、在反对康托尔、在反对施笃兹定理、在反对菲赫金哥尔茨、在反对周民强、在反对方嘉琳、在反对……！你以为你算什么东西！至于【减法无意义】你证明过吗？信口雌黄，你还算数学人吗？

春风晚霞

         为揭露elim吃屎成痴不识自然数的危害,现在我们根据Weierstrass 极限定义直接证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)、……\(\in\mathbb{N}\)!
        〖证明：〗根据Weierstrass极限定义：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(对\forall \epsilon>0\iff \exists\)正整数\(N_\epsilon\)\((=[\tfrac{1}{\epsilon}]+1)\),当\(n>N_{\epsilon}\)，有\(|x_n-a|<{\varepsilon}\)( Weierstrass 极限定义的符叫表示式参见同济大学《高等数学》第七版 上册P21页第24行)，特别的，令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=[\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)]+1)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\)\(\in\mathbb{N}\)
        同理：
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=[\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)]+1)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n+1\)\(\in\mathbb{N}\)；
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=[\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)]+1)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n+1\)\(\in\mathbb{N}\);
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\((=[\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n]\)+1)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n+1\)\(\in\mathbb{N}\);
……      

春风晚霞

         根据Weierstrass 极限定义:\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(对\forall ε>0，\exists\)正整数\(N_ε\)，\(当n>N_ε，有|x_n-a|<ε\)可得如下定义:
        〖定义1:〗对于任意给定的无穷小量ε，称集合\(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)为无穷大.记为\(\infty\).
        〖定义2:〗\(若自然数\forall k\in\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)，则称\(k\)趋向于无穷大，记为\(k\to\infty\).
        根据定义1、定义2：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n≠∞\)(自然数不能和自然数集相等)，但\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\to\infty\) .即\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)\(\in\mathbb{N}\).
          同样根据定义1和定义2得：     \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)、……\(\in\mathbb{N}\)!
        ……      

春风晚霞

        一、关于\(\infty和n\to\infty\)的定义：
         根据Weierstrass 极限定义:\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(对\forall ε>0，\exists\)正整数\(N_ε\)，\(当n>N_ε，有|x_n-a|<ε\)可得如下定义:
        〖定义1:〗对于任意给定的无穷小量ε，称集合\(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)为无穷大.记为\(\infty\).
        〖定义2:〗\(若自然数\forall k\in\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)，则称\(k\)趋向于无穷大，记为\(k\to\infty\).
        根据定义1和定义2，易知\(\mathbb{N}=\{n|n\le N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)\(\cup\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\).
         elim，Weierstrass 极限的“ ε—N”定义任何一本讲极限的教科书上都有介绍，其符号表达式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(对\forall ε>0，\exists\)正整数\(N_ε\)，\(当n>\)\(N_ε,有|x_n-a|<ε\)参见同济大学《高等数学》第七版 上册P21页第25行，由于ε是任意给定的无穷小量，所以\(N_ε(=\tfrac{1}{ε})\)则为无穷大量，其依据是无穷小量与无穷大量互为倒数关系，所以称集合\(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)为无穷大.记为\(\infty\)是自洽的。虽然elim不认可这两个定义，但这两个定义规范自洽的。同时定义1的基础是定义2也对\(n\to\infty\)作出了定量描述。总之定义1、定义2不但给出了出处，也对Weierstrass 极限的“ ε—N”定义作了更深层次地思考，比起e氏的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=Sup\mathbb{N}\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=Max\mathbb{N}\)……等定义严谨多了。elim攻击、谩骂了我两年多；\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\)用了不少于万次，但至今也没有给出什么叫无穷大，什么叫趋向于无穷大。所以elim关于无穷大的一切论证都是扯淡！
        二、关于\(\mathbb{N}\)是无限集，所以\(\mathbb{N}\)必含无穷数的谁
       【证明】设自然数列\(\{a_n\}\)的通项公式为：\(a_n=n\),由于\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\),所以对\(ε=\tfrac{1}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}n}，N_ε=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\) \(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)!所以既然\(\mathbb{N}\)是无限集，那么\(\mathbb{N}\)就必含无穷数。
        春风晚霞提请众网友注意：最小无穷序数\(\color{red}{\omega是最小超穷数，不是最小无穷}\)\(\color{red}{数!}\),最小无穷基数\(\color{red}{\aleph_0，也不是最小无穷数!}\)，因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……远小于\(\omega\)或\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……远小于\(\aleph_0\)!所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……属于\(\mathbb{N}\)!还有陶哲轩或AI所说“每个自然数都是有限数”的“限“是指每个自然数的后继！有限基数的“限”是指最小无穷基数\(\aleph_0\)!并且【自然数皆有限数】只能勉强算作是自然数的一个特殊性质，不能算作自然数的定义。

