请教陆老师一个关于射影几何的问题

天茂

我们可以这样来讨论这个问题：
在射影直线和欧氏直线上的对应位置任取两点A、B，那么，
射影直线上的线段[A,B]就有包含“无穷远点”和不包含“无穷远点”两种情况。我们只考察AB之间包含“无穷远点”的线段[A,B]：
用戴德金分割可以将射影直线上的线段[A,B]分为两部分：[A,∞)∪[∞,B]或[A,∞]∪(∞,B].
而欧氏直线上对应的位置已经是两部分了：[A,∞)和(∞,B]。
以上的讨论说明：欧氏直线两端的边界点应该是同一个“无穷远点”，即：-∞＝∞。

ygq的马甲

以上的讨论说明：欧氏直线两端的边界点应该是同一个“无穷远点”，即：-∞＝∞。

究竟想【证明】什么 ？？？否则【推理】中必定有问题的
-∞＝∞ =================> 不可定向的
-∞≠∞ =================> 可定向的

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/05/04 02:15pm 第 2 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/05/04 00:52pm 发表的内容：
我们可以这样来讨论这个问题：
在射影直线和欧氏直线上的对应位置任取两点A、B，那么，
射影直线上的线段[A,B]就有包含“无穷远点”和不包含“无穷远点”两种情况。我们只考察AB之间包含“无穷远点”的线段[A,B]：
用戴德金分割可以将射影直线上的线段[A,B]分为两部分：[A,∞)∪[∞,B]或[A,∞]∪(∞,B].
而欧氏直线上对应的位置已经是两部分了：[A,∞)和(∞,B]。
以上的讨论说明：欧氏直线两端的边界点应该是同一个“无穷远点”，即：-∞＝∞。

我觉得，你以上的“推理”，实质上就是说：

因为按照定义，在射影直线上只有一个“无穷远点”，即 ∞ 点，所以必有：-∞＝+∞ 。

这件事，实际上与欧氏直线根本没有任何关系，因为欧氏直线上没有“无穷远点”，
既没有代表 -∞ 的点，也没有代表 +∞ 的点。
我们说：“射影直线与欧氏直线相比，只是多了一个无穷远点”，这句话不错。
但是，这句话是与射影直线的定义密切相关的，如果没有现在这样的射影直线的定义，
如果不是在定义中规定射影直线上只有一个“无穷远点”，就不会有这句话。
如果当初数学家们定义射影直线时，规定：射影直线上有两个不同的无穷远点，
一个是“正无穷远点”，代表 +∞ ，另一个是“负无穷远点”，代表 -∞ ，
那么，我们就要说：“射影直线与欧氏直线相比，只是多了两个无穷远点”了。
这样一来，-∞＝+∞ 的结论就不成立了。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/05/04 07:42pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2012/05/04 02:12pm 发表的内容：
我觉得，你以上的“推理”，实质上就是说：
因为按照定义，在射影直线上只有一个“无穷远点”，即 ∞ 点，所以必有：-∞＝+∞ 。
这件事，实际上与欧氏直线根本没有任何关系，因为欧氏直线上没有“无穷远点”，既没有代表 -∞ 的点，也没有代表 +∞ 的点。
我们说：“射影直线与欧氏直线相比，只是多了一个无穷远点”，这句话不错。
但是，这句话是与射影直线的定义密切相关的，如果没有现在这样的射影直线的定义，如果不是在定义中规定射影直线上只有一个“无穷远点”，就不会有这句话。
如果当初数学家们定义射影直线时，规定：射影直线上有两个不同的无穷远点，一个是“正无穷远点”，代表 +∞ ，另一个是“负无穷远点”，代表 -∞ ，那么，我们就要说：“射影直线与欧氏直线相比，只是多了两个无穷远点”了。
这样一来，-∞＝+∞ 的结论就不成立了。

但是，事实却是，当初数学家们在定义射影直线时，只能规定射影直线上只有一个“无穷远点”，而不可能规定射影直线上有两个不同的无穷远点。否则，整个射影几何学是建立不起来的。

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2012/05/04 00:52pm 发表的内容：
我们可以这样来讨论这个问题：
在射影直线和欧氏直线上的对应位置任取两点A、B，那么，
射影直线上的线段就有包含“无穷远点”和不包含“无穷远点”两种情况。我们只考察AB之间包含“无穷远点”的线段：
用戴德　...

涉及到 ∞ 这种类型时，逻辑是否成立，是需要另外【证明】的
特别地，中间包括间断点 ∞

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/05/04 07:40pm 发表的内容：
但是，事实却是，当初数学家们在定义射影直线时，只能规定射影直线上只有一个“无穷远点”，而不可能规定射影直线上有两个不同的无穷远点。否则，整个射影几何学是建立不起来的。

要建立一套规定存在两个不同的“无穷远点”的射影几何，其实也是可以的，
只不过在这种射影几何中，各种定义、定理，叙述起来比较罗嗦、比较麻烦而已。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/05/05 07:36am 第 3 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2012/05/04 10:00pm 发表的内容：
要建立一套规定存在两个不同的“无穷远点”的射影几何，其实也是可以的，
只不过在这种射影几何中，各种定义、定理，叙述起来比较罗嗦、比较麻烦而已。

我认为，这样建立起来的射影几何不仅仅是叙述起来比较罗嗦、比较麻烦的问题，很可能会丢失许多的东西，它和我们现行的射影几何有着本质的不同：
有两个不同的“无穷远点”的射影几何只考虑了一致性，丢失了完全性；
只有一个“无穷远点”的射影几何，既考虑了完全性，又在表面上照顾了一致性。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/05/05 09:08pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2012/05/04 11:35am 发表的内容：
请问：你说的“将一条直线分为两截”到底是什么意思？
1、是说“将一条直线分为连续的两部分，这两部分互不相连，即：在这两部分之间，至少有这样一个点，它既不属于第一部分，也不属于第二部分”？
2、还是说“将一条直线分为连续的两部分，这两部分可以连接，即：在这两部分之间，找不到这样一个点，它既不属于第一部分，也不属于第二部分”？

如果按第1种意思，那就是用“去掉直线中的一个点或一条线段”的办法，将一条直线分为两截。这个我们已经讨论过了。
因此，我现在需要请教陆老师的是第2种意思：
有什么办法，可以将一条直线分为连续的两部分呢？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/05/05 09:07pm 发表的内容：
如果按第1种意思，那就是用“去掉直线中的一个点或一条线段”的办法，将一条直线分为两截。这个我们已经讨论过了。
因此，我现在需要请教陆老师的是第2种意思：
有什么办法，可以将一条直线分为连续的两部分呢？

按照第 2 种意思，可以有下列这样两种分法：
(-∞,+∞)＝(-∞,a]∪(a,+∞），
(-∞,+∞)＝(-∞,a)∪[a,+∞），
其中 a 是欧氏直线上的一个实数。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/05/06 08:32am 第 3 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2012/05/06 07:47am 发表的内容：
按照第 2 种意思，可以有下列这样两种分法：
(-∞,+∞)＝(-∞,a]∪(a,+∞），
(-∞,+∞)＝(-∞,a)∪[a,+∞），
其中 a 是欧氏直线上的一个实数。

请教陆老师：
这两种分法如何在几何上实现？