[原创]k生素数群的数量公式

yangchuanju

间距分别是2,6,30,210,2310,30030，…41#的（二生）素数对的数量和规律       
另对231000前20050个奇素数分别加上2,6,30,210,2310,30030，…,41#=304250263527210，用因式分解软件进行分解并统计得到：       
加数        素数对个数
2        2430
6        4843
30        6517
210        7776
2310        8602
30030        8987
510510        8400
19#        7457
23#        6536
29#        5667
31#        5134
37#        4770
41#        4166
容易看出，加数是2时得到的孪生素数对最少，加数是6时翻番（加倍），加数是30030时达到最大值，加数继续增大得到的二生素数对逐渐减少！       

ysr

白新岭 发表于 2021-4-15 03:20
如果ysr先生想要找到更大的孪生素数对，可以以素数的连乘积为跨度寻找（即素数阶乘），用小范围内的孪生 ...

可以，不过，这个计算复杂，还要考虑该偶数除以6的余数是否为4，否则就白忙活了，哈哈。
我还是先考虑2^(2k)为跨度的规律吧。

这个素数对才找出来呢（程序有问题改进了一下）：2480000与3480000之间的素数打头有23组差为2和17179869184和2的4生素数对: (用时9687.059秒）
/2480081/2480083/17182349267/17182349269
/2549621/2549623/17182418807/17182418809
/2618261/2618263/17182487447/17182487449
/2618531/2618533/17182487717/17182487719
/2632151/2632153/17182501337/17182501339
/2643671/2643673/17182512857/17182512859
/2661731/2661733/17182530917/17182530919
/2664041/2664043/17182533227/17182533229
/2731901/2731903/17182601087/17182601089
/2749361/2749363/17182618547/17182618549
/2862701/2862703/17182731887/17182731889
/2955371/2955373/17182824557/17182824559
/2976971/2976973/17182846157/17182846159
/3076751/3076753/17182945937/17182945939
/3222251/3222253/17183091437/17183091439
/3250991/3250993/17183120177/17183120179
/3255431/3255433/17183124617/17183124619
/3261551/3261553/17183130737/17183130739
/3366131/3366133/17183235317/17183235319
/3392951/3392953/17183262137/17183262139
/3412271/3412273/17183281457/17183281459
/3414011/3414013/17183283197/17183283199
/3423461/3423463/17183292647/17183292649

前面还有呢：
2480060与2480100之间的素数打头有1组差为2和17179869184和2的4生素数对: (用时0.4941406秒）
/2480081/2480083/17182349267/17182349269

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-4-15 11:24
间距分别是2,6,30,210,2310,30030，…41#的（二生）素数对的数量和规律       
另对231000前20050个奇素数分别加 ...

间距分别是2,6,30,210,2310,30030，…41#的（二生）素数对的数量和规律二       
昨日对231000前20050个奇素数分别加上2,6,30,210,2310,30030，…,41#=304250263527210，用因式分解软件进行分解并统计得到初步结论：       
加数是2时得到的孪生素数对最少，加数是6时翻番（加倍），加数是30030时达到最大值，加数继续增大得到的二生素数对逐渐减少！               
发帖后白新岭、大傻8888888两位老师感到最大值出现位置与他们的研究结果不太一样，建议我扩大样本范围再试一试，               
于是我找到了一些大于20亿的连续大素数，为进行对比，从中截取20520个连续奇素数，               
同样在这些素数基础上分别加上2,6,30,210,2310,30030，…,41#=304250263527210，用因式分解软件进行分解并统计得到：               
加数        素数对1        素数对2
2        2430        1272
6        4843        2563
30        6517        3339
210        7776        4058
2310        8602        4487
30030        8987        4910
510510        8400        5160
19#        7457        5488
23#        6536        5750
29#        5667        5602
31#        5134        5152
37#        4770        4554
41#        4166        4224
可以看到：（1）加数是2时得到的孪生素数对最少，加数是6时翻番（加倍），加数逐渐增大二生素数对数先是增大，达到某个最大值后逐渐减少；               
（2）样本素数由小于23万变成大于20亿时，在加数较小时（2,6,30）二生素数对数几乎减少一般，说明大样本区间素数变的稀少了；               
（3）随着样本素数的增大，二生素数对数最大值后移，第二样本的最大值出现在加数是23#处，比两位老师预想的还要靠后；               
（4）二生素数对数最大值出现时的“加数”大体上等于样本素数；               
（5）当加数增大到41#时，二生素数对数不降反增（由4166对增大到4224对）；               
（6）若样本素数继续增大，二生素数对数最大值还要后移，但达到某个最大值后必然要不断地减少，这是由“素数越来越稀少”大规律决定的；               
（7）…………               

yangchuanju

凑个热闹，求几个间距4,2,4及4,6k+2,4的四生素数玩玩！                                       
间距4,2,4的四生素数126万以内共387个；                                       
间距4,8,4的四生素数126万以内共188个；                                       
间距4,14,4的四生素数126万以内共296个；                                       
间距4,20,4的四生素数126万以内共502个；                                       
间距4,26,4的四生素数126万以内共697个；                                       
间距4,32,4的四生素数126万以内共352个；                                       
…………                                       
各取一个最小的和最大的四生素数：                                       
间距        序号        素数1        素数2        素数3        素数4
4,2,4        1        7        11        13        17
4,8,4        1        7        11        19        23
4,14,4        1        19        23        37        41
4,20,4        1        13        17        37        41
4,26,4        1        7        11        37        41
4,32,4        1        7        11        43        47
                                       
