数学理论的本质与阐述方法

春风晚霞

历代学者论“点”
1、【毕达哥拉斯】：点是只有位置而无大小的单位。
2、【柏拉图】：点是直线的开端。点是不可分割的线。
3、【黑经】：端，体之无厚而最前者也。
4、【亚历士多德】：点、线、面各是线、面、体之分界，具三维的是体。
5、【欧几里得】：点是没有部分的那种东西。

任在深

春风晚霞 发表于 2020-6-16 14:17
历代学者论点、线、面。
1、【毕达哥拉斯】：点是只有位置而无大小的单位。
2、【柏拉图】：点是直线的开 ...

哈哈！
       还给它科普那？
       是否晚了点！

jzkyllcjl

研究一下毕达哥拉斯定理,可以发现表达线段长度的实数在两千六百多年前已经提出，而且实数理论是涉及几何学、微积分学的基础性数学理论。事实上，这个定理的证明中，用到了任何直线段都有一个长度、点没有大小、线没有粗细、线段上有无穷多点的概念，还用到了经过直线外一点只有一条平行线的公理。这说明：两千六百多年前就有了点、线、面、平行线、实数的概念：这些基本数学概念是从土地的具体测量与几何学的具体作图工作中抽象出来的想象的理想事物：这些概念的提出过程中含有忽略足够小的做法。正如恩格斯在《自然辩证法》228页讲道：“数学家的方法常常奇怪的得到”正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了”。 事实上，毕达哥拉斯定理提出之后，就产生了无理数与有理数之间不可公度的第一次数学危机。因此，必须使用唯物辩证法修改点、线、面、平行线、实数概念。前边已经对自然数、实数的概念做了修改。下边谈谈点、线、面、平行线的辩证概念。

elim

jzkyllcjl 吃了狗屎后研究古代数学, 最后还证不了勾股定理. 活该被人类数学抛弃.

春风晚霞

一、常数变数辩析
【常数】：数学名词。固定不变的数值。如圆周率π＝3.14159265……；√2＝1.4142……；sin2=0.99297……；铁的一‘膨胀系数为0.000012等。（参见《辞海》【常数】词条，本贴【】中的内容均表示《辞海》中的相应词条，下同。）
【近似数】：与真实数值相近的数。人们在测量时间、长度、重量等时，由于受测量工具和技术的限制，往往只能得到近似数。如通常用符号“≈”表示近似数，如π≈3.14159；√2≈1.4142；sin2≈0.99297等等。
【变数】表示变量的数，如x^2+y^2=a^2，y=sinx中，x、y都是变数。
【无理数】：无限不循环小数。任何无理数都不能表示成两个整数之比。
【有理数】：整数和分数的统称。任一有理数都可表示成m∕n的形式，其中m、n为整数，n≠0（在十进制小数表示中，有理数表现为：有尽小数或无尽循环小数）。
注意：①、古人在实践中对常数、变数、近似数，是有严格区别的。如刘徽指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》方田章圆田术刘徽注）就表明数π（π＝圆周长与直径的比或圆面积与半径平方的比）是常数。事实上π、√2、sin2……这些数都是常数，只有当把它们表示成十进制计数时才有π≈3.14159；√2≈1.4142；sin2≈0.99297；……等近似表示。②、因为现行教科书的π＝3.14159265……；√2＝1.4142……；sin2=0.99297……中的“……”表示“所有、完全”，因此这些等式都是正确的。
二、现行教科书中数学的定义：
（1）、数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。（2）、“数学——一种研究思想事物(虽然它们是现实的摹写)的抽象的科学。”（恩格斯《反杜林论》）“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现,这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。”（恩格斯《反杜林论》）“数学家们一旦退入他们的无法攻克的抽象堡垒，即所谓纯数学，这一切相似就都被忘却，无限就变成神秘的东西，而在分析中所运用的方式方法就好像成了完全不可理解的、同一切经验和一切理智相矛盾的。数学家们的这种处理法方法常常奇怪地总是取得正确的结果，……。他们忘记了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了。”（参见恩格斯《自然辩证法》）恩格斯用分子蒸发与凝结为例，便是从现实来说明微分和积分的实例。应当指出：恩格斯的这些论述既“强调了数学的抽象特性，也指出了其固有的局限性。离开了抽象性就无以言数学。在数学产生以前,原始人类’计算’牲畜、丈量土地的方法只是一种不能离开具体实物对象的’实验’方法。数学一经产生研究的就是脱离了实物对象的’数’和理想的’点’、’线’、’面’等等’思想事物’,并且开始了它抽象程度越来越高的发展。恩格斯的定义抓住了数学学科的本质,也完全适合于现代数学极其抽象的特征。”（参见《关于数学哲学几个基本问题的思考》傅德本、李敏霞《河北师范大学学报:哲学社会科学版》）
三、关于数学和个人认识间的关系
恩格斯“反对杜林所主张的‘全部纯数学’的先验性,指出了‘在纯数学中悟性绝不能只处理自己的创造物和想象物’。他肯定了‘纯数学具有脱离任何个人的特殊经验而独立的意义’”。（ 参见《关于数学哲学几个基本问题的思考》傅德本、李敏霞《河北师范大学学报:哲学社会科学版》），因此那些打着“实践”的旗帜，完全不顾及数学“继承”、“发展”辩证关系，全面否定传统数学的“张林”、“李林”们，是不是也应审视自己行为太“那个”了呢？

