连乘积公式计算哥猜数误差分析

yangchuanju

愚工688 发表于 2022-7-2 15:20
和愚工688先生相反素数发生率趋于0是数学界的公认，他却说这个结论正是违反了关于无穷小量的阶的极限基 ...

按照素数定理π(N)=N/ln(N)，当N趋近于无穷大时，素数个数π(N)趋近于无穷大；
素数几率等于1/ln(N)，当N趋近于无穷大时，素数几率1/ln(N)趋近于无穷小。
上述结论无人质疑。

按素数的埃氏筛法，正整数N内的素数个数等于N*Π(p-1)/p=N*Π(1-1/p)的连乘积减去1，再加上p的素数号；其中p是整数N平方根内的最大素数，最小素数是2。
当整数N相当大时，可略去减1和加素数号数部分，认为整数N内的素数个数约等于N*Π(p-1)/p=N*Π(1-1/p)的连乘积；当N趋近于无穷大时，素数p亦趋近于无穷大，虽1-1/p趋近于1（略小于1），但Π(1-1/p)是要趋近于无穷小的，而N*Π(1-1/p)是要趋近于无穷大的。
素数个数N*Π(1-1/p)除以N即为素数几率，等于Π(1-1/p)，当N趋近于无穷大时素数几率是要趋近于无穷小的。

无穷多个小于1的正数相乘，只要其中没有任一个等于0时，积定要趋近于无穷小，即无限趋近于0；
无穷大乘无穷小可能等于无穷大，或无穷小，也可能是一个特定数字，无法确定。

愚工688

yangchuanju 发表于 2022-7-2 08:41
按照素数定理π(N)=N/ln(N)，当N趋近于无穷大时，素数个数π(N)趋近于无穷大；
素数几率等于1/ln(N)， ...

极限问题要依据极限判断的法则，不能想当然的进行。
8、无穷小量的比较   

  设α(x),β(x)都是对应于某同一极限过程的无穷小量.      

若lim α(x)／β(x)= c ≠0, 则α(x)与β(x)是同阶无穷小.   
若 lim α(x)／β(x) =0，则 α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为 α=ο(β);
特别 lim α(x)／β(x) = 1 ，则α(x)是β(x)是等价无穷小，记为 α~β

而判断无穷小量阶的高低的极限理论：
教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。

就是看两个比较的无穷小量趋于0的速度。
现在我们来判断π(1-1/p）的极限：
在x→∞时，p→∞,
  π(1-1/p）=π[(p-1)/p[=π(p-1)／π(p)；
  π(p-1)→∞与π(p）→∞ ,则π[1/(p-1)]→0，π[1/(p)]→0，

那么这两个无穷小量是否是同阶无穷小量呢？
以实验数据作依据，即可得到结论：
p( 2 )= 3  , π[1/(p)]= .3333333333333333 , π[1/(p-1)]= .5
p( 3 )= 5  , π[1/(p)]= 6.666666666666667D-02 , π[1/(p-1)]= .125
p( 4 )= 7  , π[1/(p)]= 9.523809523809523D-03 , π[1/(p-1)]= 2.083333333333333D-02
p( 5 )= 11  , π[1/(p)]= 8.658008658008657D-04 , π[1/(p-1)]= 2.083333333333333D-03
……
p( 135 )= 761  , π[1/(p)]= 1.592007967968415D-318 , π[1/(p-1)]= 9.46898549143166D-318
p( 136 )= 769  , π[1/(p)]= 2.070135056074823D-321 , π[1/(p-1)]= 1.23269378637391D-320
p( 137 )= 773  , π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0
p( 138 )= 787  , π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0

显然两者趋于0的速度差不多，但是  π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]≠1，故两者是同阶无穷小量。
这是很容易用一个小程序来验证的。

