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第三章 实数与数列极限的非形式定义及其应用
根据上边对有理数、无理数的讨论，笔者提出了如下的理想实数定义与实数公理。
定义3（理想实数的非形式化定义）： 现实数量的大小（包括现实线段、时段长度、角度大小）具有可变性、测不准性；但在相对性与暂时性的忽略微小误差的抽象方法下，可以认为：每一个现实数量都有确定的大小。因此，可以提出：现实数量大小（例如线段、时段长度、角度大小）的没有误差的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与 ）。
实数公理：每一个理想实数 都存在着以它为趋向性极限值的康托尔的以有理数（包括十进小数）为项的基本数列，除0以外的每一个理想正实数 都存在唯一的满足条件 的，以n位十进小数 为通项的、理想实数 的全能不足近似值的康托儿基本数列，这个基本数列可以简写为无尽小数，这种基本数列收敛于这个理想实数 ；但与余元希《初等代数研究》87页的中“称无尽小数为实数”的定义不同，根据通项满足的条件，就可以知道：无尽小数的趋向性极限才真正是理想实数。所有无尽小数都具有“①无尽小数都是按照一定法则无限延续下去的，收敛无穷数列的简写；②无限延续是具有永远延续不到底性质的操作”，这两个性质之间，存在着对立统一的关系。反之，每一个康托尔实数理论中基本数列（或称以有理数为项的柯西基本数列），都有无限延续下去的通项表达式，都存在一个唯一的理想实数 （简称为实数）为其极限；等价(也称全能近似相等)的康托儿基本数列的极限相同；而且全能近似数列具有永远算不到底的性质，只要算到满足具体问题的确定的具体误差界要求的足够准近似值就行了。
有了上述定义与公理就可以更好的阐述实数理论的有关问题，例如，根据上述定义，就应当提出圆周率的定义是：圆周长L与直径长D的两个理想实数的比值的理想实数叫做圆周率的理想实数 ；它等于直径为1的圆周长。根据上述公理，就可以提出 的针对误差界序列 的全能不足近似值无穷数列；这个数列的具体计算是：首先做出直径为1的理想单位圆的内接与外切正六边形，应用30度角正弦与余弦的表达数字得到这两个多边形的周长的准确到 的数字都是3，然后根据理想以来与现实、无限依赖有限的性质，依次做出将圆周等分为m为2,3,4,5,6 ，……的 等分，使用三角函数公式与半角公式算出的内接、外切多边形周长的数列计算圆周率，随着m增大，就会得到圆周率的准确到位数增多的以十进小数近似值为项的数列，当m=18,,即将圆周分为1572864等分，计算出半圆心角正弦、正切后，得到圆内接、外切正多边形周长的准确到 的十位小数的数字都是 ；虽然这个无穷数列永远算不到底，但随着计算能力的提高，π的十进小数的位数，也可以提高。例如电子计算机问世以后，法国人计算到50万位小数的近似值；美国人使用云技术，计算23天得到π的两千万亿位的近似值。这些近似值无穷数列的趋向性极限是理想实数π；还须知道：由于直径的长度具有测不准性质，在通常的情况下，现行科学计算器给出的圆周率的32位小数表达式，就够用了，50万位、两千万亿位的近似值可以备用。这说明：精确与近似相互依赖、相互对立的对立统一法则给出了圆周率的足够准十进小数表达式，圆周率的十进小数表达式不是完成了的实无限性质的，而是永远算不到底的无穷数列性质的变数。茅以升在《十万个为什么》中指出“50万位小数完了吗？没完。永远算不完的，这是个‘无尽’”的数啊！”，这说明：这个全能不足近似值的无穷数列具有永远算不到底的性质，但这个数列可以可以写作：3.1，3.14，3.141，……的以十进小数为项的康托尔实数定义中的基本数列；虽然这个数列可以叫做无尽不循环小数，但它是数列性质的变数，它不能等于 ，它的趋向性极限才是圆周率 。由于“ 的无尽小数具有无穷多位，判断它的所有位数字是不是0的工作无法进行到底，布劳威尔不能使用猅中律提出他的三分律反例”，这样就消除了现行实数理论的布劳威尔反例；也消除了连续统假设的大难题（康托尔不仅不能使用无尽小数表示实数，而且由于无穷次判断进行到底，康托尔不能使用反证法去证明“实数集合不可数定理”）。对于“实数系统的一致性（即无矛盾性）”，根据哥德尔不完备性定理，无法建立在形式逻辑法则下解决；只能在理论联系现实的唯物辩证法下，使用如上的理想实数非形式化定义与其近似计算的实数公理才能在“理论与现实对立统一法则下”得到解决，而且这样叙述的实数理论具有解决实际问题的作用（参看下文）。
理想实数四则运算法则：设 分别是理想实数 的康托基本数列，则称极限 分别是理想实数 的和、差、积、商，记作： 。