春风晚霞

        一、关于\(\infty和n\to\infty\)的定义：
         根据Weierstrass 极限定义:\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(对\forall ε>0，当n>\)\(N_ε时，有|x_n-a|<ε\)可得如下定义:
        〖定义1:〗对于任意给定的无穷小量ε，称集合\(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)为无穷大，记为\(\infty\).
        〖定义2:〗\(若自然数\forall k\in\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)，则称\(k\)趋向于无穷大，记为\(k\to\infty\).
        根据定义1和定义2，易知:
        \(\mathbb{N}=\{n|n\le N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\cup\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\).
         elim，Weierstrass 极限的“ ε—N”定义，任何一本讲极限的教科书上都有介绍。其符号表达式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(对\forall ε>0，\exists\)正整数\(N_ε\)，\(当n>\)\(N_ε,有|x_n-a|<ε\)参见同济大学《高等数学》第七版 上册P21页第25行。由于ε是任意给定的无穷小量，所以\(N_ε(=\tfrac{1}{ε})\)则为无穷大量，其依据是无穷小量与无穷大量互为倒数关系，所以称集合\(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)为无穷大，并记为\(\infty\)是自洽的。虽然elim不看好这两个定义，但这两个定义仍是规范严谨的。同时定义1基础上的定义2也对\(n\to\infty\)作出了定量描述。总之定义1和定义2不但给出了出处，也对Weierstrass 极限的“ ε—N”定义也作了更深层次地思考，比起e氏的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=Sup\mathbb{N}\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=Max\mathbb{N}\)……等定义严谨多了。elim攻击、谩骂了我两年多；\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\)用了不少于万次，但至今也没有给出什么叫无穷大，什么叫趋向于无穷大。所以elim关于无穷大的一切论证都是扯淡！
        二、关于\(\mathbb{N}\)是无限集，所以\(\mathbb{N}\)必含无穷数地推导
       【证明】设自然数列\(\{a_n\}\)的通项公式为：\(a_n=n\),由于\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\),所以对\(\forall ε>0，\exists\)正整数\(N_ε\)，使\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\) \(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)!所以既然\(\mathbb{N}\)是无限集，那么\(\mathbb{N}\)就必含无穷数。
        春风晚霞提请众网友注意：最小无穷序数\(\color{red}{\omega是最小超穷数，不是最小无穷}\)\(\color{red}{数!}\),最小无穷基数\(\color{red}{\aleph_0，也不是最小无穷数!}\)，因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……远小于\(\omega\)或\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……远小于\(\aleph_0\)!所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……属于\(\mathbb{N}\)!还有陶哲轩或AI所说“每个自然数都是有限数”的“限“是指每个自然数的后继！有限基数的“限”是指最小无穷基数\(\aleph_0\)!并且【自然数皆有限数】只能勉强算作是自然数的一个特殊性质，不能算作自然数的定义。

春风晚霞

        一、关于\(\infty和n\to\infty\)的定义：
         根据Weierstrass 极限定义:\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(对\forall ε>0，当n>\)\(N_ε时，有|x_n-a|<ε\)可得如下定义:
        〖定义1:〗对于任意给定的无穷小量ε，称集合\(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)为无穷大，记为\(\infty\).
        〖定义2:〗\(若自然数\forall k\in\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)，则称\(k\)趋向于无穷大，记为\(k\to\infty\).
        根据定义1和定义2，易知:
        \(\mathbb{N}=\{n|n\le N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\cup\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\).
         elim，Weierstrass 极限的“ ε—N”定义，任何一本讲极限的教科书上都有介绍。其符号表达式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(对\forall ε>0，\exists\)正整数\(N_ε\)，\(当n>\)\(N_ε,有|x_n-a|<ε\)参见同济大学《高等数学》第七版 上册P21页第25行。由于ε是任意给定的无穷小量，所以\(N_ε(=\tfrac{1}{ε})\)则为无穷大量，其依据是无穷小量与无穷大量互为倒数关系，所以称集合\(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)为无穷大，并记为\(\infty\)是自洽的。虽然elim不看好这两个定义，但这两个定义仍是规范严谨的。同时定义1基础上的定义2也对\(n\to\infty\)作出了定量描述。总之定义1和定义2不但给出了出处，也对Weierstrass 极限的“ ε—N”定义也作了更深层次地思考，比起e氏的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=Sup\mathbb{N}\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=Max\mathbb{N}\)……等定义严谨多了。elim攻击、谩骂了我两年多；\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\)用了不少于万次，但至今也没有给出什么叫无穷大，什么叫趋向于无穷大。所以elim关于无穷大的一切论证都是扯淡！
        二、关于\(\mathbb{N}\)是无限集，所以\(\mathbb{N}\)必含无穷数地推导
       【证明】设自然数列\(\{a_n\}\)的通项公式为：\(a_n=n\),由于\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\),所以对\(\forall ε>0，\exists\)正整数\(N_ε\)，使\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\) \(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)!所以既然\(\mathbb{N}\)是无限集，那么\(\mathbb{N}\)就必含无穷数。
        春风晚霞提请众网友注意：最小无穷序数\(\color{red}{\omega是最小超穷数，不是最小无穷}\)\(\color{red}{数!}\),最小无穷基数\(\color{red}{\aleph_0，也不是最小无穷数!}\)，因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……远小于\(\omega\)或\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……远小于\(\aleph_0\)!所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)……属于\(\mathbb{N}\)!还有陶哲轩或AI所说“每个自然数都是有限数”的“限“是指每个自然数的后继！有限基数的“限”是指最小无穷基数\(\aleph_0\)!并且【自然数皆有限数】只能勉强算作是自然数的一个特殊性质，不能算作自然数的定义。

春风晚霞

命题：皮亚诺公理对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)依然成立。
        证明：因为在现行数学理论中只有形如\(j\cdot\omega\)\((j\in\mathbb{N})\)这样的数没有直接前趋(即极限序数)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是\(\omega\)的直接前趋，故此\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\ne\omega\),又因\(\omega\)的后继是\(\omega+1\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+1\)\(\ne\omega+1\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+1<\omega\)(实数三分律原理），所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n+1\in\mathbb{N}\).所以皮亚诺公理对自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)成立.【证毕】。
        【推论】
①、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n+j\in\mathbb{N}\)
②、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\in\mathbb{N}\)
③、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\in\mathbb{N}\)
④、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\in\mathbb{N}\)
……

elim

【定理】最小无穷序数=第一个极限序数
【证明】设\(m\)是最小无穷序数\(\mu\)之前的序数,
\(\qquad\)则\( m\)有限, 其后继非无穷序数\(\mu\). 因此 \(\mu\)
\(\qquad\)是最小非后继序数, 即第一个极限序数．