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发表于 2006-4-28 23:39
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连 续 统 假 设 的 终 结
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糠脱证明实数不可数的方法的实质到底是什么?
现用通俗的实例,由浅入深地对糠脱的方法进行说明.虽然内容好象多了一些,但是道理却很简单,有高中文化就能够看懂的.
仍以[0,1)区间为例:
一 [0,1)中含有小数点后1位数字的全部小数有10个:
0.0
0.1
0.2
...
0.9
现在,我们使用糠脱的方法来构造一个[0,1)内的小数点后有1位一个小数.使它小数的第1位,不是上表之中的第1个数0.0的小数点后的第1个数字0.
而所构造的这种小数点后含1位数字的小数显然仍存在于上表的10个数之中,因为它可以是上表的第1个数0.0之后的0.1~0.9之中的任何一个数.
二 [0,1)中含有小数点后2位数字的全部小数有100=10^2个:
0.00
0.01
0.02
0.03
...
0.99
现在,我们再使用糠脱的方法来构造一个[0,1)内的小数点后有2位的一个小数.使它小数的第1位,不是上表之中的第1个数0.00的小数点后的第1位数字0;使它小数的第2位,不是上表之中的第2个数0.01的小数点后的第2位数字1.
而所构造的这种小数点后含2位数字的小数显然仍存在于上表的100=10^2个数之中,因为它可以是上表的第1个数0.00和第2个数0.01之后的0.02~0.99之中的某些数,如最小的这种数便是0.10.
三 [0,1)中含有小数点后3位数字的全部小数有1000=10^3个:
0.000
0.001
0.002
0.003
...
0.999
现在,我们还用糠脱的方法构造一个[0,1)内的小数点后有3位的一个小数.使它小数的第1位,不是上表之中的第1个数0.000的小数点后的第1位数字0;使它小数的第2位,不是上表之中的第2个数0.001的小数点后的第2位数字0;使它小数的第3位,不是上表之中的第3个数0.002的小数点后的第3位数字2.
而所构造的这种小数点后含3位数字的小数显然仍存在于上表的1000=10^3个数之中,因为它可以是第1个数0.000和第2个数0.001以及第3个数字0.002之后的0.003~0.999之中的某些数,如最小的这种数便是0.110.
......
四 [0,1)中含有小数点后n位数字的全部小数有10^n个:
0.000…0
0.000…1
0.000…2
… …
0.999…9
现在,我们用糠脱的方法构造一个[0,1)内的小数点后有n位的一个小数.使它小数的第1位,不是上表之中的第1个数的小数点后的第1位数字;使它小数的第2位,不是上表之中的第2个数的小数点后的第2位数字;使它小数的第3位,不是上表之中的第3个数的小数点后的第3位数字;使它小数的第n位,不是上表之中的第n个数的小数点后的第n位数字.
而所构造的这种小数点后含n位数字的小数显然仍存在于上表的10^n个数之中,因为它可以是上表之中的第n+1个数~第10^n 个数之中的某些数.
......
五 糠脱的错误所在
糠脱证明实数不可数所用的对角线法,其实就是上述过程当n趋于无穷时的情况.糠脱所构造的那个数,其实在他所说的数列中永远是存在的,只是该数不是他所说的数列的前n项,而可以是第n项之后的某些项,无论n有多么大.因此糠脱对实数是不可数的证明是错误的.
其实,这些早已经被李明波在他的<实数的理念>中阐明了,只是某些网友尚未深入理解其实质而已.
呵呵!
参考文献
含笑的波浪. 李 明 波 < 实 数 的 理 念 >.
http://www.channelwest.com/bbs/showtopic.asp?TOPIC_ID=5743&Forum_id=7&page=
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发表于 2006-5-4 17:57