这个法则的提出，应用了华东师大编《数学分析》上册附录II中等价数列四则的运算的定理3，也应用了康托尔实数定义中的基本数列等价定义，但需要指出：笔者没有使用他的实数定义。与余元希《初等代数研究》92页的实数四则运算比较，把无尽小数看作无穷数列简写之后的这个四则法则具有简单明了可行的必要性。例如：使用这个法则，可以得到： 。但需要注意的是：括号内逐项相减做不到底，无法得到单调递增的理想实数π-√2的无穷数列与无尽小数表达式；但这个计算给出了理想实数四则运算的一个具体方法：如果使用科学计算器,可以得到π-√2近似等于1.7273790912166981896609546590698,但需要知道：这只是近似结果, 这个结果的最后一位数字可能大,也可能小,其误差不超过2. 如果想写出它的无尽小数表达式,可以在去掉最后一位后加省略号得: 无尽小数1.727379091216698189660954659069……。根据无尽不循环小数算不到底的事实，这个四则运算法则也具有必要的近似性；但余元希《初等代数研究》92页叙述的绝对准意义下的“实数的四则运算”则是无法实现的。
根据现实数量大小的可变性与绝对准要求下的测不准、画不准、算不准的性质；以及无尽小数无有终了、无尽小数达不到其极限值的性质，解决现实数量大小与某些理论问题时，不仅需要使用十进小数近似表达现实数量的大小，还需要提出如下3个定义。
定义4（数列极限的非形式化定义）：对无穷数列 ，及理想实数 ，记 为无限递减（可以不是单调递减）趋向于0的误差界数列，若有自然数N存在，使 ，则称数列 收敛于理想实数 并称理想实数 为自然数n趋向于无穷大时，无穷数列 的趋向性理想极限值（简称为极限）。记作： ; 或记作： ，否则称数列 发散。
与现行数列极限的定义的区别是：笔者把他们任意小正数ε改用无限递减误差界序列 表示。这个改写使现行定义中的符号ε具有非形式符号表达的性质。虽然在实际应用上，由于误差界必须是正数，而且它具有趋向于0的性质，说明它可以是任意小正数，这是两者相同之处，但由于 是随n变化而变化着的变数，且有误差界的定语，所以改写后定义具有紧密联系实际的作用。极限方法是必须的，但需要知道：这个定义中的名词“无穷大”及其表达符号∞不是通常意义的实数，而是非正常实数，无穷大是人们无法达到的理想性数学元素。这样的无穷数列可以叫做理想实数 的针对误差界数列 的全能近似值数列，特别是，当 是满足误差界 数列的理想实数 的不足近似值数列时，这种数列 可以简写为理想实数 的无尽小数展开式，这个无尽小数的趋向性极限才是理想实数 。例如：与文献[3]80页例3中“证明循环小数化为分数”的结果不同，1被3除得到的针对误差界序列 的全能不足近似值无穷数列0.3,0.33,0.333……的理想极限才是分数 ，虽然这个数列可以简写为无尽循环小数0.333……，但它是变数而不是定数；现行教科书中的等式；0.333……= 。是概念混淆的错误等式。虽然变量性无穷数列的趋向性极限值需要提出，但理想性极限值具有变量性无穷数列不能达到的趋向性质，具体使用时常常需要根据实际情况找出理想极限值的满足具体误差界的的具体近似值付诸应用。
定义5（足够准近似相等），称相差小于 （n为任意大自然数）的两个理想实数为足够准近似相等的两个理想实数。
定义6：若收敛于理想实数 的全能近似值数列 具有性质：对一切自然数 都有 成立，则称 为数列 的全能近似极限，并称符号 为 的全能近似实数。于是1被3除得到的针对误差界数列 的不足近似值数列 ；过剩近似值数列 。
若无穷数列与实数或全能近似实数之间具有关系：⑴在任意小误差界之下都能近似相等；⑵但不能绝对准相等，则称两者之间有全能近似相等（或等价）关系；我们用符号“ ~ ” 表示这种关系。例如：计算2的平方根时，永远开不尽得到的无尽不循环小数应当记作： 计算圆周率得到的无尽不循环小数记作： ，也有表达式 ， 成立。 这几个例子说明：全能近似极限进一步反映了数列与其极限值的关系。但在“无穷具有无有穷尽、无有终了事实”下，全能近似数列也具有写不到底的理想性，在研究现实问题时，可以根据需要与可能，采用足够多位的十进小数近似表示理想实数的大小。
定理一（柯西收敛原理与理想实数的完备性问题）：设 是一个以任意理想实数为项的无穷数列，则其收敛的充要条件是：对任意小的误差界 都有自然数 存在，使得 时， 总成立；而且当 收敛时， 收敛于与它等价的、以有理数或十进小数为项的康托尔基本数列的极限。
证： (1) 必要性：设 ，则对任意小误差界 ，总有自然数 存在，使得 时， 、 成立，则 . 必要性获证。 .