4,2,4        387        1265857        1265861        1265863        1265867
4,8,4        188        1262617        1262621        1262629        1262633
4,14,4        296        1266259        1266263        1266277        1266281
4,20,4        502        1259053        1259057        1259077        1259081
4,26,4        697        1266043        1266047        1266073        1266077
4,32,4        352        1266487        1266491        1266523        1266527
                                       
间距4的表兄弟素数样本取自A023200给出的10000个最小的表兄弟素数。                                       
可以看出：（1）第2个间距不能是4，不存在间距4,4,4的四生素数；                                       
（2）间距4,26,4的四生素数最多，因为它的p3-p1， p4-p2都等于30；                                       
（3）间距4,6,4的四生素数只有一组：3,7,13,17（未录入）；……                                       
第二间距继续增大到206,2306,30026，……怎么样？                                       

白新岭

一个二生素数对（P，P+4）的中项合成数（6n）的一种公式：\(G_2\)(6n)=6∏(1-\(4\over(P-2)^2\))∏\({P_i-2}\over{P_i-4}\)∏\({P_j-3}\over{P_j-4}\)\((二生素数对数量)^2\over{6n}\)，\(P_i\)整除6n，6n除\(P_j\)的余数为±4.

白新岭

白新岭 发表于 2021-4-16 11:34
一个二生素数对（P，P+4）的中项合成数（6n）的一种公式：\(G_2\)(6n)=6∏(1-\(4\over(P-2)^2\))∏\({P_i-2 ...

与孪生素数对的中项差公式无二。一样一，只不过\(P_j\)所对应的余数有点改变，是±4而已。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-4-16 05:41
凑个热闹，求几个间距4,2,4及4,6k+2,4的四生素数玩玩！                                       
间距4,2,4的四生素数126万以内共387个；                                         ...

《凑个热闹》贴留有一个悬念——第二间距继续增大到206,2306,30026，……怎么样？       
笔者没有歇脚，马不停蹄地在原1万个表兄弟素数的大素数基础上，分别加上56,86,116,146,176,206；       
分别加上2306,510506,9699686，…41#-4后得到：       
       
在第二间距继续增大56,86,116,146,176，……206后       
第2间距        个数
26        697
56        762
86        585
116        628
146        961
176        714
206        995
当第2间距依次是26,56,86,116,146,176,206时双二生素数都是比较多的，       
其中间距206时最多，比间距26时多出298个；       
其次是间距146时，仅稍少于间距206时。       
       
在第二间距继续增大2306,30026，……后       
第2间距        个数
2        387
26        697
206        995
2306        1381
30026        1466
510506        1519
19#-4        1315
23#-4        978
29#-4        781
31#-4        585
37#-4        528
41#-4        393
与在连续2万个素数分别加上2,6,30,210，…类似，在表兄弟素数的大素数基础上分别加上2,26,206,2306，…，       
（实际上是在表兄弟素数的小素数基础上分别加上6,30,210,2310,…）       
再各加上4构成的四生素数（双表兄弟素数串）个数，先是逐渐增加，在加数（第2间距）是510506时达到最大值后逐渐减少；       
尚若加大表兄弟素数的数字至20亿或更大，最大值也有可能向后移动的现象。       

yangchuanju

白新岭 发表于 2021-4-16 11:34
一个二生素数对（P，P+4）的中项合成数（6n）的一种公式：\(G_2\)(6n)=6∏(1-\(4\over(P-2)^2\))∏\({P_i-2 ...

白老师希望我将样本扩大到10^14，我没有这么大的素数表，老师可否提供10000个或以上连续的15位或14位的素数表？邮箱号：13705470949@163.com

yangchuanju

ysr 发表于 2021-4-15 11:24
可以，不过，这个计算复杂，还要考虑该偶数除以6的余数是否为4，否则就白忙活了，哈哈。
我还是先考虑 ...

第二间距继续增大到128,512,2048，……怎么样？               
一不做，二不休，再算一算第二间距是2,8,32,128……的情况，               
（第二间距只能是2的奇次幂，因为没有间距4,4,4；4,16,4；……这样的四生素数）               
前已算出，间距4,2,4的四生素数126万以内共387个；               
间距4,8,4的四生素数126万以内共188个；               
间距4,32,4的四生素数126万以内共352个；加在一起进行分析。               
第2间距        2的指数        个数
2        1        387
8        3        188
32        5        352
128        7        275
512        9        450
2048        11        194
8192        13        384
32768        15        204
131072        17        439
524288        19        174
2097152        21        345
8388608        23        150
33554432        25        250
134217728        27        122
536870912        29        180
2147483648        31        77
8589934592        33        141
34359738368        35        59
137438953472         37        136
549755813888         39        74
2199023255552         41        57
8796093022208         43        41
35184372088832         45        82
140737488355328         47        46
562949953421312         49        53
当第2间距是2,8,32……时，总体上随着加数的增大，四生素数个数波动式地越来越小；且波动曲线成明显锯齿状，一大一小；               
其中当间距是4,2,4时，由双表兄弟素数构成的非最密四生素数数量最多。               
               
ysr老师计算的由双孪生素数构成的四生素数个数有什么规律？               

白新岭

【成功】需要高人指点，贵人相助，小人监督，个人奋斗。