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即使不使用第一定义。根据你的应用施篤兹(O.Stolz)定理中的公式得出的:lim n→∞ na(n)= lim n→∞[2+ 1/3 •a(n-1)+O (a^2(n-1)] 就说明:等式lim n→∞[na(n)2]- lim n→∞1/3a(n-1) =lim n→∞O (a^2(n-1) 成立,记[na(n)-2]=β, 1/3a(n-1)= α, O(a^2(n-1)=γ, 就得到β=na(n)-2与α=1/3a(n-1) 都是无穷小的,且lim n→∞[β-α]==lim n→∞γ,=0;及lim n→∞γ/α=0,故,γ是比α 高阶的无穷小。也可证明β与 α是等价无穷小。事实上,此时成立:lim n→∞[β-α]/ α==lim n→∞γ/α=0, 即,lim n→∞[β-α]/ α= lim n→∞[β/ α-α/ α]=0,这就是lim n→∞[β/ α-1]]=0,即lim n→∞β/ α=1,β与 α等价。
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