就是因为世界数论界对素数发生率作了错误的结论，x→∞时素数发生率趋于0，
于是他们对一系列的问题，都无法做出正确的判断：
为什么x→∞时，素数数量趋于无穷多？π(N)→∞ ，解释不了。
偶数趋于无穷大时，歌德巴赫猜想有解吗？
因为在数论家的眼中，充分大的偶数2X的大半区[x,2X]是不该有素数，或者素数稀少的，(2X-p) 怎么是素数而能够形成素对？只能把(2X-p)表示为“殆素数”，哀叹“现有的数学方法不能解答猜想问题“，……

vfbpgyfk

总算算出来 了

愚工688

yangchuanju 发表于 2022-7-2 08:41
按照素数定理π(N)=N/ln(N)，当N趋近于无穷大时，素数个数π(N)趋近于无穷大；
素数几率等于1/ln(N)， ...

我就是在质疑啊！x→∞时，1/x→0是不错的，问题上怎么能够推理到 1/lnx →0 ? 1/x与1/lnx根本是不同阶的，依据上面极限理论得出的？

vfbpgyfk

将亿级对比表补全贴上来。

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-7-2 12:06
几个素数连乘积数值表及数理意义                                       
素数        ∏p        ∏(p-1)/p        ∏(p-2)/p        ∏(p-1)/(p-2)        ∏[1-1/(p-1)^2]
2        2 ...

yangchuanju先生说“Π(p-1)/(p-2)趋近于某个正有理数，不会是无穷大。  发表于 2022-7-2 14:32”，这个说法恕我并不认同。我在132楼证明了Π[(p-1)/(p-2)]≈1.34897 lnp，就是说p是所有从3一直到p的连续奇素数时Π[(p-1)/(p-2)]≈1.34897 lnp，很明显p趋近无限大时， lnp也趋近无限大，理所当然Π[(p-1)/(p-2)]也趋近无限大。即使去掉3，p是所有从5一直到p的连续奇素数时Π[(p-1)/(p-2)]≈（1.34897/2） lnp，此时p趋近无限大时，（1.34897/2） lnp同样趋近无限大。同理去掉若干个确定的奇素数，Π[(p-1)/(p-2)]里面p趋近无限大时仍然有可能趋近无限大。只有在p的大小确定时，Π(p-1)/(p-2)的最大值才会趋近于某个正有理数。

yangchuanju

大傻8888888 发表于 2022-7-2 19:53
yangchuanju先生说“Π(p-1)/(p-2)趋近于某个正有理数，不会是无穷大。  发表于 2022-7-2 14:32”，这个 ...

p#波动因子的极限
两日来，大傻、愚公、那宝吉和杨传举对p#的极限进行了坦率地交流，
大傻8888888先生认为当素数p趋近于无穷大时，∏(p-1)/(p-2)趋近于无穷大；
那宝吉先生认为当素数p趋近于无穷大时，∏(p-1)/(p-2)趋近于有限数C；
愚公688先生也认为当素数p趋近于无穷大时，∏(p-1)/(p-2)的比值极限趋于一个不为0的常数C；
杨传举一开始认为当素数p趋近于无穷大时，∏(p-1)/(p-2)趋近于无穷大，后又认为∏(p-1)/(p-2)趋近于某一正有理数。

重读各位老师的帖子、点评，现在看来：
大傻先生的论点是正确的，当素数p趋近于无穷大时，∏(p-1)/(p-2)趋近于无穷大。
我的观点不正确，主要是（一）没有真正理解愚公先生的无穷小和无穷小的阶的实质；
（二）受Excel计算精度的限制，当接近于1，大于1但小于1+10^(-14)的小数均作为1处理，当p很大时，后续的(p-1)/(p-2)都变成1了；
因而得出∏(p-1)/(p-2)趋近于某一正有理数这一错误结论。
试想一想，无穷多个大于1的正数相乘，积怎么会不再变大呢？