(2) 充分性：设对任意小误差界 ，总有自然数 存在，使 时， 成立， 再取 为满足条件 的误差界序列，则对任意小误差界 ，总有自然数 存在，并使 时， 成立. 于是对任意小误差界 ，只需取 ，就有 时， 成立。根据实数公理，对任意的实数 总有有理数或十进小数 存在，并使 成立。 因此有
故 是以有理数为项的康托尔基本数列，再根据实数公理中后一段的叙述，可知： 必收敛于某一个理想实数 。此时，还可以证明 成立. 于是 成立. 且它和与它等价的、以有理数或十进小数为项的基本数列 有共同的极限. 定理证毕。
这个定理说明：理想实数集合在数列求极限计算上具有完备性。但与现行教科书比较，笔者的这个证明没有使用违背实践的“无穷集合是完成了的整体实无穷观点”，这个数列的极限值具有数列永远达不到的的性质。
接下去还可以在不使用实无穷观点下证明区间套定理，迫敛性定理、单调有界数列收敛定理、确界定理、有限覆盖定理（参看文献[6]），但需要指出：这些定理得到的无穷序列的趋向性极限性理想实数都具有变量性无穷序列达不到的性质。这样的改写是极限理论的必要的改善工作。
施笃兹（Stolz）定理的应用与定理成立的条件问题
施篤兹（O.Stolz）定理在菲赫金哥尔茨《微积分学教程》一卷一分册（人民教育出版社1959年第2版）59页，叙述为：设整序变量 并且至少从某一项开始，在n增大时 亦增大， ，则 ，只须等式右边的极限已知为存在（有穷或 ）。这个定理中的等式，叫做施篤兹（O.Stolz）公式，虽然计算的数列 的极限时，使用这个公式也可得到正确结果，但在研究全能近似极限与理想极限问题时，存在如下问题与错误实例。
例1，不使用O．Stolz 公式；很容易得到全能近似极限： ，但使用O．Stolz 公式得到这个分式的全能近似极限是1+，不仅改变了原有数列的全能近似极限，即把原有数列的全能近似极限符号改变了；而且把分子比分母小的趋向于1的原有方式，改变为分子比分母大的方式趋向于1的方式。
例2，为了反对笔者的数学理论改革意见，在数学中国网站上，网友elim以“全能近似破产”为题，向笔者提出了：设a(1)=ln(1+1/2)，a(n+1)=ln(1+a(n)) ，请计算数列 的极限的问题。对这个问题，笔者首先要求他给出计算，他的答复是：这个A(n) 满足上述定理要求的条件，使用这个定理中O．Stolz 公式得到A(n)的极限为 ，但笔者认为：对这个定理应加上分子 的极限为无穷大的条件。为此，第一步需要计算分子中a(n) 的极限，这个极限计算时，需要根据对数的的级数表达式：。
得到表达式：
对这个表达式，根据前述“无穷次加法无法进行”的概念，此式右端应当被理解为：无穷级数和是其前n项和数列的趋向性极限表达式，使用这个级数表达式，永远得不到 的绝对准函数值。
根据对(1)式的讨论，可以知道：虽然{a(n)}表示的数列中的数都是正数，且这个数列是单调有界递减必有极限的数列，设这个极限为α，则成立ln(1+α)=α,所以数列{a(n)}的极限是理想实数0；但根据（1）式的数列极限值是数列达不到的性质，应当指出：数列{a(n)}中的数具有算不准的性质，而且n越大越难算准。在实际应用中这个0需要被看作是 意义的足够小正数。
第二步，对A(n)的分子中的na(n)的不定式∞•0 ，记 ，则 就是一个满足使用施篤兹（O.Stolz）公式对左端要求的整序变量。使用施笃兹公式得到：
第三步，由于（2）式的极限值，是使用（O.Stolz）公式得到的，需要研究这个极限值可能改变了趋向于2的方向，即（2）右端可能是 的问题，为此笔者计算了n=1,2,3,……等许多有限正自然数时的数值，发现它们都是小于2的。虽然对所有n无法算到底，但可以可以认为：这可能是施笃兹公式改变了数列趋向于极限值方向的又一个实例。于是可以提出
根据（3）式的全能近似极限，使用菲赫金哥尔茨《微积分学教程》（人民教育出版社1959年第2版）一卷一分册52-54页叙述的不定式定值法，可知：表达式A( n)的分子的的极限是“∞×0”型不定式的极限问题，需要根据∞与0来源的有n的表达式极限性计算，于是得到A( n)的分子的 。再根据商的极限运算法则，可以得到A( n)的全能近似极限为 。而不是elim算出的 。这说明：对施篤兹（O.Stolz）定理应加上分子 的极限为无穷大的条件。此外，对这个极限计算问题还需要指出：由于a(1) 就具有无法算出其绝对准数值的性质，n>1的a(n) 计算依赖于a(1)，所以n越大越难算出a(n) 与A(n)的精确数值。这说明：A（n）的数值只能在满具体误差界下进行足够准近似计算。为此，笔者曾经使用计算软件得到：n=678100时，A（n）的数值为：-5.3187622309914463 e-6，这个数可以看做误差界为 下的极限值的一个近似值，但很难达到理想实数0。
