“现代数学三大难题之三”－－构造非李明波实数

elimqiu

实数系本身与进制无关。
目前被广为接受的数系的构造的逻辑顺序是：
自然数→整数→有理数→实数
取决于你对何为‘构造’的理解，你可以接受或否定现行数学对实数的构造。
这方面的书籍很多，卢丁的“数学分析原理”是很流行的一本。
按照现代数学的标准，实数系是“满足最小上界性的全序域”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5919
一般认为，十进小数是实数的统一表示方法之一。是有严格的数学基础的。
上面的连接回答了你的问题。 你的问题还有其他一些等价的回答。

波浪

下面引用由elimqiu在 2009/10/09 06:48am 发表的内容：
实数系本身与进制无关。
目前被广为接受的数系的构造的逻辑顺序是：
自然数→整数→有理数→实数
取决于你对何为‘构造’的理解，你可以接受或否定现行数学对实数的构造。
...

    1、“实数系本身与进制无关”是否等价于“长度本身与丈量它的尺无关”？
    2、“丈量长度的尺与长度无关”是否等价于“进制本身与实数系无关”？

波浪

[这个贴子最后由波浪在 2009/10/09 09:09pm 第 1 次编辑]

   
    亲爱的：我俩的关系，是许多人所不知道的隐私...

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/10/10 07:05am 第 2 次编辑]

下面引用由波浪在 2009/10/09 09:00pm 发表的内容：    1、“实数系本身与进制无关”是否等价于“长度本身与丈量它的尺无关”？    2、“丈量长度的尺与长度无关”是否等价于“进制本身与实数系无关”？

很有意思的问题。 逻辑上说，实数系和进制皆不依赖于实数的几何体现（虽然几何体现很重要）。所以上面的‘等价性’皆不真。 实数系作为数域，有乘法单位元1和加法单位元0。前者就是其内部的‘(单位)尺’。 进制是数的一种表达方式。 十进制的 8 在二进制中表达为 1000 不是因为‘尺’变化了，同样的数在十进制中是八个单位，到二进制那里是一千个单位。不是的！记号 1000 在p进制中的意思是 1·p^3 + 0·p^2 + 0·p^1 + 0·p^0 当p=2时它就是通常所说的八，当p=10时它才是通常所说的一千。 十进制的 1/3 是二进制的 1/11 等于二进制无限循环小数 0.0101010101010101.... 后者的意义在十进制中是  0/2+1/2^2+0/2^3+1/2^4+...+0/2^(2n-1)+1/2^(2n)+... 在二进制中是    0/10+1/10^2+0/10^3+1/10^4+...+0/10^(10n-1)+1/10^(10n)+... 因为二进制中的10就是十进制中的2。 “实数系本身与进制无关”的意思是说数不因为如何被表达而变化。这并不排斥任何进制都可以表达所有实数的事实。 罗马记数法和十进记数法在手表或时钟上表达同样的数。 ================================================================== 数域是一个集合，对里面的元素定义了加法和乘法及其逆运算（非0元a都有乘法逆元1/a, 任意元x都有加法逆元 -x），这个集合对这些运算是封闭的（运算结果还是它的元素）。 加法和乘法都满足结合律((a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc))， 加法满足交换律(a+b=b+a)， 对于加法和乘法还有分配律（a(b+c)=ab+ac, (a+b)c = ac+bc）,对于有理数域及实数域都又有乘法交换律（ab=ba） 有序域是对其元素定义了序关系的数域。使得对任意数x及y, x=y,xy有且只有一式成立;  x>0 且 y>0 → xy > 0,  x > y  → x+z > y+z 由此可知 x < 0 → 0 = x + (-x) < 0 + (-x) = -x  → -x > 0, 同理 x > 0  → -x < 0 于是 x ≠0 → (x>0 或 -x > 0) → x^2 > 0 → 1=1^2 > 0  等等。 实数的一个集合E有上界是指存在不小于E的任一数的实数u，此时u称为E的一个上界。(易见自然数全体所成的集没有上界)。 如果u是E的上界,而任何小于u的实数都不是E的上界，则称u是E的上确界。 实数系具有最小上界性： 任何非空有上界的实数子集都有上确界。 所谓构造实数就是要构造这么一个具有最小上界性的有序域。（包括定义运算，验证运算的上述代数性质，定义序关系，验证序关系的上述代数性质，最后证明其具有所论的最小上界性）。 不依赖于几何直观，如何证明实数系具有阿基米德性？ （任给 a, X, a>0 → 存在正整数n 使得 na > X）  这就是说任何长度都是‘可度’的，‘尺’再小也管用。 定义 E= { na | n是正整数}, 如果恒有 na ≤ X， 那么E就有上界因而有上确界u. 于是 u-a 就不是E的上界故有某n 使 u-a < na 于是 u < (n+1)a， 这表明u不是E的上界。这个矛盾表明总有使得 na > X 的 n. 任取二实数 X, Y, 设 X 1/(Y-X) 即 1/n < Y-X 同理存在 k 使 k(1/n) > -X 即 (-k)(1/n) < X 亦即 E = { m/n | m 是整数且 m/n ≤X} 非空有上界故有上确界u. 于是有某整数j使  u-a < j/n ≤u 从而 u < (j+1)/n. 令m=j+1, 则m/n不在E中故X

elimqiu

实数的构造是要给数学分析一个坚实的基础。这个任务比穷尽实数的方案复杂得多。

波浪

yyf0413 :告别康托，连续统假设不再成立
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=3&topic=2124&start=0&#35;bottom

elimqiu

波浪先生对 yyf0413 的帖子的见解如何？

sleeper2

楼主混淆了［可找到］和［可列］的概念。
实际上，［实数］和［数阵中可找到实数的方法］同势，和［数阵］不同势。

changbaoyu

引点：融贯论
　　一般而言融贯论认为，真理是整个信念或命题系统内各部分的一致。尽管如此，通常融贯意味着某些超出简单逻辑一致性的东西。例如，概念基本集合的完全性和广泛性是判断融贯系统效用和有效性的关键因素。融贯论贯彻的原则是以下观念，真理根本上是整个命题系统的性质，个别命题只因与整体相融贯而衍生地被赋予真理的性质。在通常被视为融贯论的各类观点中，理论家们在究竟融贯论带来许多可能为真的思想体系还是只有一个绝对体系是真的问题上并不一致。
　　一些融贯论的变体被认为描述了逻辑和数学形式系统的内在本质特征。而进行形式推理的人乐于思索并列的、在公理方面独立而又相互矛盾的系统，例如各种可供选择的几何学。    大体上，融贯论被批评为在将它应用于真理的其他领域时缺少适当的理由，特别是涉及大部分关于自然世界、经验予料的断定以及关于心理和社会实际事件的断定，尤其当融贯论没有其他主要真理理论辅助的情况时。
　　融贯论可分为大陆理性主义哲学家的思想，特别是斯宾诺莎、莱布尼茨和黑格尔的思想，与英国哲学家布拉德雷的思想。 在一些逻辑实证主义支持者，最著名的有纽拉特和亨佩尔中，融贯论获得复兴。               二〇一一年四月

jzkyllcjl

康托尔的定理是建立在实无穷观点下的定理.李明波数是他们找不出来的!参看我的著作《全能近似分析数学基础及其应用》第一章。