与我的认识类似，那宝吉也是把接近于1，大于1但小于1+10^(-14)的小数均作为1处理了。

yangchuanju

转载大傻8888888先生132楼中的贴
“你的Π[(p-1)/(p-2)]同样趋近无限大的说法似乎有道理，但是，你可注意到当P足够大时，(p-1)/(P-2)趋近于1，到那时，不就等于都在作乘1的计算了吗？岂能有趋向于无穷的可能？  vfbpgyfk发表于 2022-7-1 22:40”
不是似乎有道理，我的证明如下：
1/Π[(p-1)/(p-2)]=Π[(p-2)/(p-1)]=Π(p-2)/Π(p-1)
=｛Π[(p-2)/p]｝/｛[Π[(p-1)/p]｝=Π(1-2/p)/Π(1-1/p)
=Π[1-1/（p-1）^2][Π(1-1/p)]^2/Π(1-1/p)=Π[1-1/（p-1）^2]Π(1-1/p)   其中p≥3
当p趋近无限大时，Π[1-1/（p-1）^2]就是拉曼纽扬系数等于0.6601618158.......
（1/2）Π(1-1/p) 根据梅滕斯定理当p趋近无限大时，（1/2）∏(1-1/p)～e^(-γ)/lnp  其中e^(-γ)等于0.56145948...........
据此可以求出Π[(p-1)/(p-2)]≈1.34897 lnp
因此即使当P足够大时，(p-1)/(P-2)趋近于1时，Π[(p-1)/(p-2)也照样趋近无限大。

yangchuanju

愚工688 发表于 2022-7-2 17:44
极限问题要依据极限判断的法则，不能想当然的进行。
8、无穷小量的比较   

愚公688先生认为：
因为在数论家的眼中，充分大的偶数2X的大半区[X,2X]是不该有素数，或者素数稀少的，(2X-p) 怎么是素数而能够形成素对？
只能把(2X-p)表示为“殆素数”，哀叹“现有的数学方法不能解答猜想问题“，……

如果上述观点正确，则“素数无穷多”就被推翻了；因此“充分大的偶数2X的大半区[X,2X]是不该有素数”的说法不正确，其间依然存在有无穷多个素数。
假定素数定理正确，在2X以内约有2X/ln(2X)个素数，其中X以内约有X/ln(X)个素数，，X至2X之间约有
2X/ln(2X)-X/ln(X)=[2X*ln(X)-X*ln(2X)]/[ln(X)*ln(2X)]
=[X*ln(X)-X*ln(2)]/{ln(X)*[ln(X)+ln(2)]}=X/ln(X)*[ln(X)-ln(2)]/[ln(X)+ln(2)]
[ln(X)-ln(2)]/[ln(X)+ln(2)]小于1，故后半区间的素数个数，小于前半区间的素数个数；
但当X趋近于无穷大时，[ln(X)-ln(2)]/[ln(X)+ln(2)]趋近于1，故后半区间的素数个数仅略小于前半区间的素数个数。

yangchuanju

愚工688 发表于 2022-7-2 19:15
我就是在质疑啊！x→∞时，1/x→0是不错的，问题上怎么能够推理到 1/lnx →0 ? 1/x与1/lnx根本是不同阶的 ...

当X趋近于无穷大时，素数个数X/ln(X)趋近于无穷大，素数几率1/ln(X)趋近于0，不矛盾。
当X趋近于无穷大时，X和ln(X)不是同阶无穷大，1/X和1/ln(X)不是同阶无穷小，两个不同阶的无穷大或无穷小相除的商趋近于无穷大不违背愚公的理论。
而对于当X趋近于无穷大时，素数几率1/ln(X)趋近于0，没有任何难度，因为1除以无穷大数的商必然趋近于无穷小即0。

素数几率的另一表达式是：Π[(p-1)/p=Π(1-1/p)；当p趋近于无穷大时，1/p趋近于0，1-1/p趋近于1但大于0小于1；
无穷多个小于1的正小数相乘其积趋近于0，有什么不可理解的呢？