总之，这个极限计算问题不能说明“全能近似的破产”，而是说明“无穷的无有穷尽无有终了的性质，无穷数列的极限值具有数列达不到性质，a(n)具有在绝对准意义下算不准性质，需要使用近似方法”的事实应当受到尊重。这个极限题目的计算确实很复杂，笔者与elim争论了6年，但这个争论对澄清极限理论有好处。
关于数轴的概念问题，在文献[7]中评论到：“我们不要为实数的名称所愚弄，实数集纯粹是数学家的创作，它可以是也可以不是现实空间中直线的精确写照……，我们无法识别现实空间中的直线真正是什么，它可以是超实数线、实数线或者两者都不是 [7]”。这个文献是按照《非标准分析》写出的数学分析（Elementary Calculus），它把现行教科书中数轴上的每一个点都看作一个与实数对应一个非标准分析中的单包，这个单包中包含着与这个实数相差为（实）无穷小数的许多非标准实数域中的超实数。由于现行实数理论中存在着着与0无限接近的实数，不可能再有《非标准分析》中的（实）无穷小数，所以笔者不同意它的超实数线的说法。根据上述唯物辩证法下的实数与实数集合理论，笔者提出了如下的从实践事实出发的近似数轴序列及其趋向性极限的理想数轴的概念。
定义7(近似数轴) 在点与数的对应误差界为1/10情况下，可以设想在较高的精度要求下，把长度为20个单位的现实直线段，采用足够准的近似的方法，将其分割成长度为1/100的2000个小线段. 然后“从左至右”把第一个至第五个小线段合起来作为第一个近似现实点，并用含有一位小数的十进小数 -10.0表示它；再把第6个至第15个小线段合起来作为第二个近似现实点，用含有一位小数的十进小数-9.9表示它，……；把第996个至第1005个小线段合起来作为第101个近似现实点，用含有一位小数的十进小数0.0表示它，把第1006至第1015个小线段合起来作为第102个近似现实点，用含有一位小数的十进小数0.1表示它，……；把最后5个小线段合起来作为第201个近似现实点，用含有一位小数的十进小数10.0表示它. 这样做成的近似现实点与其表达数字之间所对应的误差小于1/10，因此称：有了这种近似现实点及其对应表达数字之后的这个现实直线段是误差界为1/10之下的近似现实数轴，简称为近似数轴.
在“假定误差界可以无限减小而趋向于0”的条件下，继误差界1/10之下的近似现实数轴之后，在“误差界”提高到1/100的情况下，我们可以将长度为200个单位的现实直线段在较高的精度要求下区分成长度为1/1000的200000小线段，然后“从左至右”把第一个至第五个小线段合起来作为第一个近似现实点，用含有2位小数的十进小数-100.00表示它；……；这样我们就有了误差界为1/100的近似数轴；再继续下去，我们又有误差界等于1/1000、1/10000、……之下的近似现实数轴序列。
定义8(全能近似数轴) 设 是以0为极限的误差界序列，则称对应于这个序列的、由全能近似直线序列所构成的近似数轴序列，为全能近似现实数轴序列，简称为全能近似数轴。
定义9(理想数轴的定义及其性质) ：误差界序列趋于0的全能近似数轴序列的极限叫做理想数轴；理想数轴具有不可达到性质，在实际应用中，需要使用足够准近似数轴。
在实数理论改写之后，笔者提出了如下的定义10.
定义10（理想函数的定义） 给定两个理想实数集合D、M，若按照某一确定的对应法则f，D 内每一个理想实数x有唯一的一个理想实数y∈M与它相对应，则称f是确定在理想数数集D上的理想函数。记作f : D→M。 其中集D 称为理想函数的定义域，D中的任一理想实数x根据法则f 对应的y, 记作f(x), 称为f 在x的理想函数值。全体函数值的集合M称为理想函数f(x) 的值域。
根据理想实数的唯物辩证法概念，理想函数的应用中也需要使用唯物辩证法。
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发表于 2023-10-24 09:39
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