[分享]概率怪论

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/06/20 04:51pm 发表的内容：
这还是解法二的思路，将直径均匀 n 等分，结果当然是 1/2 。

这不仅仅是解法二的思路，是解法二的图解本身。这个图和128楼的图给出的弦的个数相同，但确定的‘够格弦的频率’不同。另外，这个解法使得弦的分布比上一解均匀。但导致圆周上端点分布的相对不均匀，而解一保证了圆周上弦端点分布的均匀，却不能保证弦分布的均匀。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/06/20 05:15pm 发表的内容：
    你在第 138 楼中的做法，是：
先在水平直径上随机地取一点，再过这点作垂线，与圆周有上下两个交点，
随机地取其中一个交点作为 A 点。然后用同样的方法，再得到一个 B 点。
这样得到的点，从它们在水平直径 ...

陆老师说得对！这样取点在圆周上是不均匀的。
但是，既然这样取点在直径上是均匀的，但它的结果为什么不是 1/2 呢？

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/06/20 11:14am 发表的内容：
这不仅仅是解法二的思路，是解法二的图解本身。这个图和128楼的图给出的弦的个数相同，但确定的‘够格弦的频率’不同。另外，这个解法使得弦的分布比上一解均匀。但导致圆周上端点分布的相对不均匀，而解一保证　...

“直径上点的均匀”与“圆周上点的均匀”是矛盾的，顾此必定失彼。
而且，“圆内点的均匀”与前两者也是矛盾的。
不知道还会有什么新的“点的均匀”出现？

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/06/21 08:41am 第 4 次编辑]

奇怪得很！奇怪得很！
在圆内和圆上均匀地随机各取一点，统计出来的结果却是1/4，这是为何？如下图所示。

wangyangkee

[这个贴子最后由wangyangkee在 2011/06/20 08:32pm 第 1 次编辑]

胡言乱语：
1，主楼的解法三，属于方法上的错误；
2，错在：将园内弦的中点看成是在园内按面积均匀分摊；
3，任意弦的中点，较弦上任何点都更加趋于圆心；也就是说，从圆周到圆心，所有的弦的中点在园内的分布密度是趋向增大的；
4，显然：弦的中点在园内的分布密度是在园周附近密度为0；离开圆周附近后，弦的中点在园内的分布密度是无穷大；在圆心附近是最高阶次为无穷大；
5，主楼的解法三，错误。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2011/06/21 02:33pm 第 1 次编辑]

楼上直觉地说明了为什么对应与解法3的弦分布图靠近圆周较密的现象。

天茂

解法一的结果（1/3）已经由30000～50000数据的随机试验验证完毕。
解法二的结果（1/2）和解法三的结果（1/4）还有待继续验证。
在验证的过程中，还出现了其他的结果，如果属于验证错误将予以排除；如果不是验证错误，应该能给出证明。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/06/21 06:09pm 第 2 次编辑]

向各位老师汇报：关于利用execl中的随机函数在单位圆内任取一点做为弦的中点，统计得到的概率值，出现许多疑问，希望能得到合理的解释。
1、如果这一点依赖于随机选取的圆心角θ，那么其统计结果的概率≈0.537…，如下图所示：

elimqiu

打算熟悉一下 Excel， 看看究竟是怎么回事。 波浪先生好像对 Excel 很熟。不妨问问。
你的 Excel 是什么版本？ 2003 好像有严重 bugs[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
有好的 Excel 教程吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/06/22 00:38am 第 3 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/06/21 06:05pm 发表的内容： 向各位老师汇报：关于利用execl中的随机函数在单位圆内任取一点做为弦的中点，统计得到的概率值，出现许多疑问，希望能得到合理的解释。 1、如果这一点依赖于随机选取的圆心角θ，那么其统计结果的概率≈0.537…，如下图所示： 2、如果这一点是在单位圆外接正方形内任意选取，然后将圆外的点排除，可能其统计结果的概率＝0.75＝3/4，如下图所示： 3、如果这一点是在单位圆内的任意半径上随机选取，其统计结果的概率＝0.5＝1/2，如下图所示： 第1、2种情况百思不得其解，只有第3种情况很好理解，因为符合条件的事件（圆心距大于1/2）恰好是是样本空间（圆心距0～1）的一半。 三个结果没有一个是1/4，这又是为什么呢？ 希望得到各位老师的解答。

第 2 种情况，是因为你统计的是到圆心距离“>0.5”的弦，也就是长度小于√3 的弦，取 到这样的弦概率，当然是 3/4 。如果你把“>0.5”改为“<0.5”,就可以得到概率 1/4 了。 ------------------------------------------------------------------------------- 第 1 种情况，是因为你取圆内点时，用的语句是“RAND()*COS(B5)”“RAND()*SIN(B5)”， 是先随机取一个点到圆心的距离（算横坐标和纵坐标时取的随机距离还不一样），再随机取 一个角度，这样取到的点，在圆面中并不均匀分布。要做到点在圆面中均匀分布，就应该像 第 2 种情况那样，用语句“RAND()”“RAND()”取横坐标纵坐标，再排除点落在圆外的情形。