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[0,1] 是可数的吗?
以二进制为例,当确定线段[0,1]时,这个本身就是一个明确的单位长度,有了这个单位长度,才确定0.1是什么?在什么位置?确定0.01和0.11又是什么?分别在什么位置?等等,不断的一分为二,永远可分,永远不会穷尽,就是永远可数。在这个[0,1]线段中,随意点一下,就是一个实数A,那么,这个A点,一定逃不出如下两个情形:
(1)被不断的一分为二的线段分割点赶上,变成其中的一个线段分割点;
(2)被不断的一分为二的线段分割点追赶,一定存在一个由无数个分割点组成的无穷递增数列,越来越接近A点,这个数列,其实就是一个变量,这个变量的极限就是常量A点。
第一个情形是线段无限可分,点与点之间永远存在更小的线段,即点与点皆被缝隙隔开,点永远处于离散状态,因此永远可数;
第二个情形,位置不断接近常量的变量点与其极限点之间,永远存在缝隙,因此也是离散状态,当然也是永远可数。 |
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