jzkyllcjl

第一，圆周率π＝3.14159265……；√2＝1.4142……；sin2=0.99297……的三个等式右端的无尽小数是固定的吗？固定的位数是多少？
第二，布劳威尔提出的 3.14159265……中三个命题：（1）不包含“百零排”；（2）出现奇数个“百零排”；（3）出现偶数个“百零排”哪一个 成立？

elim

jzkyllcjl 篡改数学概念对理解人类数学无益．本质上自绝于人类数学．

春风晚霞

一、①由圆的定义“环，一中同长也”知当圆心确定，圆的半径R确定，则圆周长C唯 一确定，所以π＝C∕2R，唯 一确定。所以圆周率π唯一确定。所以π＝3.14159265……是定值；②因为单位正方形的对角线长由单位方的边长唯一确定，所以√2＝1.4142……是定数；③在正弦函数y=sinx中，函数值y由自变量值x唯一确定，所以sin2=0.99297……是定数。虽然π＝3.14159265……；√2＝1.4142……；sin2=0.99297……这三个式子的右端均有无穷多位小数，这正是恩格斯所肯定的“把一个确定的数展开成无穷级数”的结果。
二、在现行的实数观念下，π＝3.14159265……是“完成了的整体实无穷”，所以（1）不包含“百零排”（Q＝0）；（2）出现奇数个“百零排”（Q<0）；（3）出现偶数个“百零排”(Q>0);三种情况有且只有一种情况成立；故此在实无穷观念下，布劳威尔构造的实数Q必然满足实数三分律。实数三分律只要求这三种情况中有且只有一种情况成立即可，与究竟哪 种情况成立无关。

jzkyllcjl

春风晚霞： 第一，π＝3.14159265……；√2＝1.4142……；sin2=0.99297……这三个式子的左端都是确定的无理数，但它们的无尽小数 都是算不到底的无穷性事物，虽然可以把它们写成 “无穷级数”，但无穷级数和 依赖于前n项和的序列的趋向性极限。所以这几个表达式的右端应当是康托尔基本数列的趋向性 极限。
第二， 这几个无尽不循环小数 都不是完成了的整体的实无穷事物，所以你说的在实无穷观念下，布劳威尔构造的实数Q必满足实数三分律。是无效的空话。实数三分律只要求这三种情况中有且只有一种情况成立的结论，即究竟哪 种情况成立的问题在这里无法实现。
第三，你谈到恩格斯《反杜林论》的话“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料。 就应当 尊重现实的算不到底的事实。你谈到：数学家们一旦退入他们的无法攻克的抽象堡垒，即所谓纯数学，这一切相似就都被忘却，无限就变成神秘的东西，而在分析中所运用的方式方法就好像成了完全不可理解的、同一切经验和一切理智相矛盾的。数学家们的这种处理法方法常常奇怪地总是取得正确的结果，……。他们忘记了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的， 就不要再忘掉这些事实。

春风晚霞

第一、由于“π＝3.14159265……；√2＝1.4142……；sin2=0.99297……这三个式子的左端都是确定的无理数”，所以，它们右端的无尽小数都是左端这个确定无理数的十进制展开。对于无理数的计算，有两种计算要求：①当题目（或实际问题）没告知精确度时，结果应保留算式。如π+√2＝π+√2；π*√3＝√3π；如告诉了精确度，参加运算的无理数比精确度多取一位参加运算，结果按四舍五入法保留到指定数位。如计算π+√2；π*√3结果保留四位小数。则计算过程为π+√2≈3.14159+1.41421＝4.55580＝4.5558；π*√3≈1.73205*3.14159＝5.441399595≈5.4414.在实际计算中，只有蓄意反对现行实数理论的学者才要求取无理数的无穷多位参与计算。前面我们证明了在现行实数理论中，极限值就是准确值。康托尔基本数列的“趋向性极限”是量身定制的，反“康托尔实数理论”的歪理，无任何可取之处。
第二、因为“实无穷观念下，布劳威尔构造的实数Q必满足实数三分律”，这是徐利治先生从理论上证明了的。凡知道数的三分律定义的数学人，都知道“实数三分律只要求这三种情况中有且只有一种情况成立”即可，与“究竟哪种情况成立”无关。
第三、关于“数学家们的这种处理法方法常常奇怪地总是取得正确的结果”，但数学家们对论敌的进攻总是力不从心。如果能像恩格斯那样借用现实中的实例（如硫磺立方体和蒸汽分子蒸发与凝结），来反击新老贝克莱主义者地进攻，必将收到事半功倍的效果。